江苏省华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题含答案.pdf

2022024 4 届届高三高三夏令营学习能力测试夏令营学习能力测试 数学数学试题（重点班）试题（重点班）一、单选题一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面是关于复数1 iz=的四个命题，其中的真命题为 （）A2z=B22iz=Cz的虚部为i Dz的共轭复数为1 i+2 全集为R，集合2,1,0,1,2=A，+=D已知随机变量1,2XB n，若()215DX+=，则5n=10若实数 m，n0，满足21mn+=以下选项中正确的有（）Amn 的最大值为18B11mn+的最小值为4 2C2911mn+的最小值为 5 D224mn+的最小值为1211已知函数()f x，()g x的定义域均为R，()2f x+为偶函数，()()(2)f xg xgx+=，且当)0,1x时，()f xx=，则 （）A()f x为偶函数 B()f x的图象关于点()1,0对称 C20231()1kf k=D8 是函数()f x的一个周期 12在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M为棱1AA上的动点（含端点），则下列说法正确的是（）A存在点M，使得1/C M平面1ABCB对于任意点M，都有平面1C MB 平面11ABCDC异面直线1C M与BC所成角的余弦值的取值范围是12,22D若1C M 平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为6 2 三、填空题三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13设24(1)log(4)(1)af xxa+=，则()f x值域是 .14已知多项式()()4234501234521xxaa xa xa xa xa x+=+，则24aa+=.15北京时间 2023 年 2 月 10 日 0 时 16 分，经过约 7 小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙邓清明张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级()d x（单位：dB）与声强x（单位：2W/m）满足关系式：()1210lg10 xd x=.若某人交谈时的声强级约为60dB，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为7.810，则火箭发射时的声强级约为 dB.16.在三棱锥SABC中，2SASBCACBAB=，二面角SABC的大小为60，则三棱锥SABC的外接球的表面积为 四、解答题四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17已知集合222|320,|(2)210Ax xxBx xaxaa=+=+=.(1)当 1AB=时，求实数a的值；(2)若RBCAR=时，求实数a的取值范围.18如图，正方形 ABCD中，点 E，F分别为 AB，BC的中点将AED，BEF，DCF分别沿 DE，EF，DF折起，使 A，B，C三点重合于点 P (1)求证：PD 平面 PEF；(2)若6AB=，且 K为 PD的中点，求三棱锥KEFD的体积19已知偶函数()f x定义域为()1,1，当01x在1,1上恒成立，求实数n的取值范围.20232023 年高三数学暑假检测参考答案年高三数学暑假检测参考答案1D【分析】根据复数的概念和运算逐一判断即可【详解】()22112z=+=，故 A 错误；()221 i1 2i 12iz=，故 B 错误；z的虚部为1，故 C 错误 z的共轭复数为1 i+，故 D 正确；故选：D 2C【解析】先利用分式不等式求解集合B，再利用集合的补集和交集运算求解()RAB，最后求解集合的真子集个数即可.【详解】由102xx+，解得：12x ，即12Bxx=0，2x，x0，EA可得函数在(0，)上单调递增，且此时函数值大于 1；在(，0)上单调递减，且此时函数值大于1 且小于零 结合所给的选项，只有 B 项满足条件，故选 B 4A【分析】利用几何知识易得ABCADC，利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MDMC=，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，2ABAD=，4560105ABCADC=+=，2 2BCDCBD=，所以ABCADC，所以ACBACD=，即AC平分BCD，由MDMCCD=+可得2()MC MDMCMCCDMCMC CD=+=+22263cos150622MCMCCDMCMCMC=+=，所以当62MC=时，MC MD 有最小值为32.故选：A 5.A【分析】求出使得函数()233xtxf x=在区间()2,3上单调递减时t的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.【详解】由函数()233xtxf x=在区间()2,3上单调递减，得23yxtx=在区间()2,3上单调递减，所以332t，解得2t.结合 A，B，C，D 四个选项，知使得“函数()233xtxf x=在区间()2,3上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是3t.故选：A.6C【分析】由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，先涂区域 1，再涂区域 2，再分区域 3 与区域 1 涂的颜色不同、区域 3 与区域 1 涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.【详解】由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域 1，有 7 种选择；再涂区域 2，有 6 种选择.当区域 3 与区域 1 涂的颜色不同时，区域 3 有 5 种选择，剩下的区域 4 有 5 种选择.当区域 3 与区域 1 涂的颜色相同时，剩下的区域 4 有 6 种选择.故不同的涂色方案有()7 65 561302 +=种.故选：C 7C【分析】列举出经 2 次、3 次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断 ABC，n 次传球后球在甲手上的事件即为nA，则有111nnnnnAA AA A+=+，利用全概率公式可得11(1)2nnpp+=，再构造等比数列求解即可判断 D.【详解】第一次甲将球传出后，2 次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共 4 个结果，它们等可能，2 次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1 个结果，所以概率是14，故 A 错误；第一次甲将球传出后，3 次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，3 次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3 个结果，所以概率为38，故 B 错误；3 次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2 个结果，所以概率为2184=，故 C 正确；n次传球后球在甲手上的事件记为nA，则有111nnnnnAA AA A+=+，令()nnpP A=，则111(|)0,(|)2nnnnP AAP AA+=，于是得1111()()(|)()(|)0(1)2nnnnnnnnnP AP A P AAP A P AApp+=+=+，故11(1)2nnpp+=，则1111()323nnpp+=，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即10p=，则有11133p=，数列13np 是以13为首项，12为公比的等比数列，所以1111(),332nnp=即1111()32nnp=，故 D 错误.故选：C 8【答案】D【详解】由题意，函数22,(),xax xaf xx xaxax xa=+，函数2yxax=+的图象开口朝下，对称轴为2ax=，函数2yxax=的图象开口朝上，对称轴为2ax=，当0a=时，22,0(),0 xxf xxx=，函数在 R上单调递增，不合题意；当0a，作出函数图象，如图，若要使函数()f x在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则()0112aaff即2201122aaaa+，解得2 221a=，所以(1)(0)1P XP Y+=，所以 C 正确，对于 D，因为1,2XB n，所以111()1224D Xnn=，所以(21)4()5DXD Xn+=，所以 D 正确，故选：BCD 10AD【分析】根据0,0122 2mnmnmn =+来验证 A 项()11112mnmnmn+=+展开基本不等式求解 B 项.把n用m来表示得()294949011122131nmnmnnn+=+=+=+18mn 当且仅当1222114nmnmnm=+=时mn有最大值18，所以 A 正确.()111122233232 2nmnmmnmnmnmnmn+=+=+=+当且仅当2210220212nmnmnmmn=+=时11mn+有最小值为32 2+，所以 B 不正确.211 2mnnm+=()294949011122131nmnmnnn+=+=+=+又根据基本不等式1 2211 22 12abababa b+当且仅当1 22 1aba b=时取得等号，所以()()()2121211220aabba ba b+即()()()212121122aabba ba b+()()()22241 121mnmn+=当且仅当221441212mmnmnn=+=时取得等号.22142mn+所以224mn+的最小值为12.故 D 正确.故选：AD 11ABD【分析】根据给定等式推理可得()()20f xfx+=，结合(2)f x+为偶函数，再逐项判断作答.【详解】依题意，Rx，()()(2)f xg xgx+=，即有(2)(2)()fxgxg x+=，两式相加整理得()(2)0f xfx+=，因此()f x的图象关于点()1,0对称，B 正确；由(2)f x+为偶函数，得(2)(2)fxf x+=+，于是(2)()f xf x+=，有(4)(2)()f xf xf x+=+=，因此函数()f x的周期为 4，8 是函数()f x的一个周期，D 正确；由()(2)0f xfx+=，得()(2)0fxfx+=，而(2)()f xf x+=，因此()()fxf x=，()f x为偶函数，A 正确；由当)0,1x时，()f xx=，得(4)(0)0ff=，而(1)0f=，(2)(0)0ff=，(3)(1)0ff=，即有(1)(2)(3)(4)0ffff+=，20231(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0()505kffffffkff=+=，C 错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数()yf x=的定义域为 D，xD，(1)存在常数 a，b使得()(2)2()()2f xfaxbf axf axb+=+=，则函数()yf x=图象关于点(,)a b对称.(2)存在常数 a 使得()(2)()()f xfaxf axf ax=+=，则函数()yf x=图象关于直线xa=对称.12AB【分析】利用线面平行的判定判断 A；利用面面垂直的判定判断 B；求出异面直线夹角的余弦范围判断 C；举例说明判断 D 作答.【详解】在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M为棱1AA上的动点（含端点），对于 A，当点M与1A重合时，由1111/,AACC AACC=，得11ACC A，有11/ACAC，而AC平面1ABC，11AC 平面1ABC，因此11/AC平面1ABC，即1/C M平面1ABC，A 正确；对于 B，由11AB 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，得111ABBC，又11BCBC，1111111,ABBCB AB BC=平面11ABCD，则1BC 平面11ABCD，而1BC 平面1C MB，因此平面1C MB 平面11ABCD，B 正确；对于 C，由11BC 平面11ABB A，1B M 平面11ABB A，得111BCB M，因为11/BCBC，显然11MC B是锐角，则11MC B是异面直线1C M与BC所成的角，而12 2,2 3C M，1111132cos,32BCMC BC M=，C 错误；对于 D，当点M与1A重合时，与选项 B 同理得11AC 平面11BDD B，当平面11BDD B为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形11BDD B，其周长为44 26 2+，D 错误.故选：AB 13(,log 4a【分析】根据换元法可先求出()f x的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.【详解】设21(1)xt t+=，则2()log(4(1)(1)af ttt=，于是2()log(4(1)(1)af xxx=.设24(1)(1)uxx=，根据二次函数性质，)1,x+时，u关于x单调递减；根据对数函数性质，logayu=在定义域上递增.于是由复合函数单调性的性质，2()log(4(1)af xx=在)1,+上单调递减，而(1)log 4af=，于是()f x值域是：(,log 4a.故答案为：(,log 4a 146【分析】由赋值法即可求解.【详解】令1x=，则()4012345161 1aaaaaa+=+=+，令=1x，则0123450aaaaaa=+，两式相加，可得024168,2aaa+=令0 x=，则02a=，所以246aa+=.故答案为：6 15138dB【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可.【详解】设人交谈时的声强为1x2/Wm，则火箭发射时的声强为7.8110 x，且1126010lg10 x=，得6110 x=，则火箭发射时的声强约为7.861.82101010/Wm=，将其代入()1210lg10 xd x=中，得()1.81.812101010lg138dB10d=，故火箭发射时的声强级约为138dB.16.529/529【分析】取AB的中点D，由题意知SAB和ABC都是等边三角形，从而可得,SDAB CDAB，得SDC是二面角SABC的平面角，即60=SDC，设球心为O，SAB和ABC的中心分别为,F E，则OE 平面ABC，OF 平面SAB，从而可求出外接球的半径，进而可求得球的表面积.【详解】取AB的中点D，连接,SD CD，因为2SASBCACBAB=，所以SAB和ABC都是等边三角形，所以,SDAB CDAB，所以SDC是二面角SABC的平面角，即60=SDC，设球心为O，SAB和ABC的中心分别为,F E，则OE 平面ABC，OF 平面SAB，因为1332323DEDF=，OD公共边，所以ODEODF，所以30ODEODF=，因为cosDEODEOD=，所以323cos332DEODODE=，所以22413193OAODAD=+=+=，所以三棱锥SABC的外接球的表面积为25249OA=故答案为：529【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是根据题意找出三棱锥外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查空间想象能力，属于较难题.17(1)0a=(2)(8,01,7+【分析】（1）由1B解方程求出a的值，再检验即可；（2）由RRAB=得出BA，结合子集的定义得出B可能为，1，2，1,2，分别讨论这四种情况，得出实数a的取值范围【详解】（1）2|3201,2Ax xx=+=，1AB=，1B，即221(2)210aaa+=，解得0a=或1a=.当0a=时，2|2101Bx xx=+=，符合题意；当1a=时，2|3201,2Bx xx=+=，1,2AB=，不合题意，综上，0a=（2）RRAB=，BA，即B可能为，1，2，1,2.当B=时，22(2)4()021aaa+=+，解得a，当集合B中只有一个元素时，22(2)4()021aaa+=+=，解得0a=或87a=，当0a=时，2|2101Bx xx=+=，符合题意；当87a=时，117B=，不符合题意；当1,2B=时，由根与系数的关系可知2212211 2aaa+=+=，又22(2)4()021aaa+=+，解得1a=，所求实数a的取值范围是(8,01,7+18(1)证明见解析(2)92【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）由题意求得PEFS，由（1）知 PD平面 PEF，求得9P EFDV=，根据 K 为 PD的中点，即可求解【详解】（1）在正方形 ABCD 中，ADAE，CDCF，折叠后即有PDPE，PDPF，又因为PEPFP=，,PE PF 平面 PEF，所以PD 平面 PEF；（2）由题意知3PEPF=，PEPF，故1922PEFSPEPF=，由（1）知PD 平面 PEF，故11969332P EFDD PEFPEFVVSPD=；因为K为 PD的中点，所以三棱锥KEFD的体积1199222K EFDP EFDVV=19(1)()22221,1,01()1,0,11xxxxf xxxxx+=+(2)证明见解析(3)20,3【分析】（1）设10 x，则01x ，即可求出()fx，再根据()f x为定义在()1,1上的偶函数，即可得到()()fxf x=，从而求出()f x，再写出()f x的解析式即可；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的过程证明即可；（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域；(1)解：设10 x，则01x ，所以221()1xxfxx+=+，因为()f x为定义在()1,1上的偶函数，所以()()fxf x=，所以221()1xxf xx+=+，综上可得()22221,1,01()1,0,11xxxxf xxxxx+=+(2)证明：设任意的)12,0,1x x 且12xx，()()2211221222121111xxxxf xf xxx+=+12221211xxxx=+()()()()22122122121111xxxxxx+=+()()()()21122212111xxx xxx=+因为)12,0,1x x 且12xx，121x x，所以()()()()211222121011xxx xxx+，所以()()120f xf x，即()f x在区间)0,1单调递增；(3)解：因为()f x是定义在()1,1上的偶函数，且在)0,1上单调递增，所以函数在()1,0上单调递减，所以不等式()()211fxf x等价于2111211111xxxx ，解得203x=根据小概率值 0.001 的独立性检验，可以推断 H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001；（2）X可能取 0，1，2，3，4()22111043144P X=()221122311211101CC443334144P X=+=；()2222112231122131372CC43433344144P X=+=；()221122321312603CC433443144P X=+=；()223236443144P X=；所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 114410144371446014436144所以()11037603617012341441441441441446E X=+=综上，在犯错误的概率不大于 0.001 的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为176.21(1)证明见解析(2)证明见解析(3)714【分析】（1）设AC交BD于点F，连接EF，利用三角形相似证得EFAC，从而证得/PO EF，进而证得直线/PO平面BDE；（2）通过PO平面ABD，证得EF平面ABD，所以平面BED 平面ABD；（3）建立空间直角坐标系，设(01)OMOP=，通过向量DM 和平面ABE的法向量建立直线DM与平面ABE所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.【详解】（1）如图，设AC交BD于点F，连接EF，易知PO底面ABD，ACABD，所以POAC，又ABD是底面圆的内接正三角形，由3AD=，可得32AF=，2AC=.又3AE=，1CE=，所以222ACAECE=+，即90AEC=，又32AEAFACAE=，所以ACEAFE，所以90AFEAEC=，即EFAC，又,PO AC EF 平面PAC，直线/,EFPO PO 平面BDE，EF 平面BDE，所以直线/PO平面BDE.（2）因为/,POEF PO 平面ABD，所以EF平面ABD，又EF 平面BED，所以平面BED 平面ABD；（3）易知23POEF=，以点F为坐标原点，,FA FB FE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,02A，30,02B，30,02D，30,0,2E，1,0,32P，1,0,02O，所以33,022AB=，33,0,22AE=，13,022DO=，()0,0,3OP=，设平面ABE的法向量为(),nx y z=，则00AB nAE n=，即3302233022xyxz+=+=，令1x=，则()1,3,3n=，设()01OMOP=，可得13,322DMDOOM=+=，设直线DM与平面ABE所成的角为，则232sincos,731n DMn DMnDM+=+，即()222291241121sin37317 31+=+，令2121,0,131xyxx+=+，则2221112141212441493111111314412123112612xxxyxxxxx+=+4449111442112612xx=+，当且仅当12x=时，等号成立，所以当12x=时，212131xyx+=+有最大值 4，即当12=时，sin的最大值为 1，此时点13,0,22M，所以31,0,2MA=，所以点M到平面ABE的距离()31,0,1,3,327147MA ndn=，故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，点M到平面ABE的距离为714.22(1)()eexxf x=(2)2e2n+【分析】（1）设()eexxf xa=，即()eexxaf x=+，利用奇函数的性质求解即可.（2）先通过偶函数性质求出()1eexxg x=+，换元1eexxk+=，把()()22e0gxg xn+转化为22e2nkk+在12,e+ek上恒成立问题，求出最值即可求解.【详解】（1）设()eexxf xa=，则()eexxaf x=+，由题意()eexxaf x=+为奇函数，所以()()eeeexxxxaafxf x=+=+，即()11e0exxa+=，所以10a+=，解得1a=，所以()eexxf x=；（2）设()eexxg xb=，则()eexxbg x=+，由题意()eexxbg x=+为1,1上的偶函数，所以()()eeeexxxxbbgxg x=+=+，即()11e0exxb=，所以10b=，解得1b=，所以()1e(11)exxg xx=+；则()()22e0gxg xn+，即2211e2ee0eexxxxn+，即211e2ee20eexxxxn+，设1eexxk+=，因为1,1x，所以1e,eex，又函数1yxx=+在1,1e上单调递减，在1,e上单调递增，故11e2,e+eexxk+=，所以2211e2ee22e20eexxxxnkkn+=+，即22e2nkk+在12,e+ek上恒成立，函数22e2ykk=+在2,e上单调递增，在1e,e+e上单调递减，则22max(2e2)e2kk+=+，故2e2n+.【点睛】关键点点睛：函数恒成立问题往往分离参数，转化为求解新函数的最值问题，若函数形式比较复杂，往往采取换元法求解最值.