第01讲整数和整除（3大考点）（解析版）.docx

第01讲整数和整除（3大考点）1.自然数'正整数 整数零J负整数2.整除：整数a除以整数b,若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件:除数、被除数都是整数; 商是整数且余数为零.,三整一零.L 口"整除：被除数、除数、商都是整数，且余数为零； 区别4整除与除尽的关系除尽：被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.联系：整除是除尽的特殊形式.3,因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.'因数与倍数互相依存；因数与倍数的特征：一个整数的因数中最小因数为1,最大因数为它本身 一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数,偶数（2n）；（否则是奇数（2nT） 特征：个位上是0,2,4,6,8.能5整除的数的特征：个位上数字是0, 5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0,且各个数位上数字之和能被3整除.5.（拓展）能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数.U考点精讲考点一：整数和整除的意义一、单选题1. （2020上海市静安区实验中学课时练习）已知机能整除73,那么根是（）A. 146B. 9C. 1 或 73D, 219【答案】C考点三：能被2, 5整除的数一、单选题1. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中错误的是（）A.任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数B. 一个正整数，不是奇数就是偶数C.能被5整除的数一定能被10整除D.能被10整除的数一定能被5整除.【答案】C【分析】根据数的倍数的特征，奇数与偶数的性质依次判断即可.【详解】A、任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；B、一个正整数，不是奇数就是偶数；C、能被5整除的数不一定能被10整除；D、能被10整除的数一定能被5整除.故选：C.【点睛】此题考查数的倍数的特征，奇数与偶数的性质，正确理解并运算解题是关键.2. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）四位数2A3B能同时被2, 5整除，则B等于（）A. 2B. 5C. 0D. 7【答案】C【分析】根据被2, 5整除的数的特征，可知个位上的数是0,由此即可判定.【详解】个位上是。的整数能同时被2、5整除.故选：C.【点睛】本题考查了数的整除问题，解题的关键是记住被2, 5整除的数的特征，所以基础题.3 .（2020上海市静安区实验中学课时练习）两个连续的自然数的和是（）A.奇数B.偶数C.奇数或偶数D.既不是奇数也不是偶数.【答案】A【分析】根据自然数的排列规律：偶数、奇数、偶数、奇数；再根据偶数和奇数的性质，奇数+偶数=奇 数，偶数+偶数=偶数，奇数十奇数=偶数，据此判断即可.【详解】两个连续的自然数，一个是奇数，另一个是偶数，奇数+偶数二奇数.故选A.【点睛】此题考查的目的是掌握自然数的排列规律、偶数和奇数的性质.4 . （2020上海市静安区实验中学课时练习）要把一个奇数变成偶数，下列说法中错误的是（）A.加上1B.减去1C.乘以2D.除以2【答案】D【分析】根据奇数和偶数的定义逐项判断即得答案.【详解】解：A、一个奇数加上1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；B、一个奇数减去1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；C、一个奇数乘以2可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；D、奇数不能被2整除，所以一个奇数除以2不能变成偶数，故本选项说法错误，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义，属于基础概念题型，熟知二者的概念是关键.5 . （2020.上海市静安区实验中学课时练习）既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是（）A. 102B. 105C. 110D. 100【答案】D【分析】根据2、5的倍数特征解答即可.【详解】能被2和5整除的数个位上是0,则最小的三位数是100故选：D.【点睛】此题考查了 2和5的倍数的特征数，熟记并熟练运用特征解题是关键.二、填空题6 .（2021 上海浦东新期末）能同时被2和5整除的最小两位数是.【答案】10【分析】根据能同时被2和5整除的数是个位是。的数，所以可直接得出答案.【详解】能同时被2和5整除的最小两位数是10；故答案为10.【点睛】本题主要考查因数与倍数，关键是熟记能同时被2和5整除的数的特征即可.7 . （2020.上海市静安区实验中学课时练习）两个奇数的根一定是,两个偶数的积一定是_个奇数与一个偶数的积一定是一.（填"奇数”或"偶数”）.【答案】 奇数偶数偶数【分析】根据数的乘法运算法则进行解答.【详解】奇数X奇数二奇数，偶数X偶数=偶数，奇数X偶数=偶数，故答案为：奇数、偶数、偶数.【点睛】此题考查数的乘法运算法则，乘积的奇偶性由两个乘数的奇偶决定：奇数X奇数=奇数，偶数X偶数=偶数，奇数X偶数=偶数，正确理解即可正确解决问题.8 .（2020上海市静安区实验中学课时练习）个位上是的整数是奇数.【答案】1, 3, 5, 7, 9【分析】不是2的倍数的整数，叫做奇数，所以奇数的个位上的数字一定是1、3、5、7、9；据此解答.【详解】解： 不能被2整除的整数叫做奇数，个位上是单数的整数是奇数，即奇数的个位上一定是数字1、3、5、7、9.故答案为：1, 3, 5, 7, 9.【点睛】此题考查奇数的意义，明确不是2的倍数的整数叫做奇数是解答本题的关键.9.（2020上海市静安区实验中学课时练习）整数2009至少加上才能同时被2、5整除.【答案】1【分析】由同时被2,5整除的数的特点可得整数的个位数是0,从而可得答案.【详解】解：因为个位上是。的整数能同时被2、5整除，所以整数2009至少加上1才能同时被2、5整除.故答案为：1.【点睛】本题考查的是能被2,5整除的数的特点，掌握以上整数是解题的关键.10. （2020上海市静安区实验中学课时练习）的数能被3整除.【答案】各个位上的数字之和是3的整数倍【分析】能被3整除的数的各数位上的数字之和为3的整数倍，据此解答问题.【详解】各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被3整除.故答案为：各个位上的数字之和是3的整数倍.【点睛】此题考查3的倍数的特点，熟记并熟练运用倍数的特点解题是关键.11.（2020上海市静安区实验中学课时练习）123至少加上才能被2整除，至少加上 才能被5整除.【答案】12【分析】个位上是0, 2, 4, 6, 8的整数都能被2整除，个位上是。或者5的整数都能被5整除，据此解 答.【详解】123要想被2整除，个位数字要变成偶数，需要加1；要想被5整除，个位数需变成5,则要加2； 故填：1; 2.【点睛】本题考查被2和5整除的数的规律，熟悉掌握基础知识是关键.12. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）自然数中最小的奇数是,最小的偶数是【答案】 10【分析】由自然数包含。和正整数，结合奇数与偶数的特点可得答案.【详解】解：因为：自然数包含0和正整数，,又因为：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，所以：自然数中最小的奇数是1,最小的偶数是0.故答案为：1,0.【点睛】本题考查的是自然数，奇数，偶数的定义，掌握以上知识是解题的关键.13. （2020上海市静安区实验中学课时练习）个位上是 的整数，一定能被5整除.【答案】。或者5【分析】能被5整除的数的个位上是0或5,由此得到答案.【详解】个位上是0或者5的整数都能被5整除.故答案为：。或5.【点睛】此题考查能被5整除的数的特点，正确理解并掌握其特点是解题的关键.14. （2020上海市静安区实验中学课时练习）个位上是的整数，一定能被2整除.【答案】0, 2, 4, 6, 8【分析】由能被2整除的数的特点：这样的数是偶数，从而可得答案.【详解】解：个位上是0, 2, 4, 6, 8的整数都能被2整除.故答案为：0,2,4,6,8.【点睛】本题考查的是能被2整除的数，即偶数的特点，掌握以上知识是解题的关键.15. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）在20、30、126这些数中，既是3的倍数，又是5的倍数【答案】30【分析】既是3的倍数，又是5的倍数的数满足：个位上是。或者5,且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可.【详解】解：在20、30、126这些数中，30既是3的倍数，又是5的倍数.故答案为：30.【点睛】本题考查了 2、3、5倍数的数的特征，属于基本题型，熟练掌握解答的方法是关键.16. （2020上海青教院附中期中）能同时被2、5整除的最大两位数是.【答案】90【分析】同时能被2、5整除的整数个位上的数字为0,最大的整数即十位为9,由此得到答案.【详解】个位上是0的整数能同时被2、5整除，最大的两位数是90,故答案为：90.【点睛】此题考查有理数的除法计算，掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键.17. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）能被2整除的整数叫做 数，不能被2整除的整数叫做数.【答案】 偶奇【分析】根据偶数、奇数的定义解答即可.【详解】解：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.故答案为：偶，奇.【点睛】本题考查了偶数与奇数的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键.18.（2020.上海市静安区实验中学课时练习）下面各数哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？ 哪些能被 10 整数？ 205、44、75、1、115、1000、60、128、495、1500、106、2000、478能被2整除的数：能被5整除的数：能被10整除的数：能被3整除的数：【答案】44, 1000, 60, 128, 1500, 106, 2000, 478； 205, 75, 115, 1000, 60, 495, 1500, 2000； 1000, 60, 1500, 2000； 75, 60, 495, 1500, 106【分析】根据能被2、5、10、3整除的数的特点解答.【详解】解:能被2整除的数有:44, 1000, 60, 128, 1500, 106, 2000, 478；能被 5 整除的数有：205, 75, 115, 1000, 60, 495, 1500, 2000；能被10整除的数有:1000, 60, 1500, 2000；能被3整除的数有:75, 60, 495, 1500, 106,故答案为:44, 1000, 60, 128, 1500, 106, 2000, 478； 205, 75, 115, 1000, 60, 495, 1500, 2000； 1000, 60, 1500, 2000； 75, 60, 495, 1500, 106.【点睛】此题考查2、5、10、3的倍数的特征：个位上是0, 2, 4, 6, 8的整数都能被2整除，个位上是0 或者5的整数都能被5整除，个位上是。的整数能被10整除，各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被 3整除，熟记特征并运用解题是关键.19. （2021 上海市复旦初级中学期中）能同时被2、3、5整除的最大的三位数是.【答案】990.试题分析：同时是2、3、5的倍数的最大的三位数，只要个位是0,百位是最大的自然数9,十位满足和百 位、个位上的数加起来是3的倍数即可，这样的数有：0、3、6、9,其中。是最小的，9是最大的，据此求 出最大的三位数是990.三、解答题20. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）从3、0、5、8中任取不同的儿个数字，组成能被2整除的最 大三位数是多少？能被5整除的最小四位数是多少？【答案】850, 3085【分析】（1）能被2整除，则个位应为。或8,组成一个最大的三位数，最高位应为8,十位为5,个位为0；（2）能被5整除的数，个位上是。或5,因为要找最小的数，所以3在最高位，。在百位，8在十位，5在 个位.【详解】解：由题意得，满足条件的最大三位数：8在百位，5在十位，。在个位，即850；满足条件的最 小四位数：3在千位（0不能在首位），。在百位，8在十位，5在个位，即3085.【点睛】此题重点考查能被2、5整除的数的特征及其运用，求组成的最大的数，该数从最高位到最低位， 数字选择由大到小；求组成的最小的数，该数从最高位到最低位，数字选择由小到大，但最高位上的数字 不能为0.21. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）如果a是一个奇数，那么与a相邻的两个偶数是多少？【答案】1,。+ 1【分析】由相邻的两个偶数相差2,相邻的两个整数相差1,从而可得答案.【详解】解：因为：相邻两个整数相差1,所以：a是一个奇数，那么与a相邻的两个偶数是故答案为：【点睛】本题考查的是相邻的两个整数相差1的特点，掌握以上知识是解题的关键.22. （2020上海市静安区实验中学课时练习）填空，使所得的三位数能满足题目要求（1） 3口2能被3整除，则口中可填入（2） 32既能被3整除，又能被2整除，则口中可填入（3） 口3口能同时被2, 3, 5整除，则这个三位数可能是【答案】（1） 1或4或7； （2） 4； （3） 330或63。或930【分析】（1）根据各个数位上的数字之和是3的整数倍解答即可；（2）既能被3整除，又能被2整除，则这个数是偶数且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即 可；（3）能同时被2, 3, 5整除，则这个三位数的个位数是0,且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此 解答即可.【详解】解：（1） 3口2能被3整除，则口中可填入1或4或7；故答案为：1或4或7；（2） 32口既能被3整除，又能被2整除，贝I口中可填入4；故答案为：4；（3） 口3口能同时被2, 3, 5整除，则这个三位数可能是330或63。或930.故答案为：330或630或930.【点睛】本题考查了数的整除和2、3、5倍数的数的特征，正确理解题意、熟练掌握基本知识是关键.拓展：能被9整除的数1.已知一个三位数正，试证明：若q + 0 + c能被9整除，则嬴能被9整除.【难度】【解析】因为a + b + c能被9整除，则可得a + b + c = 9m（加为正整数），又abc = 100a + 10Z? + c=（99Q + 9h） +（4 + h + c）,因为994 + 9心能被9整除，也4 + Z7 + C能被9整除，所以诙能被9整除.【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用.一、选择题1. （2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（）A. 14 和 7；B.2.5 和 5； C. 9 和 18； D. 0. 4 和 8.【答案】C；【解析】解：A、14能被7整除，不符合题意；B、2. 5不是整数，不符合题意；C、9能整除18,符合题意, 故C正确；D、0.4不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.2. （2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（）A. 1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C. 1是奇数；D. 1能整除任何一个正整数.【答案】A；【解析】解：A、最小的自然数为0,故A错误；B、1既不是素数，也不是合数，故B正确；C、1是奇数， 故C正确；D、1能整除任何一个正整数，故D正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2） 36的全部因数的个数有（）A. 6个B. 7个 C. 8个D. 9个【答案】D；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36, 一共9个；因此答案选D.4. （2019浦东四署10月考1）在下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A. 25+4； B. 0.6+0.3； C. 3+3； D. 4-8.【答案】C；【解析】解：A、25不能被4整除，故A错误；B、0.6与0.3不是整数，故B错误；C、3能被3整除，故C正确；D、4不能被8整除，故D错误；因此答案选C.5. （2019上南中学10月考3）下列说法正确的是（）A.任何整数的因数至少有2个；B. 一个数的因数都比这个数的倍数小；C.连续两个自然数相加的和一定是奇数；D. 8是因数，12是倍数.【答案】C；【解析】解：A、1只有一个因数，故A错误；B、一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等，故B错误；C、连续两个自然数相加的和一定是奇数，故C正确；D、因数与倍数是指两个数之间的关系，如：8是16 的一个因数，16是4的倍数等；故D错误；因此答案选C.6. （2019浦东四署10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）A.10 和 35；B.42 和 24；C. 15 和 16；D. 22 和 20.【答案】B；【解析】解：能同时被2和3整除的数一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案选B.7. （2019建平西校10月考1）下列算式中被除数能被除数整除的是（）A. 154-4B. 5 + 2.5; C. 104-3;D. 84-4.【答案】D；【解析】解：A、15不能被4整除，故A错误；B、2. 5是小数，故B错误；C、10不能被3整除，故C错误;D、8能被4整除，故D正确；因此答案选D.8. （华师大附中2019期中1）如果M能被15整除，那么乂是（ ）A、 15 B、 30【答案】C；C、15的倍数D、15的因数【解析】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数，因此答案选C.9. （2019进才北12月考1）下列说法正确的是（）A. 一个整数不是正整数就是负整数B. 一个正整数不是素数就是合数C. 一个正整数不是奇数就是偶数D. 一个正整数的最大因数不是它的最小倍数.【答案】C；【解析】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故A错误；B、正整数包括素数、合数与1,故B错误；C、 正整数包括奇数和偶数，故C正确；D、一个正整数的最大因数是它的最小倍数，故D错误；因此答案选C. 10. （2019闵行实验西校10月考5）下列语句错误的是（）2. 5能被5整除；因为4 + 2=2,所以4是倍数，2是因数；A=2X3X5XB, B>1,则B一定是A的因素;两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A.1 个； B.2 个； C.3 个； D.4 个.【答案】B；【解析】解：2. 5不是整数，故错误；因为4 2=2,所以4是2的倍数，2是4的因数，故错误；A=2 X3X5XB,B1,则B一定是A的因素，但不一定是A的素因数，故正确；两个整数的公倍数一定能被这 两个数整除，故正确；因此错误语句有两个，答案选B.11. （2019徐教院附中10月考3）在下列说法中，正确的是（）A.合数都是偶数B. 2的倍数都是合数C. 2的倍数都是偶数D. 5的倍数都是奇数【答案】C；【解析】解：A、合数不一定是偶数，如15是合数但不是偶数，故A错误；B、2的倍数不一定是合数，如 2不是合数，故B错误；C、2的倍数是偶数，故C正确；D、5的倍数不一定是奇数，如5的偶数倍是偶数, 故D错误；因此答案选C.12. （2019晋元附校测试15）用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（）A. 2B. 4C. 14D. 28【答案】D；【解析】解：用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是28,故答案选D.二、填空题13. （2019南模初中10月考1）最小的自然数是.【解析】解：最小的自然数为0.14. （2019大同初中10月考7） 4.8 + 3=1.6, 填“能”或“不能”）说3能整除4. 8【答案】不能；【解析】解：因为4.8, 1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.15. （2019晋元附校测试10）有一个数，它既是的倍数，又是a的因数，这个数是.【答案】a；【解析】解：既是a的倍数，又是a的因数，则这个数就是它本身a.16. （2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位.【答案】10;【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为3因此最小的两位数为10.17. （华理附中2019期中8）在75, 50, 42, 40, 66中，既是2的倍数又能被5整除的数有.【答案】50、40；【解析】解：既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0,因此在上述数中有：50、40.18. （2019中国中学10月考6）三位数75口能同时被2、3整除，那么可以是。【答案】756；【解析】解：被2整除，则个位数为0、2、4、6、8,同时又能被3整除，则各位数字之和能被3整除，故 这个三位数可以是756.71519. （2019曹杨二附10月考1）在+ 5,9,6.5,中，是非负正整数的是.85【答案】+5,；5【解析】解：因为"二3,所以在上述数中，非负正整数的是+5,.5520. （2019松江九亭10月考11） 18的因数有, 18的素因数有 o【答案】1> 2、3、6、9、18； 2、3、3;【解析】解：18的因数有1、2、3、6、9、18；又因为18=2X3X3,故18的素因数为2、3、3.21. （2019建平西校10月考8） 12的因数有.【答案】1、2、3、4、6、12；【解析】解：12的因数为1、2、3、4、6、12.22. （2019徐教院附中10月考13） 36的因数： , 50以内9的倍数：【答案】1、2、3、4、6、9、12、18、36； 9、18、27、36、45；【分析】根据整除的概念即可解答.【详解】773=73x1,A73能被1和73整除，即1和73能整除73,，m是1或73,故选：C.【点睛】本题考查了整除的概念，理解整除的概念是解答的关键.2. （2020上海市静安区实验中学课时练习）23:4=5.75表示（）A. 23能被4整除 B. 4能整除23 C. 23能被4除尽 D. 23不能被4除尽【答案】C【分析】整除是被除数、除数以及商都是整数，而余数是零；除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数 以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了.【详解】解:23-4=5.75,商是有限小数，23能被4除尽；故选：C.【点睛】考查了有理数的除法，本题重在区分整除和除尽的区别，整除要求被除数、除数以及商都是整数, 整除是除尽的特殊情况.二、填空题3. （2021 .上海新中初级中学期中）把45、18、60、15四个数中，能同时被2、5整除的是.【答案】60【分析】根据整除的概念（若整数，除以非零整数乩商为整数，且余数为零，我们就说。能被人整除）求 解即可得.【详解】解：45不能被2整除；18不能被5整除;60能被2和5同时整除；15不能被2整除；故答案为：60.【点睛】题目主要考查整除的定义，理解整除的定义是解题关键.4. （2020上海市进才实验中学期中）用一个正整数去除16, 24, 32正好都能整除，则这个数可能是.（写出所有符合条件的数）【答案】1, 2, 4, 8【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 50以内9的倍数有：9、18、27、36、45.23. （浦东四署2019期中11） 一个三位数，百位是最小的合数，十位是最小的素数，且能被2和5整除， 这个数是.【答案】420；【解析】解：一个三位数，百位是最小的合数为4,十位是最小的素数2,又能被2和5整除，故个位数为 0,因此这个三位数为420.24. （2019晋元附校测试7）能被15整除的数，至少有 个因数.【答案】4；【解析】解：能被15整除的数中最小的数为15,而15二3义5,故15有2义2二4个因数.25. （奉贤2019期中19）规定一个新运算：对于不小于3的正整数n, （n）表示不是n的因数的最小正整 数，如5的因数是1和5,所以（5）二2；再如8的因数是1、2、4和8,所以（8） =3等等，请你在理解这 种新运算的基础上，求（6） + （24） =.【答案】9；【解析】解:因为6的因数为1、2、3、6,故（6）=4,因为24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24,故 （24） =5,故（6） + （24）=9.三、解答题26. （2019浦东四署10月考19）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）.1, 2, 4, 5, 12, 24, 30, 40, 52, 60, 100【答案与解析】解：因为在上述数中，其中4的倍数有：4, 12, 24, 40, 52, 60, 100； 60的因数有：1,2, 4, 5, 12, 30, 60；既是4的倍数又是60的因数有：4, 12, 60；故三个指定的圈内填写为：4的倍数有：24, 40, 52, 100； 60的因数有：1, 2, 5, 30；既是4的倍数又 是60的因数有：4, 12, 60.27. （2019大同初中10月考21）把下列各数填在适当的内:559, 0, 0.23, -53,26, _19正整数负整数自然数【答案】9, 26； -53, -1； 9, 0, 26；55【解析】解：在9, 0, 0.23, -53, , 26, -1中，其中正整数有：9, 26；负整数有：-53, -1；自 9然数有9, 0, 26.28. （2019徐教院附中10月考24）我们设为大于5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数 可以表示为八-2和八-4,紧邻它而比它大的奇数可以表示为九+ 2和九+ 4,因为" +4）+（"-2）+ （九+ 4）+（八+ 2）= 5",所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连续的正整数之和能被5整除”.【答案与解析】解：设n为大于2的正整数，那么紧邻它而比它小的两个正整数可以表示为n-l, n-2,紧 邻它而比它大的两个正整数为n+1, n+2,因为（ 2） + （ 1） + + 5 + 1） + （ + 2） = 5，所以五个连续的 正整数之和能被5整除.29. （2019晋元附校测试23） 一次活动中，我方侦查员截获了敌方的密码，从左边开始，第一个数字是10 以内的最大素数；第二个数字既有因数2,又是6的倍数；第三个数字既不是素数也不是合数；第四个数字 既是素数又是偶数；第五个数字是最小的奇数与最小的合数的积；第六个数字是所有能被3整除的数的最 大公因数。谁能破译密码，并说明你是怎么破译的？【答案】761243;【解析】解：从左边开始，第一个数字为10以内最大的素数，故第一个数字为7；第二个数字既有因数2, 又是6的倍数，故第二个数字为6；既不是素数也不是合数的数为1,故第三个数字为1；既是素数又是偶 数的数为2,故第四个数字为2；最小的奇数为1,最小的合数为4,最小的奇数与最小的合数的积为4,故 第五个数字为4；所有能被3整除的数的最大公因数为3；所以这个数是761243.因此这个密码为：761243.【详解】解：16=2x2x2x2,24=2x2x2x3,32=2x2x2x2x2,故用一个正整数去除16, 24, 32正好都能整除，则这个数可能是1, 2, 4, 8故答案为：1, 2, 4, 8.【点睛】此题考查了数字的约数，正确确定各数的约数是解题的关键.5. （2020上海市静安区实验中学课时练习）50以内能被6整除的正整数的个数为.【答案】8【分析】直接利用50除以6,即可得到整除的个数.【详解】解:根据题意，则50+6=82.50以内能被6整除的正整数的个数为8个；故答案为：8.【点睛】本题考查了整除的意义，解题的关键是掌握整除的意义进行解题.6 .（2020上海市静安区实验中学课时练习）、和 统称为整数.【答案】负整数零正整数【分析】根据整数的意义和分类即可解答.【详解】因为整数分为负整数、零和正整数，故答案为：负整数，零，正整数.【点睛】本题考查整数的分类，理解整数的意义，熟记整数的分类是解答的关键.7 . （2020.上海市静安区实验中学课时练习）和 统称为自然数.【答案】零正整数【分析】根据自然数的定义填空.【详解】零和正整数统称为自然数.【点睛】本题考查自然数的定义，需要注意零是自然数.8 .（2020,上海市静安区实验中学课时练习）最小的自然数是，小于3的自然数是【答案】0 0、1、2【分析】根据自然数的意义（0和正整数）即可解答.【详解】根据自然数的意义，最小的自然数是0,小于3的自然数是0、1、2, 故答案为：0； 0、1、2.【点睛】本题考查了自然数的意义，理解自然数的意义，知道自然数包括。和正整数是解答的关键.9 .（2020上海市静安区实验中学课时练习）最小的正整数是,最大的负整数是.【答案】1-1试题解析：根据大于零的整数是正整数，小于零的整数是负整数，可得有理数中，最小的正整数是1,最大的负整数是10. （2021 上海九年级专题练习）既不是正数也不是负数的数是【答案】0【详解】因为要以0为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，所以0既不是正数也不是负数.故答案为0三、解答题11. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）从下列数中选择适当的数填入相应的圈内.63-200、17、-6、0、1.23、一、2006、-19.6. 9、-【答案】-200、-6； 17、0、2006、9； -200、17、-6、0、2006、9.【分析】根据整数、负整数、自然数的概念进行分类即可.【详解】负整数：-200、-6；自然数：17、0、2006、9；整数：-200、17、-6、0、2006、9.考点二:因数和倍数【点睛】本题考查了整数、自然数、负整数的概念，解答的关键是明确整数、负整数和自然数的意义，要 注意。是整数也是自然数，但。不是正数也负数.A.B.C.一、单选题1. （2020上海阶段练习）a-b = 5 （a, b都是非。自然数），a是b的（）,b是a的（）.倍数 因数 积【答案】A【分析】a:b = 5, a、b、5三个数字都是非。自然数，所以被除数a是除数b的倍数，除数b是被除数a的因数，由此求解.【详解】解：因为a：b = 5,所以：a是b的倍数，b是a的因数.故选A【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数.2. （2021 .上海市彭浦初级中学期中）下列说法中正确的是（）A.任何正整数的因数至少有两个B. 1是所有正整数的因数C. 一个数的倍数总比它的因数大D. 3的因数只有它本身【答案】B【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可.【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，例如：1的因数只有1；B、1是所有正整数的因数，故正确；C、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：4的其中一个倍数是4, 一个因数是4,这两个相等;D、3的因数有1和3,故错误；故选B.【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的概念是解题的关键.3. （2020.上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中正确的是（）A.任何正整数的因数至少有两个B. 3的因数只有它本身C. 一个数的倍数总比它的因数大D.1是所有正整数的因数【答案】D【分析】根据因数和倍数的概念分别判断即可.【详解】1只有一个因数，故A错误；3的因数有1和本身，故B错误；一个数的最大因数和最小倍数是本身，故C错误；1是所有正整数的因数，故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查了因数和倍数的概念，熟练掌握倍数和因数的相关概念是解题的关键.二、填空题4. （2021 上海青教院附中阶段练习）在5、10、15、20、25中，是1。0的因数.【答案】5； 10； 20； 25【详解】100 + 5 = 20, 100-10 = 10, 100 + 15 = 6 10, 100+20=5, 100 + 25 = 4故答案为:5； 10； 20； 25【点睛】本题考查了因数，理解因数的定义是解题的关键.两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因 数.5. （2021 .上海虹口.期中）如果一个正整数恰好有8个因数，请写出一个符合条件的数：.【答案】30 （答案不唯一）【分析】由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到.【详解】解：由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到，比如 2x3x5 = 30,故答案为：30.（答案不唯一）【点睛】本题考查因数的概念.掌握其定义是解答本题的关键.6. （2021 .上海.期中）若。既是20的因数，又是20的倍数，那么。=.【答案】20【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1;根 据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其 最大约数又是其最小倍数.【详解】解：根据题干分析可得：一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是20.故答案为：20.【点睛】本题主要考查了因数和倍数，解答的关键是明确题意，理解因数和倍数的意义.7. （2021 上海期中）18的因数有一.【答案】1、2、3、6、9、18.【分析】先写出18的因数：18=1x18, 2x9, 3x6因此18的因数有1, 2, 3, 6, 9, 18解答即可.【详解】解：18的因数有：1、2、3、6、9、18.故答案为：1、2、3、6、9、18.【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握找一个数因数的方法是解题的关键.8. （2020上海青教院附中期中）16的因数有.【答案】1、2、4、8、16【分析】由16=1x16=2x8=4x4,即可求得16的所有因数.【详解】因为16=1x16=2x8=4x4,