2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练.docx

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类比推理例1(1)等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为()A.Bq2C.D.【答案】C【解析】由题设，得Tnb1·b2·b3··bnb1·b1q·b1q2··b1qn1bq12(n1).，等比数列的公比为，故选C.(2)在平面上，设ha，hb，hc是ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_【答案】1【解析】设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.【思维点拨】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等题型三 演绎推理例1数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn (nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【答案】略【解析】(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2·，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4·(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【思维点拨】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提直接证明与间接证明题型四分析法例1已知a0，求证：a2.【答案】略【解析】要证a2，只要证2a，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立【思维点拨】分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证题型五 综合法例1已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)【答案】a0，b1.【解析】(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln (x1)x3x2x(x>1)，h(x)x2x1，x>1，当1<x<0时，h(x)>0；当x>0时，h(x)<0.则h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)【思维点拨】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性题型六 反证法例1 等差数列的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【答案】（1）Snn(n)（2）证明略.【解析】(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列【思维点拨】(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的【巩固训练】合情推理与演绎推理题型一 归纳推理1.将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，01，箭头垂直指下，45箭头也是垂直指下，89也是如此，而2 0164×504，所以2 0162 017也是箭头垂直指下，之后2 0172 018的箭头是水平向右，故选A.2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7 C8 D9【答案】C【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为166×26(n1)16·3n23n1，由题意，得3n23n1169，即(n7)·(n8)0，所以n8，故共有8层3.观察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；依此规律，第n个等式可为_【答案】12223242(1)n1n2(1)n1·【解析】第n个等式的左边第n项应是(1)n1n2，右边数的绝对值为123n，故有12223242(1)n1n2(1)n1·.题型二 类比推理1.若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdnDdn【答案】D【解析】若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，dnc1·q，即dn为等比数列，故选D2.在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角ACDB，且与AB相交于E，则得到类比的结论是_【答案】【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.题型三 演绎推理1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.2.已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)>af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数【答案】证明略【解析】设x1，x2R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)>0，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，x1<x2，f(x2)f(x1)>0，f(x2)>f(x1)yf(x)为R上的单调增函数3.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B.直接证明与间接证明题型四分析法1分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且abc0，求证<a”索的因应是()Aab>0Bac>0C(ab)(ac)>0D(ab)(ac)<0【答案】C【解析】由于a>b>c，且abc0，所以，<a b2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.2若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()AP>QBPQCP<QD由a的取值确定【答案】C【解析】不妨设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证2a722a72·，只要证a27aa27a12，只要证012，012成立，PQ成立3要使<成立，则a，b应满足()Aab<0且a>bBab>0且a>bCab<0且a<bDab>0且a>b或ab<0且a<b【答案】D【解析】要使成立，只要()3()3成立，即ab33ab成立，只要成立，只要ab2a2b成立，即要ab(ba)0成立，只要ab0且ab或ab0且ab成立题型五 综合法1设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2【答案】D【解析】a>0，b>0，c>0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2如果ab>ab成立，则a，b应满足的条件是_【答案】a0，b0且ab【解析】ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()>0.ab>ab成立的条件是a0，b0且ab.3若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglg>lg alg blg c.【答案】证明略【解析】a，b，c(0，)，>0，>0，>0.由于a，b，c是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，··>abc>0成立上式两边同时取常用对数，得lg>lg abc，lglglg>lg alg blg c.题型六 反证法1用反证法证明命题：若abc为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为()A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D2.用反证法证明命题“已知a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【答案】A【解析】用反证法证明命题的步骤中第一步是假设命题的反面成立，而“方程x3axb0至少有一个实根”的反面是“方程x3axb0没有实根”，故选A3.已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由【答案】略【解析】(1)证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立不存在这样的点F，使得BF平面SAD.11