新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆 学案(知识点考点汇总及配套习题).docx

第一章直线与圆1 直线与直线的方程-11.1 一次函数的图象与直线的方程-1-1.2直线的倾斜角、斜率及其关系-11.3 直线的方程-10-第1课时 直线方程的点斜式-10-第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式-16-1.4两条直线的平行与垂直-24-1.5两条直线的交点坐标-341.6 平面直角坐标系中的距离公式-442 圆与圆的方程-512.1 圆的标准方程-512.2 圆的一般方程-59-2.3直线与圆的位置关系-66-2.4圆与圆的位置关系-75-1直线与直线的方程1.1 一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系学习任务核心素养1 .在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直 线位置的几何要素.（重点）2. 理解直线的斜率和倾斜角的概念.（重点）3. 理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并 会应用斜率公式求直线的斜率.（难点、重点）1 .通过直线的斜率和倾 斜角的概念的学习，培养 数学抽象素养.2 .借助斜率公式求直线 的斜率，提升数学运算素 养.途情境与问罂1. 已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？2. 已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？3. 如何刻画直线的方向？cq新知初探一|1. 直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线/,把辿（正方向） 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.规定：当直线l和X轴平行或重合时，它的倾斜角为0.范围：倾斜角a的取值范围为0，V.2. 直线的斜率（1）直线过不同两点P（X , N）, P（,此），其斜率k = Z2 1（X尹了2）.X2X1（2）直线的斜率表示直线的倾斜程度.3. 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（1）从函数角度看，k是a的函数，其中k=tan 其中a尹§,图象如图所示.UI V当au。，§时，斜率旧0，且k随倾斜角a的增大而增大；当aE，兀）时，斜率k<0，且k随倾斜角a的增大而增大；n . .- .当a=2时，直线l与X轴垂直，此时直线l的斜率不存在.（2）如图，在直线l上任取两个不同的点P1（x1，yi），P2（x2, y2）.由平面向量的. 、 . .一 . . 一 知识可知，向量P1P2是直线l的方向向量，它的坐标是（x2-x1，y2-y1），直线的倾斜角a、斜率k、方向向量P1P2分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中X轴的倾斜程度.它们之间的关系是k=：m=tan a（其中尹x2）.若上是直线/的斜率，则。=(1, Q是它的一个方向向量;若直线/的一个方向 向量的坐标为a，y),其中X尹0,则它的斜率k=yX'匚m任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？提示直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 2时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于%轴；当倾斜角不是n时，直线的斜 率存在且唯一.rj初区身手一I1 .思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X” )(1) 任一直线都有方向向量，且不唯一.()(2) 若直线的一个方向向量的坐标为(1, 、则该直线的斜率kf.()(3) 若一条直线的倾斜角为a,则它的斜率k=tan a.()(4) 当尹七时，过点P(%，y)，P(，y)的直线的斜率k=Z1y2.()121 112 22xiX2答案(1) V V X (4) V2. 已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为()A.B.寸3C. 1 D.B 由题意可知，直线l的斜率k=tan 60°=、,3 3. 经过点(0，2)和点(3, 0)的直线的斜率是.2 卜、*0223 斜率 k=30=3.4. 如图所示，直线l1，l2, l3都经过点P(3, 2)，又直线l1，l2, 13分别经过点 0(一2，1)，。2(4,2), 23(-3, 2),计算直线l1，l2, l3的斜率，并判断这些 直线的倾斜角是锐角还是钝角.解设.k, A3分别表示直线«,匕，3的斜率.由于0, %，色的横坐标与P点的横坐标均不相等,2-2k=z =0.3 5 5八 -1-2 3-2-2所以外=二二=5, k尸3 =-4,由外0知，直线«的倾斜角为锐角； 由外0知，直线匕的倾斜角为钝角； 由k3 = 0知，直线匕的倾斜角为0°.疑难问题类型1直线的倾斜角【例1】 求图中各直线的倾斜角.(1)(2)(3)解(1)如图(1),可知ZOAB为直线«的倾斜角.易知ZABO = 30°,AZOAB = 60°，即直线«的倾斜角为60°.(1) (2)(3)(2) 如图(2),可知ZxAB为直线12的倾斜角，易知ZOBA = 45°,AZOAB = 45°,AZxAB =135°，即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图(3),可知ZOAC为直线七的倾斜角，易知ZABO=60°:.ZBAO = 30°,:.ZOAC= 150°,即直线七的倾斜角为150°.广 *讴思领悟、求直线的倾斜角的两点注意(1)直线倾斜角的取值范围是【0,兀).当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0;当直线与x轴垂直时，倾斜角为71跟进训练1. 设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a.如果将/绕坐标原点按逆时针方向 旋转45。得到直线«,那么k的倾斜角为()A. a+45°B. a135°C. 135°aD. 当0°Wa <135°时，倾斜角为a+45°；当135°Wa<180°时，倾斜角为a 135°D 根据题意，画出图形，通过图形可知：当0°Wa<135°时，«的倾斜角为a+45°当 135°Wa<180° 时，11 的倾斜角为 45°+a-180° = a-135°，故选 D.3类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°, 135°,求这两条直线的斜率;(2) 已知A(3，2), 5(4，1),求直线AB的斜率；(3) 已知直线1的一个方向向量是(、扫，1),求该直线的斜率.(4)求经过两点A(2, 3), B(m, 4)的直线的斜率.解(1)直线的斜率分别为 = tan 60° = 3, « = tan 135。= 1.21(2)直线AB的斜率幻广_43=7(3) 直线l的斜率k=1=*'33(4) 当m = 2时，直线AB的斜率不存在；当m尹2时，直线AB的斜率为kAB =4-3 _ 1m-2 = m-2，厂 思领悟 求直线斜率的三种方法(1) 已知直线的倾斜角a(a尹90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k=tan a 求得；(2) 已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件 是尹x2，若=x2时，直线斜率不存在；n .(3) 已知直线的方向向重v = (m，n)时，可利用k=m来求，但要注意，当m = 0 时，直线的斜率不存在.跟进训练2. 经过点P(2, m)和02m, 5)的直线的斜率等于：，则m的值是()A. 4B. 3 C. 1 或 3 D. 1 或 4,5m1 ，一 一B由2m2 = 2,解得 m = 3.类型3直线的倾斜角、斜率的应用布三苛度1三点共线问题【例3】如果三点A(2, 1)，B(2，m)，C(6, 8)在同一条直线上，求m的值.解m11m8 1 7kAB=22= 4 ，kAC=62 = 4,.A, B, C三点共线，1m 7'幻 B = *AC，即二 = 4,.'.m= 6.厂 思领悟 . 斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方 向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等 可证点共线的原因.跟进训练3.求证：A(1,1), B(2,7), C(0,-3)三点共线.证明.A(1,1), B(-2,-7), C(0,3),7 (1)-3-(-1).'.kAB=21=2, kAC=01=2kAB = kAC直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A,直线AB与直线AC为同一直线.故A, B, C三点共线.帝三讨度W数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】 直线l过点P(1, 0),且与以A(2, 1), B(0, 心)为端点的线段有公 共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围.解如图所示.'3,.1-03-0. kAP = 2 1 1, kBP= 0 1'ku(8,、j2U1,+8),.45°WaW120°.成思领悟直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直 线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化 规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.跟进训练4.已知点A(3, 3), 8(4, 2), C(Q, 2).若点。在线段BC ±(包括端点) 移动，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示.当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由幻B增大到kAC,_32_1_3+2_5又 kAB 3+4 7， kAc303,所以直线AD的斜率的变化范围是1, 3匚逐备素养口1. 直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对 于x轴的倾斜程度.2. 倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的 倾斜角不为90°时，斜率公式才成立.3. 斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用.3学以致用一1 .若直线l经过原点和(-1, 1)，则它的倾斜角是()A. 45° B. 135°C. 45°或 135°D.-45°B 作出直线1,如图所示，由图易知，应选B.2.下列图中，a能表示直线/的倾斜角的是() A. B. C. D.A 由倾斜角的定义可得.3. 已知过两点A(m2-2, 77?23), B(3m2m, 2tn)的直线/的倾斜角为45。, 则实数m的值为.m232m,2 ,右=tan 45° = 1,m2+3m+2=0,l m2+2(3m2m)解得m= 1或一2. 但当m= 1时，B重合，舍去.:m=一2.4.已知点A(2, -1),若在坐标轴上存在一点P,使直线必的倾斜角为45。, 则点P的坐标为.(3, 0)或(0, 3)设 x 轴上点 P(z, 0)或 y 轴上点 P(0, n).由 kp=l,得 =1,得 伊=3, n = 3.用m2 (J2故点P的坐标为(3, 0)或(0, -3).5.已知直线/的倾斜角a的取值范围为45WaW135。且a尹90。，求直线/的 斜率的取值范围.解设直线/的斜率为当 45°<a<90°时，k=tana6l, +):当 90°<a<135°时，k = tanaU(8, -1.所以斜率 kG(8, 1U1, +8).1.3直线的方程第1课时直线方程的点斜式学习任务核心素养1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式.（重点）2. 了解直线在y轴上截距的概念.（易混点）3. 了解斜截式与一次函数的关系.（难点）1 .通过对点斜式与斜截式方程 等概念的学习，培养数学抽象与 直观想象素养.2.借助求直线的点斜式与斜截 式方程，培养数学运算素养.金博境与问薯1. 如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？2. 若直线经过点P（x0, y0）,且斜率为k,则直线上任意一点的坐标满足什么 关系？I-新知初探n1. 直线l的方程如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程.2. 直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P（x0, y0）和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示成5方程yyQ=k(xxo)y = kx+b适用范围斜率存在3.直线l在Ey轴上的截距定义：直线/与y轴交点(0, 8)的纵坐标叫作直线/在y轴上的截距.(1) 斜截式方程应用的前提是什么？(2) 纵截距一定是距离吗？提示(1)直线的斜率存在.(2) 纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数.U初试身宙I1. 思考辨析(正确的画“J”，错误的画“ X”)直线y=2x3在y轴上截距为一3.()直线y3 = m(x+1)恒过定点(一1, 3).()直线的点斜式方程也可写成口0=k.()xx0答案(1) V V X2. 已知直线过点(1, 2),斜率为一2,则该直线的点斜式方程为()A. y 1 =2(x2)B. y2 = 2(x 1)C. y 1 = 2(x2)D. y2=2(x 1)D 由点斜式方程，得y-2=-2(x-1).3. 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为一3,则直线l的斜截式方程为y = 2x3 由斜裁式方程，得y = 2x3.4. 根据条件写出下列直线的斜截式方程.斜率为2,在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是一2.解(1)由直线方程的斜裁式方程可知，所求直线方程为y = 2x+5.3(2)V倾斜角 a=150°，.L斜率 k=tan 150° = 亍.,一-.；3由斜裁式可得方程为y=号x2.疑难问题类型1直线方程的点斜式【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形.(1)经过点 A(1，4),斜率 k=3；(2) 经过坐标原点，倾斜角为45。；(3) 经过点8(3, 5),倾斜角为90。；(4) 经过点 C(2, 8), D(3, -2).解(l)y4= 3x(1),即 y= 3x+l.如图所示.(2)A=tan45° = l, :.y0=x0,即 y=x.如图所示.(3)斜率上不存在，直线方程为x=3.如图所示.,反思须悟求直线方程的点斜式的步骤|谢定点|否由点盈式写方初|方程为跟进训练1. 写出下列直线的点斜式方程.(1) 过点(一1, 2),倾斜角为135°；(2) 经过点。(一1,一1)，与x轴平行；(3) 斜率为,，与x轴交点的横坐标为一7.解(1)y2=(x+1).y= l.(3) y =(x+7).3类型2直线方程的斜截式【例2】求满足下列条件的直线l的方程：过点P(0, 1),斜率为2；(2) 与直线y=一并1在y轴上的截距相等，且过点02, 2)；(3) 倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)y = 2x+1.(2) 由题意知，该直线过点(0, 1)和Q(2, 2),21 1 1故k= =, 直线l的万程为y=x+1.2 0 22(3) V直线的倾斜角为60°,其斜率k=tan 60°=/'3,.直线与y轴的交点到原点的距离为3,直线在y轴上的裁距b = 3或b=3;所求直线万程为y=%l3x+3或y=*'3x3.成思领悟直线方程的斜截式求解策略(1) 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存 在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.(2) 直线的斜截式方程y = kx+b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两 个独立的条件.(3) 利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果 已知截距b，只需引入参数k.跟进训练2. (1)直线y = ax1的图象可能是()yA B C DB 由题意知，斜率与在y轴上的裁距异号，故选B.(2)已知斜率为2,在y轴上截距为初的直线方程/,若直线/过点(1, 1),求初 的值.解由直线方程的斜裁式，得直线方程为y = 2x+m.直线/过点(1, 1),将x=l, y=l 代入方程 y = 2x+m, 1=2X l+；n,.m = 1.类型3直线过定点问题【例3】 求证：不论初为何值时，直线/： y = (znl)x+2zn+l恒过定点.证明法一：直线/的方程可化为y-3 = (m-l)(x+2),直线/过定点(一2, 3).x= 2, )=3.法二：直线/的方程可化为?7z(x+2)(x+y1)=0.x+2 = 0,解得Lx+y1=0,.L无论伊取何值，直线/总经过点(一2, 3).厂 思领悟 * 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法 二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想跟进训练3. 已知直线/： y = ax，求证：不论a为何值，直线l总经过第二象限.证明由已知得，直线l的点斜式方程为y-3 = ax+|).故直线i的斜率为a,且过定点3，3),又点3，3)在第二象限， 因此结论成立.匚逐备素养口直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件1.直线/经过点R2, 3),且倾斜角a=45。，则直线的点斜式方程是(A. y+3=x2B. y3=%+2C. y+2=x3D. y2=%+3A ,直线/的斜率A=tan45°=1, .直线/的方程为y+3=x2.2.直线y = kx+b通过第一、三、四象限，则有()A. k>0, b>0B. k>0, b<0C. k<0, b>0D. k<0, b<0B .直线经过一、三、四象限,图形如图所示，由图知，k>0, b<0.)3学以致用A.4.3.(1, 0)B. (0, 1)C. (-1, 0) D. (0,当x=0时，y=1,所以直线y=kx+1恒过点(0, 已知直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为3-1)1).则直线I的斜截式方程y=x+3因为直线l的倾斜角为45°,故其斜率为1,由斜裁式方程，得y =x+3.5. 根据条件写出下列直线的斜截式方程:(1) 写出斜率为一1,在y轴上截距为一2的直线方程的斜截式;.,、.4(2) 求过点A(6,-4)，斜率为一3的直线方程的斜截式.解(1)易知所求直线的斜率k=l,在y轴上的截距b=2,由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y = X2 . 4一一(2)所求直线的斜率k= y 且过点A(6, 4),44根据直线方程的点斜式得直线方程为y+4=3(x6),化为斜截式为y=§ x+4.第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式学习任务核心素养1. 掌握直线方程的几种形式及它们之间 的相互转化.(重点)2. 了解在直角坐标系中平面上的直线与 关于x, y的二元一次方程的对应关系.(难点)1 .通过直线方程形式之间的相互转 化，培养逻辑推理素养.2.借助求直线方程，提升数学运算 素养与直观想象.金博境与问题1. 已知A(x1, y1), B(x2, y2),如何求AB的直线方程？2. 若直线/过A(a, 0), B(0, b), (ab0),如何求l的直线方程？d新知初探一I1.直线方程的两点式与截距式两点式截距式条件尸 1(X1，yj和尸2(了2，y?) 其中 %1%2， y】乂y2在x轴上截距a，在y轴上截距b 其中ab尹0图形y0Jo *方程均Viff I斗2b适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线I 1.直线的方程一定能用两点式表示吗？提示当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示.2. 直线方程的一般式(1) 直线与二元一次方程的关系 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x, y的二元 一次方程表示. 每个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线.(2) 直线方程的一般式的定义我们把关于x, y的二元一次方程Ax+8y+C=0(其中A, B不全为0)叫作直 线方程的一般式，简称一般式.匚土 2.在直线方程的一般式Ax+By+C=0中，为什么规定A, B不同时为 0?提示当A, B同时为0时，方程Ax+By+C=0表示的不是直线.cq初访身手一|1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“x”)(1) 不经过原点的直线都可以用方程x+y=i表示.()(2) 经过任意两个不同的点P1(x1，y1), P2(x2, y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2x1) = (xx1)(y2y1)表示.()(3) 能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.()(4) 直线的一般式方程可以转化为斜截式方程.()答案(1)X V (3)V (4)X2. 在直角坐标系中，直线x+-、j2y3 = 0的倾斜角是()A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°C 直线斜率k=-令，所以直线的倾斜角为150°，故选C.3. 直线l过点(一1，2)和点(2, 5),则直线l的方程为. 一 v2 x(1) 一xy+3 = 0 由直线的两点式方程可何：5_2 = 2_(_ 1)，整理得xy+3 =0.4. 已知直线经过点A(1, 0), B(m, 1),求这条直线的方程.解(1)当直线的斜率不存在，即m=1时，直线方程为x=1;(2) 当直线的斜率存在，即m尹1时，利用两点式，可得直线方程为：°=二1, 10 m1即 x(m1)y1=0.综上可得：当m=1时，直线方程为x=1;当m"1时，直线方程为x(m一 1)y1=0.疑难问题类型1直线方程的两点式和截距式布三由世1直线方程的两点式【例1】 已知ABC三个顶点坐标A(2,1), B(2，2), C(4，1),求三角 形三条边所在的直线方程.解A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2.、.一 一 一 一 . 一 一 _. y 1x4由直线万程的两点式可得，AC的万程为=，即xy3 = 0.一1 1 2 4y2 x2同理可由直线万程的两点式得，直线BC的万程为1=4，即x+2y6=0.三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2, xy3 = 0，x+2y6 = 0.厂 . 思领悟. (1) 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2) 一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关 系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.跟进训练1. 若点P(3, m)在过点A(2,1), B(3，4)的直线上，则m=2 由直线方程的两点式，得 一2。，即牛1=:L_：.)3 255直线AB的方程为y +1 = x+2.点P(3,彻)在直线AB上，.'.m+1 = 3+2,得 m=2.命点角度N直线方程的截距式【例2】 求过点A(5, 2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.解法一：当直线l在坐标轴上的裁距均为0时，方程为y=2x，即2x5y =0;当直线l在坐标轴上的裁距不为0时，可设方程为X+；=1，即xy = a，又l 过点 A(5，2)，.52 = a，a = 3，.'.l的方程为xy3 = 0，综上所述，直线l的方程是2x5y = 0，或xy3 = 0.法二：由题意知直线的斜率一定存在设直线方程的点斜式为y2 = k(x5)，2x=0 时，y = 25k，y = 0 时，x=5k根据题意得25k=5 j，解方程得k=5或1 .22 一当k=5时，直线万程为y2 = $(x5)，即2x5y = 0;当k=1时，直线方程为y2=1X(%5)，即xy3 = 0.广 *讴思领悟、求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：(1) 根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a尹0,b尹0) 的直线方程常设为x+y=L(2) 根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.跟进训练2. 过点P(2, 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A. 1条 B. 2条 C. 3条D.无数条B 设直线的两截距都是a,则有一 . .一 3当a = 0时，直线设为y = kx,将P(2, 3)代入，仔k=,直线I的方程为3x2y = 0;当a尹0时，直线设为+己=1，即xy = a，把P(2, 3)代入，得a = 5,直线/的方程为x+y = 5.综上，直线/的方程为3x2y = 0或x+y5 = 0.类型2直线方程的一般式【例3】 设直线l的方程为(彻22m3)x(2m2+m1)y+62m = 0.(1) 若直线l在x轴上的截距为一3,则m=；(2) 若直线l的斜率为1,则m=.5»,2m6一3 一2 令 y=0,则 x=mm， 2m6 _ _ 5 _彻22m3 = 3，得 m=3或 m = 3.当m = 3时，m22m3 = 0，不合题意，舍去.5.m=3(2)由题意知，2m2+m1 乂0，即 m乂 一1 且 m乂2，由直线l化为斜裁式方程，得ym2一2m3 +62m2m2+m 12m2+m1，m22m3则 2m2+m1 = 1，得m=2或m= 1(舍去).'.m=2.厂*,* 思领悟 直线方程的几种形式的转化跟进训练3. 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.(1) 斜率是一2，经过点A(8,2)；经过点B(4, 2),平行于x轴；(3) 在x轴和y轴上的截距分别是2,-3；(4) 经过两点 P1(3,-2), P2(5,-4).解(1)由点斜式方程，得y(2) = ：(x8),即 x+2y4 = 0.(2) 由斜裁式方程，得y = 2,即y2 = 0.(3) 由裁距式方程，得=+3=1,即2xy3 = 0., 一 y(2)x3(4) 由两点式万程，得)，奴=U，即x+y1=0.4(2) 5 33类型3直线方程的综合应用【例4】已知直线l： 5ax-5y-a + 3 = 0.(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2) 为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.解(1)证明：法一：将直线方程变形为y = ax+3a，当a>0时，直线一定经过第一象限；当a = 0时，y = |，直线显然经过第一象限；. 3a -. .一 一 一当a<0时，=->0,因此直线经过第一象限.综上可知，不论a为何值时，直线5ax5ya + 3 = 0 定经过第一象限.法二：将直线方程变形为一?=a5)，它表示经过点A(5，5),斜率为a 的直线.,点a5，5)在第一象限，直线l必经过第一象限.50(2)如图，直线OA的斜率k= =3.50.直线l不经过第二象限，直线l的斜率B,'.a3,即a的取值范围为alaN3.厂&思领悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多 条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点 的坐标.跟进训练4. 设直线l的方程为(a+1)x+ya+2 = 0.(1) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；(2) 若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解(1)直线 l 的方程(a+1)x+ya+2 = 0,可化为 v = (a1)x+a2.当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0,.'.(72 = 0, .'.a = 2,此时直线方程为 3x+y = 0; .、. a2一当直线不过原点时，a尹2,由-i=a2, 得 a = 0,直线方程为x+y+2 = 0.故所求的直线方程为3x+y = 0或x+y+2 = 0.(2)直线l的方程为y= (a+1)x+a2,欲使直线l不经过第二象限，则(a+1)0, a2W0,解得aW 1.故所求实数a的取值范围为(一8,1.匚j必备素养一I1. 截距式方程应用的注意事项(1) 如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待 定系数法确定其系数即可.(2) 选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂 直.(3 )要注意截距式直线方程的逆向应用.2. 直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式.一般 式化斜截式的步骤：(1) 移项，By =-Ax-C；(2) 当b尹。时，得y=B*B.C 、，一 -3. 在一般式Ax+By+C=0(A2+B2尹0)中，右A = 0，则y =万，匕表示一条与y轴垂直的直线；若B = 0,则x=C，它表示一条与x轴垂直的直线.Alj学以致用口1. 在x轴、y轴上截距分别是2，3的直线的方程为()A. 3x+2y+6 = 0B. 3x+2y+1=0C. 3x2y6 = 0D. 3x2y+1=0C 由题意可得，直线的裁距式方程为= =1,即3x2y6 = 0.2. 直线§+*=1，化成一般式方程为（）A. y= 3§+4B. y= 3（13）C. 4x+3y12 = 0D. 4x+3y=12C 直线3+*= 1化成一般式方程为4x+3y12 = 0.3. 若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件 是.A/0且B/0 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A尹0且B70.4. 已知直线l：奴一y+1+2k=0.证明：l经过定点.证明直线方程变形为（§+2）k（*1） = 0,当§=2, y=1时方程对任意实数k恒成立，故直线过定点（一2, 1）.1.4两条直线的平行与垂直学习任务核心素养1.掌握两条直线平行与垂直的条件.（重点）1.通过两条直线平行或垂直的应2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂用，培养数学运算与直观想象素直.（重点）养.3.能利用两条直线平行或垂直进行实际应2.通过判断两直线的平行与垂用.（难点）直，培养逻辑推理素养.1. 直线y=§+1与y=§1的斜率有什么关系？在y轴上的裁距有什么关系？ 它们有什么位置关系？2. 直线y=x与y=x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？3. 直线x=a和有什么位置关系？4. 直线x=a和y = b,有什么位置关系？匚j新知初探一I1.两条直线平行设两条不重合的直线11, l2,倾斜角分别为a1, a2,斜率存在时斜率分别为k, k2.则对应关系如下：类型斜率存在斜率不存在前提条件口1 =仁2乂90°仁1 =仁2 = 90°对应关系l1l 的k1=k2l1l2仁两直线斜率都不存在1/2图示/ 7 .-3r .0X思牡1.(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为a1与a2,斜率分别为k1与k2，若 l1l2,则a1与a2之间有什么关系？ k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线11与l2,若k1=k2，是否一定有«12?为什么？提示(1)若ll2, a1与a2之间的关系为a1 = a2;对于k1与k2之间的关系，当a1 = a2尹90。时，k1 = k2，当a1 = a2 = 90°时，k1与 k2不存在.一定有l1l2.因为 k1 = k2，所以 tan a1 = tan a2，所以 a1 = a2，所以 11l2.2.两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件%aj = 90°a1 = 0°, a2 = 90°混应光击1钊法习r八 1刷法*右方？小 1 / J gI-L图示4侦-；2. (1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是一1吗？提示(1)设两直线的倾斜角分别为aa2,若两直线垂直，则一a2l = 90°.(2)不一定.若一条直线的斜率为0,则与其垂直的直线斜率不存在.U初试身丑I1. 思考辨析(正确的画“J”，错误的画“ X”)(1) 若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直