第02讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（解析版）.docx

第2讲 充分条件与必要条件.全称量词与存在量词考点1 ：充分、必要条件的判断 考点2:根据充分、必要条件求参数范围充分条件与必要条件、全称量词与存在量词7判断全称命题、特称命题真假公 考点3:全称量词命题与存在量词命题号厂丁、根据全(特)称命题的真假求参数考点4:含有量词的命题的否定走进教材自主回顾/1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p=q，则是4的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pqq且q*pp是q的必要不充分条件p*q 且 q0Pp是q的充要条件p0qp是q的既不充分也不必要条件p+q且c冲p2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符r以小全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V存在量词存在一个、至少有一个、有些、 某些等3(2)全称命题和特称命题形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个xo， 使p(%()成立7. (2021秋辽宁期末)“关于x的不等式X2一2公+ >0对X/xwH恒成立”的一个必要不充 分条件是( )A. 0<6；<1B. «,0C.畸女 1D. 0<a<-2【分析】由“关于x的不等式V26+。>0对VxwR恒成立”解出。的取值范围，即可解 决此题.【解答】解：由“关于x的不等式£一2方+。>。对VxwR恒成立”，可得(一2。)2-4乂1乂4<0,解得：Ovavl,而(0)U0, 1,故选：C.8. (2021秋赣州期末)已知p:|x|, 1, qx<a,若ry是的充分不必要条件，则实数。 的取值范围是()A. (-oo,l)B. (-00, 1C. (1,+8)D. 1 , +oo)【解答】解：由p：|x|» 1解得X£T , 1,r是T7的充分不必要条件op是q的充分不必要条件，可知一1, 1U (-00, t2), /. Cl> .故选：C.9. (2021 秋常州期末)已矢口集合 =x|Y3x + 20, N = x|(x 1)(x q),0, qeR,若是“X£N”的充分不必要条件，则实数。的取值集合为()A. (-oo,2)B. 2, +oo)C. (1 , 2D. (2,+oo)【解答】解：集合3工+ 2釉 = x|l a? 2),UlUiJc a(a>)N = x(x-l)(x-a, 0 , ae R = < xcc (a < 1),、若是xcN的充分不必要条件，则孑j M寸N ,当q>1时，得q>2,故q>2,当6,1时，集合M不能真包含于N,故无解，综上，实数的取值范围为(2,+oo).故选：D.A 考点3全称量词命题与存在量词命题名师点睛1 .判断全称命题、特称命题真假的思路断题型判命类全称 命题经证明为真或与性质、定 理等真命题相符真命题可举一反例，且反例成立f假命题特称 命题可找到化，使p（，）成立 找不到欠，使p（%）成立卜真命题T假命题2 根据全（特）称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解 决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式 （组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围.典例1. （2021秋南宁期末）下列说法正确的个数有（）（1）命题“若/=1,则x = l”的否命题为：“若则xwl”；（ii）"Vv>0, -2% + 2.0” 的否定为“现 >0,使得年2%+2<0 ”；（iii）命题“若分1,则d+2 + 9 = 0有实根”为真命题；（iv）命题“若x = y,则f = y2”的否命题为真命题；A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】利用四种命题的逆否关系判断A、 D；命题的否定判断3；一元二次方程根的情 况判断C.【解答】解：“若犬=1,则的否命题为“若dwi,则xwl"，所以（i ）不正确； “X/x>0, Y2X + 2.0"的否定为“玉。>0,片-2/+2<0"，满足命题的否定形式， 所以（ii）正确；f+2x + q = 0有实根可得4-4夕.0,即名,1,所以命题“若为1,则2+2x + q = 0有实根”命题“若x = y,贝iJx2=>2，的否命题为，若工。,，贝ijdw/"是假命题，如 = i, y = _i,但/=；/,所以（山）不正确；故选：B.2.（2021秋宣城期末）若命题“玉>0,使得士 + x一%o”为真命题，则实数。的取值范 x围是（）A. a>4B. a. AC. q<4D. % 4【分析】直接转化为基本不等式求最值，求出需要满足的条件即可求解结论.【解答】解：.命题“3x>0,使得± + x %0”为真命题，x4、a.（ + x）minX因为3 + x.24日二=4,当且仅当x = 2时等号成立，xV x故44 ,故选：B.举一反三1 .（2021秋南通期末）若命题“玉£/?, 1-根”是真命题，则实数z的取值范围是（）A. （-00,1）B. （-00, 1C. （l,4-oo）D. 1 , +oo）【分析】根据特称命题为真命题得到判别式>（）,即可得到结论.【解答】解：若命题“土1-m”是真命题，即£ +加一 1 < 0有解，对应的判别式>（）,即uYCm-1）>0,解得m<y故选：A.2 .（2021秋沙依巴克区校级期末）下列结论中正确的个数是（）命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；命题“尤wH, f+iv。，是全称量词命题；命题f+2x+L, 0” 的否定为 “ VxcR, x2+2x + l 0；命题“>是儿2的必要条件”是真命题.A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答 案.【解答】解：对于：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故错误； 对于：命题"VxwR, M+ivo”是全称量词命题；故正确；对于：命题:土£氏，/+2工+ 1,0,贝|JDxwR, x2+2x + 1>0,故错误；对于：ac1>bc /.c20,即/>。，所以不等式两边同除以便得到.“ a>b”是“ etc? >bc2”的必要条件；正确；即正确的有2个，故选：C.3. (2021秋江苏期中)已知命题“王£/?,使412+(2)x + 1,0”是假命题，则实数。的 4取值范围是()A. (yo,0)B. 0, 4C. 4, +oo) D. (0,4)【分析】先将特称命题转为全称命题，把问题转化为二次函数恒正问题，再用判别式列不等 式求解.【解答】解：因为命题使4工2+(q-2)x + L,0 ”是假命题， 4所以命题“VxcH,使+(q_2)x + ；>0”是真命题， 即判别式 = ( 2f4x4x；<0,解得 0vqv4 ,所以实数。的取值范围是(0,4).故选：D.4. (2021秋福田区校级期末)若命题/+以+ l.0”是假命题，则实数。的取 值范围为( )A.(00 , 2)(2 9 +8)B.(00 ,2C.2 , +8)D.(00 ,2J2, +8)【分析】根据题意可得>(),即可求出。的取值范围.【解答】解：,/+奴+ 1.0是假命题，a > 2或a v -2 ,.实数。的取值范围为(-8, -2)0(2, +8),故选：A.5.(2021秋营口期末)若命题：“玉，yR,/十房：/<g2 y2 ”是假命题，则实数相 的取值范围是()A. (-00, 4B. (-00, 8C. 4, +oo)D. 8, +8)【分析】根据命题是假命题，得出命题m是真命题，讨论肛=0和肛wO时，分别求出 不等式恒成立时实数机的取值范围.【解答】解：命题：“土，f+16y4Vg2 y2”是假命题，所以命题可：“Vx, y/+16)?.如2y2 ”是真命题，当孙=0时，不等式化为r+16只.0,对任意加£尺都成立，21( 2当孙。0时，x2>0, y2>0,不等式化为二十 粤.加，y 尤22即：“Vx, yeR,，二十 *” 是真命题， y x2, 2/ 2, 2因为=十 *.2、=*=8,当且仅当 = ±4y时等号成立，y x y %所以实数2的取值范围是(-8, 8.故选：B.6.(2021秋民勤县校级期末)命题“任意x£-1, 2,2x-0”为真命题，则实数。的取值范围是.【解答】解:Xg-1, 2,一2% 一 0,即-a 1)21 ,y = (X l)2_l的对称轴是工=1,函数在-1, 1)递减，在(1, 2递增，.X = -1时函数取得最大值，函数的最大值是3,"任意 xc1, 2, X22x 0 v为真命题，/.a.3 ,所以实数。的取值范围是3, +oo),故答案为：3, +oo）.7. （2021秋鹰潭期末）命题“土£氏，依2+以+ 2<0”为假命题，则实数。的取值范围 是.【解答】解：命题ax2+ tzr + 2<0 v是假命题，则它的否定命题“MxeR,以2+收+ 2.0”是真命题，a = 0时，不等式为2.0,显然成立；qwO时，应满足°-解得0<8,.=q 84，0所以实数。的取值范围是0, 8.故答案为：0 , 8.8. （2021秋河南月考）命题“玉0GR,使西-（租+ 3）/+叫,0"是假命题，则实数加的 取值范围为.【解答】解：命题ug R ,使nu；-（帆+ 3）飞+棋,0 ”是假命题，则命题ExeR, nvc -（m+ 3）x +根>0恒成立为真命题.所以：当刃=00寸，-3x.0,不恒成立，当 mwO 时，需满足（2 八，W4# me （3,-Foo）, <0 （m + 3）2-4m2<0故加的范围为（3,转）.故答案为：（3,zo）.9. （2022梅州模拟）已知命题p：VxeR, f+%_ > 0为假命题，则实数。的取值范围 是.【解答】解：因为命题p:VxeR, f+工q>。为假命题，所以它的否定命题/+尤。为真命题，所以 = F-4x （-）.0，解得 a.L4所以实数a的取值范围是+oo）.故答案为：+00）.4>考点4含有量词的命题的否定名师点睛命题否定的方法（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.典例（2021秋重庆期末）命题“X/xcR, V2X + 3>0”的否定为（）A. 9x2 -2x + 3 > 0B.x2 -2% + 3 0C. /xgR , x2 -2x + 3<0D. /xeR , x2 -2x + 3.0【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题 “VxcH, d_2x + 3>0 ” 的否定为：3xg7?, x2-2x + 3 0.故选：B.举一反三1 .（2021秋香坊区校级期中）命题“ VxcH, /一%+ 5.（），的否定是（）A. Vxe7? , x2+ x + 5 < 0B. 3xeR9 x2 - + 5.0C.弋xeR , x2 -x + 5 >0D. 3%g/?, x2 -x + 5<0【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，贝IJ命题 “DxwR, 丁_工 + 5.0” 的否定是 “小£氏，Jl + 5<0，.故选：D.2 . （2021秋福州期末）命题“Vx>0,2一20”的否定是（ ）A. 3a;,0 , a:2 -1 >0 B. Vx>0, x2 -1 >0 C.玉>0, x2 -1 >0D. Vx, 0 , x2-l>0【分析】运用全称命题的否定为特称命题以及量词的变化，即可得到所求命题的否定.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，命题“Vx>0, %2一1,。”的否定是土>0, x2-l>0 .故选：C.3 .(2022春海淀区校级月考)已知命题p:t'oeR, x2.O,则力是( )A. 史 R ,x2.O B. Vxe/? , x2<0 C. 3%0 e /? , x；.。 D. 3x0 e 7? , x；<。【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即x2<0, 故选：B.4 .(2022齐齐哈尔一模)命题：*>0, sin(x-1).1的否定为()A. Hx>0, sin(x-l) <1B.比,0 , sin(x-l).lC. X/x>0, sin(-l)<lD. X/用,0, sin(x-l) <1【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为Vx>0, sin(x-l)<l, 故选：C.简记rxRM，p(x)m ，p(xo)否定!xRM，ip(x)3.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.考点探究题型突破>考点1充分、必要条件的判名师点睛充分条件、必要条件的两种判断方法定义法：根据今/夕进行判断，适用于定义、定理判断性问题.集合法：根据p, q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母 的范围的推断问题.典例1.（2020天津）设awH,则“ a> 1 ”是“ 片，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解得。的范围，即可判断出结论.【解答】解：由/，解得q v 0或a > 1,故“ a > 1 ”是“ / >。，的充分不必要条件，故选：A.2.（2020浙江）已知空间中不过同一点的三条直线/, m, 则m, 共面”是 加，两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由2 , ，/在同一平面，则2 , ，/相交或2 , ，/有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断.【解答】解：空间中不过同一点的三条直线机，n , 19若 2,/在同一平面，则2, n ,/相交或 2, ，/有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行.而若“相，/两两相交”，贝IJ “加，n , /在同一平面”成立.故加，/在同一平面”是“相，力，/两两相交”的必要不充分条件，故选：B.举一反三1 . （2022潍坊一模）已知a>0,则“优>。3，是，>3”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】优0。>3或0<。vl,以此可解决此题.【解答】解：,.优>q3qq>3或0vvl,.当q>0时，则“优>/”是“q>3”的必 要不充分条件.故选：B.2 .（2022山东一模）设x, yeR,则 “ x v 1 且 y v 1 ” 是 “ x+y v 2 ” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可.【解答】解：当XV1且><1时，则x+y<2成立，充分性成立，当x = 0, y = 1.5时，满足x+y <2 ,但不满足xvl且）<1 ,必要性不成立，,.xvl且y<l是x+yv2的充分不必要条件，故选：A.XV = 13 .（2022南昌一模）已知 A = （x,y） 八 ,3 = （x,y）|x+y.2,贝是% > 0, j > 0“ PeB”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据集合A、8的几何意义可解决此题.【解答】A = (x,y)|,“1表示双曲线 > ='上的点的集合，3 = (x,>)|x+y.2表示x>0,y>0x直线%+ > = 2上或其右上方点的集合，由A、5的几何意义可知AU8,“PeA”是的充分不必要条件.故选：A.4 .(2022福州模拟)"Ovav” 是 aa-<b-v的( ) a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】将-,人+,化简成-与(1+上)，由此来判断。，h的大小关系，即可求解. a hab【解答】解： a- - -b- - = (a-Z?)(l + ) , tz g(0,+oo) , /?g(0,+oo), a bab.若"Ovqv/7"，则a L 匕 + 'vO,即q_L< _ _L,所以具有充分性； a ba ba-<b-,贝 ij(a b)(l + L)vO ,不一定可以推至 UOvavb,如 a = 5, 。= 一2, a bab(a 。)(1 + -!-)<0,但avbvO,所以不具有必要性； ab故选：A.5. (2022春秀英区校级月考)若加cH,则复数(m + l) + (2-在复平面内表示的点在第一象限的一个充分不必要条件为()A. -l<m<2 B. m = 2C. -2 <m <2D. m = 0【分析】根据充分必要条件的定义结合复数的儿何意义，从而得到答案.【解答】解：二,复数(加+ 1) + (2-/何在复平面内表示的点在第一象限，m +1 > 0 f可得，角牛得1 v6v 2 ,2 - m > 0 /?i|m = 0U m- < m< 2加=0是复数(m + l) + (2-在复平面内表示的点在第一象限的充分不必要条件，故选：D.6 . (2022春山东月考)“av4”是“过点(1,1)有两条直线与圆f+产+2y- = 0相切”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：过点（1,1）有两条直线与圆x2+y2+2y- = 0相切Q点（1,1）在圆外+12+2xl-6Z>0 ,解得qv4.所以“Q<4”是“过点（1,1）有两条直线与圆f+y2+2y = （）相切”的充要条件.故选：C.7 .（2022重庆模拟）设awR,则“ a>3 ”是“ 士 < 1 ”的（）aA.充分不必要条件b.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由3<1,可得三<0,解得>3或。<0. aa.“a>3"是“3<1”的充分不必要条件. a故选：A.8 .（2022盐城一模）在等比数列“中，公比为小 已知4=1，则。<4<1是数列4单调递减的（）条件A.充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【解答】解：由题意得，等比数列的首项为“，公比为q,所以4,由指数函数的单调性得，若0<q<l,则单调递减，若单调递减，则Opel,综上得，4=1,则0<9<1是数列4单调递减的充要条件，故选：C.9 .（2021秋济南期末）已知函数y = /（x）在区间，切上的图象是一条连续不断的曲线,那么a f （a） J （b）0”是“函数y = /（x）在区间（。力）内存在零点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由零点存在性定理，可知充分性成立;反之.若函数 = /, xe-l, 1,则/（一1）-） （ 1）0 .且有零点x = 0.故必要性不成立.故选：A.10 . （2022海淀区校级模拟）已知非零向量q,gc共面，那么“存在实数；I,使得=呢”是“（a.b）.c = a3.e）成立”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由非零向量a，b , c共面且d = /lc，可得（d由）W = （4Wb），= 4d（c0） = aSW）,当q _Lb且匕JL c时满足（。匕） c =c） = 0成立，又因为非零向量b ,c共面，所以一定存在实数4,使得q = 4c,._ _Z7 . A当b与c不垂直时，bcw0,因为（Z?）c = a（/?c）,所以 =c ,从而可得正确选项.b c【解答】解：由非零向量。,b ,c共面且。=2c，可得3而c = （/e0）d = 4c（c0） = &Sd）,当q _L且b JL c时满足（。,匕）,c = c）=。成立，又因为非零向量a, b ,c共面，所以一定存在实数4,使得a = /lc.当b与c不垂直时，b,cwO,因为（ab）c = Q（bc）,所以=巴2°,令卫巳=九,所以 b -c b -c一定存在实数人使得=芯.“存在实数,使得=衣”是“（a.b）.d = Sc）成立”的充分必要条件.故选：C.»考点2根据充分、必要条件求参数范围名师点睛根据充分、必要条件求参数范围的思路方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根 据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关 系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏 解或增解的现象.典例1. (2022株洲模拟)是的必要不充分条件，则a的取值范围为( )A. (3,+oo)B. (0,2)C. (-00, 2D. 0, +oo)【分析】是“x.2”的必要不充分条件=2, +oo)U6/, +oo),以此可求得的取 值范围.【解答】解：是“X.2”的必要不充分条件。2, +oo)U4, +oo), 由此可知。的取值范围为(-co.故选：B.2.(2022奉贤区校级开学)设a:x.2, B：x>a,且。是尸的充分条件，则实数。的取值 范围是.【分析】。是的充分条件=2 , +oo)q(a, +8),以此可求得实数。的范围.【解答】解：。是/?的充分条件=2 , +oo)q(a, 4-00),由此可得a£ (co.故答案为：(yo,2).举一反三1.(2022许昌模拟)若1+,0是(x-尸<4成立的一个充分不必要条件，则实数。的 2-x取值范围为()A. (-00, 4B. 1 , 4C. (1,4)D. (1 , 4【分析】1 +一,0ox£(2 ，3 , (x-tz)2<4<=>xg(6/-2,6z + 2),根据题意可知(2 , 2-x3。(。-2,。+ 2),然后可求得实数。的取值范围.【解答】解：1 +,0oxe(2, 3,(龙一。)2 <4 = x£(4-2, + 2), 2-xa-22根据题意可知(2, 3U( 2, + 2) ,1” ，解得。£(1, 4.q + 2> 3 、故选：D.2 .(2021秋新余期末)已知(工+。秋-16>0”的必要不充分条件是、, -2或"3”,则实 数。的最大值为()A. -2B. -1C. 0D. 1【分析】由(x + q)216>0得xv-4 q或根据题意得“|工，2或X.3真包含 xx<-4-ax>4-a,以此可求得。的最大值.【解答】解：由。+，)2-16>0得XV-4 4或x>4 4,根据题意得x|茗，2或x.3真包 含xx<-4 q或x>4 q,./一'：？，解得一2张打1,实数。的最大值是1.故选：D.3 . (2022日照一模)已知 :|x + l|>2, q: x > a ,且是r的充分不必要条件，则实数。 的范围是()A. 19 +8)B. (co 91C. 3 , +8)D. (oo , 3【分析】:|x + l|>2 = x+lv -2或%+1 > 2oxv-3或1, 是£的充分不必要条件 o,是的充分不必要条件，+00)0 (-00 , -3)(1, +8),根据前面转化可解决此题.【解答】解：p:|x + l|>2 = x + l <-2 或x + l>2oxv-3 或 x>l,-p是F的充分不必要条件oq是p的充分不必要条件，可知(Q ，+8)U (-00 , -3)(1 , +oo),故选：A.4.（2021秋南昌期末）命题“对任意xgl, 2, x.为真命题的一个充分不必要条件 是（）A. a.AB. a<C. a.AD.%4【分析】根据全称命题为真命题，求出。的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断 即可.【解答】解：对任意X£l, 2, X.CI为真命题，则对任意2, x.a ,即 小（X）,"加， 1,则命题“对任意X£l, 2,为真命题的一个充分不必要条件可以是avl,故选：B.5 . （2021秋赫章县期末）若“掇!k 4”是“磅!k，+ 4”的充分不必要条件，则实数。的 取值范围为（）A. “,0B.滕女 1C. 0<（2<1D. 0 或【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可.【解答】解：因为“啜!k 4”是“成!k。+ 4”的充分不必要条件，所以卜:J即旗女1- + 4.4故选：B.6 .（2022晋中模拟）已知条件p:-l vxvl , q:x>m,若是9的充分不必要条件，则实 数机的取值范围是（）A. -1 , +8）B. （-oo,-l）C. （-1,0）D. （-00, -1【分析】利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数机的取值范围.【解答】解：由p: - Ivxvl, q: x > m,若是q的充分不必要条件，则x| -1cx< 1 0 %| X叫,则叫，-1,故选：D.