必修二讲义第一章立体几何初步114.docx

直观图画法【学习目标】1.把握斜二测画法的作图规那么2会用斜二测画法画出简洁几何体的直观图.预习新知夯实基础问题导学学问点斜二测画法1 .用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规那么2 .立体图形直观图的画法规那么画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面/o' y垂直的轴o' z'，且平行于 O' z'的线段长度不变，其他同平面图形的画法.L思考辨析判断正误-1 .用斜二测画法画水平放置的NA时，假设NA的两边分别平行于x轴和y轴，JLZA = 90°, 那么在直观图中，乙4=45。.（X ）2 .用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不 变.（X ）3 .在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（X ）启迪思维探究重点题型探究类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.C9 .给出以下说法，其中不正确的选项是.（填序号）水平放置的矩形的直观图可能是梯形；水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形.答案解析由斜二测画法规那么可知不正确.10 .如下图，四边形048。是上底为2 cm,下底为6 cm,底角为45。的等腰梯形，用斜二测 画法画出这个梯形的直观图O' A' B' Cf,那么在直观图中，梯形的高为 cm.解析作 CO, 8EJ_Q4 于点E,答案OA-BC0D=EA -2=2(cm),ODCD2 cm,在直观图中梯形的高为：X2X半 二、解答题11 .如图，A' B1 Cf Df是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的 直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解 由，A' Bf C Df是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直 观图，可得该四边形的原图形，如下图，这是一个底边长为2,高为也的平行四边形，故原 图形的面积为272.12 .如图，小 B C是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形A8C解(1)过, Bf分别作了轴的平行线交/轴于点，Ef .(2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E, D, < OE=Of, OD=Of Df,再分别 过£,。作y轴的平行线，取EB=2E' Bf, DC=2Df C ,连结03, OC, BC,并擦掉帮 助线及x轴，y轴，即画出原ABC13 .如下图，在48。中，AC=12 cm, 4c边上的高50=12 cm,求其水平放置的直观图的 面积.解方法一画/轴，/轴,O' yr =45°,作ABC的直观图如下图,故B'-AC-12 cm, Bf D'C的高为为-4Df =3吸(cm),所以 c =X12X3V2=18V2(cm2).即水平放置的直观图的面积为1872方法二的面积为口义 12X 12 = 72(cn?).由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得ABC水平放置的直观图的面积是乎义72=18*/2(cm2).三、探究与拓展14 .水平放置的A3C的斜二测直观图如下图，B1 C=4, A' C=3, Bf Cf/轴, 那么中AB边上的中线的长度为.考点题点答案解析平面图形的直观图与直观图有关的计算恒 2由斜二测画法规那么知ACJ_3c 即ABC为直角三角形，其中AC=3, BC=8,所以A5边上的中线长度为华.15 .用斜二测画法画出正三棱柱ABCA' Br C的直观图.解(1)画轴.如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点0,使NxOy=45。，ZxOz=90°.(2)画底面.作水平放置的正三角形的直观图ABC画侧棱.过A, B,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AV , BB' , CC,使得 A4' =BBf =CCf .成图.顺次连结A',"，U ,并擦去帮助线，将被遮住的局部改为虚线，得到的图形 就是几何体的直观图.解(1)在的直角梯形05co中，以底边0B所在直线为x轴，垂直于。8的腰。所在直线 为y轴建立平面直角坐标系.画出对应的，轴和 < 轴，使Nx' O' y=45。，如图所示.在/轴上截取。'B' =0B,在了轴上截取。'D'=：0。，过点。'作轴的平行线/,在/上沿/轴正方向取点C'使得O' C =OC.连结4c如图.(3)所得四边形。 B' C D'就是直角梯形O8CO的直观图，如图.引申探究假设将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，的中点。为原点，建立平面直角坐 标系，画出对应的坐标系/。' < ,使/ 0, < =45°.(2)以0'为中点在/轴上取A' B' =A&在 < 轴上取0, Ef =g()E,以£ 为中点画出C D' /xf轴，并使 C' Df =CD.连结"C' ,A',如图所示.所得的四边形A，B' Cf D'就是水平放置的等腰梯形ABC。的直观图，如图所示.反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一 般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线 段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二， 借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如下图，为一个水平放置的正方形45。，它在直角坐标系X。)，中，点8的坐 标为(2,2),那么在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点Bf到/轴的距离为解析 正方形的直观图如下图.由直观图的画法知，O' A'=1,又乙4' O' C=45°,过点4作A' D' _L。' C,垂足为O',点A'到轴的距离为A D' =0A' 6也45。=晋.又M B'/轴，点夕至UM轴的距离也是坐.类型二 直观图的复原与计算命题角度1 由直观图复原平面图形例2如下图，4Br Cf是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其复原成平面图形.一07O'A'_x解 画出直角坐标系在X轴的正方向上取04 =。',即CA = U A'；过"作"D' /yf轴，交尤'轴于点，在。4上取。=。 D1,过。作。3) 轴，且使。8=2。' B1；连结AB, BC,得A3C那么AABC即为AA，B' C对应的平面图形，如下图.D Ax反思与感悟由直观图复原平面图形的关键平行N 轴的线段长度不变，平行V轴的线段扩大为原来的2倍.对于相邻两边不与/、y轴平行的顶点可通过作£轴，y 轴的平行线确定其在xoy 中的位置.跟踪训练2如下图，矩形O' M Bf C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中0,4=6 cm, C D' =2 cm,那么原图形是答案菱形 解析 如下图，在原图形O43C中，应有0。=20' D'=2义2吸=4&(cm), CD=C' D' = 2(cm), OC=yOD2+CD2川(4地产+22=6(cm), ：.OA = OC,故四边形0ABe是菱形.命题角度2原图形与直观图的面积的计算 例3如下图，梯形A/iGA是一平面图形的直观图.假设了 ,A向GD，2一4囱=彳。=2, AxDx = O,。= 1 .试画出原四边形的外形，并求出原图形的面积.解 如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截取。=。 Z)i = l, 0C=0f Ci = 2.在过点。的y轴的平行线上截取Z)A = 2DiAi = 2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=AB=2.连结3G即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCO是直角梯形，上、下底长度分别为A8=2, CD=3,直角腰的2 3所以面积为S=-y二X2=5.反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是把握斜二测画法，明确原来实际图形中的 高，在直观图中变为与水平直线成45。(或135。)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求 图形相应的高.假设一个平面多边形的面积为S,它的直观图面积为S',那么S'=方5跟踪训练3如下图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A，Bf0, 假设0, Bf=1,那么原三角形A3。的面积是.答案y2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1,因此面积为:又直观图与原平面图形面积比 为也：4,所以原图形的面积为 类型三 简洁几何体的直观图例4用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABC。一A' Bf C D1 的直观图.解(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点。，使Nx0y=45。，ZxOz=90°.Df tzCD'C(2)画底面.以点。为中点，在x轴上取线段MM 使MN=4 cm；在y轴上取线段PQ,使 3PQ=5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和。作x轴的平行线，设它们的交点 分别为A, B, C, D,四边形ABC。就是长方体的底面ABCD画侧棱.过A, B, C,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长 的线段 ，BB' , CC'，DDf .(4)成图.顺次连结A' , B' , C',(去掉帮助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到 长方体的直观图.反思与感悟 直观图中应遵循的根本原那么用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应 分别画成平行于/ 轴、y，轴、z'轴的线段.平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变.跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥P的直观图，其中底面A8CDE歹为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心。(尺寸自定)解(1)画出六棱锥PA8COE/的底面.在正六边形中，取AO所在的直线为x 轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点。，如图(1),画出相应的/轴、/ 轴、z'轴，三轴相交于0,，使。'y =45。，0f z' =90。，如图(2)；在图(2)中， 以0'为中点，在/轴上取A' D' =AO,在 < 轴上取M' N =；MN,以点N'为中点, 画出夕C平行于/轴，并且等于5C,再以为中点，画出E' F1平行于/轴，并 且等于所；连结A' BC D'，Dr EF A',得到正六边形ABC。所水平放置 的直观图A' B, C Df Ef Ff .(2)画出正六棱锥PA3CO石尸的顶点.在z'轴正半轴上截取点P',点P 异于点。'.使 p' o' =pa(3)成图.连结 P AP' B , pi C , P' D' , Pf Epi F并擦去 一 轴、y' 轴和z，轴(被遮挡的局部为虚线)，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'- A1 B' C Df E' F',如图(3).检测评价达标过关达标检测1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的选项是图中的.(填序号)31.5 L5/73r73333答案解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.2 . 一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,那么此正方形的面积为答案16或64解析 等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.3 .有一个长为5 cm,宽为4 cm的矩形，那么其用斜二测画法得到的直观图的面积为 cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算 答案5也解析 该矩形直观图的面积为乎X 5X4=5也.4 .如下图为一平面图形的直观图，那么此平面图形可能是下列图中的.（填序号）答案解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或与y轴平行的线 段在新坐标系中的长度变为原来的白，并留意到NxOy=90。，NN O' y' =45。，因此由直 观图复原成原图形为.5 .画出一个正三棱台的直观图.（尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm） 解（1）作水平放置的下底面等边三角形的直观图A5C,其中。为ABC的重心,8C=2 cm, 线段AO与x轴的夹角为45。，AO=2OD.yx（2）过。作z轴，使NxOz=90。，在z轴上截取。1 =2 cm,作上底面等边三角形的直观图A' Bf C,其中4C=1 cm,连结AV , BBf, CC'（去掉帮助线，将被遮挡的局 部改为虚线），得正三棱台的直观图.L规律与方法-1 .画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采纳直角 坐标系.建立恰当的坐标系是快速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量 多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2 .用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜、"二测两点：一斜：平面图形中相互垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O' x、O' y'轴，使 N/ O' y =45。或 135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵 折半.课时对点练注重双基强化落实一、填空题1 .在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点”(4,4)在直观图中的对应点是M1,那么 点的坐标为.答案(4,2)解析 由直观图画法“横不变，纵折半可得点的坐标为(4,2).2 .如图，Br C是水平放置的ABC的直观图，A' Bf /y1轴，Bf C尤'轴，那 么ABC的外形是 三角形.答案直角 解析才Br)/轴，Bf Cf/轴, ，在原图形中，轴，8Cx轴， 故ABC为直角三角形.3 . 一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4,那么画其直观图时对应的长度依次为 答案4,4,4 解析依据斜二测画法规那么可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直 线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4 .下面各组图形中2个边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是.(填序号)答案解析 可分别画出各组图形的直观图，观看可得结论.5 .如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，那么原来图形的外形是.（填序号）答案解析 直观图中正方形的对角线长为也，故在平面图形中平行四边形的高为2啦，只有满 意条件，故正确.6 .在如下图的直观图中，四边形。, A' Bf C为菱形且边长为2 cm,那么在坐标系xOy 中，原四边形。48c为（填外形），面积为 cm2.答案矩形8解析 由题意并结合斜二测画法，可得四边形0A3C为矩形，其中0A = 2cm, 0C=4cm, 四边形0A3C的面积为S=2X4=8（cm2）.7 .用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的选项是 .（填序号）原来相交的仍相交；原来垂直的仍垂直；原来平行的仍平行；原来共点的仍共点.答案解析 依据斜二测画法，原来相互垂直的线段未必垂直.8.如下图，Bf O'为水平放置的AB。的直观图，由图推断AB。中，AB, BO, BD, OD由小到大的挨次是./答案 OD, BD, AB, BO解析 由题图可知，在A3。中，00=2, BD=4, AB=y179 B0=2小,故 ODBDABBO.