新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼.docx

第二章 直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率-1 -2.1.1倾斜角与斜率-1 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定-6 -2.2直线的方程-11 -2.2.1 直线点斜式方程-11 -2.2.2 直线的两点式方程-15 -2.2.3 直线的一般式方程-19 -2.3直线的交点坐标与距离公式-24 -2.3.1两条直线的交点坐标-24 -2.3.2两点间的距离公式-24 -2.3.3 点到直线的距离公式-29 -2.3.4 两条平行直线间的距离-29 -2.4圆的方程-33 -2.4.1 圆的标准方程-33 -2.4.2 圆的一般方程-38 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-42 -2.5.1直线与圆的位置关系-42 -2.5.2 圆与圆的位置关系-48 -2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率1 .倾斜角的相关概念(1) 倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是 4_4些，直线l'的倾斜角是/BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角a的取值范围是0°WaV180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.2. 斜率的概念及斜率公式(1) 定义：倾斜角a(a尹90°)的正切值.(2) 记法：A=tan a.(3) 斜率与倾斜角的对应关系.图示yI1NLIr0倾斜角(范围)a=0°0°<a<90°a=90°90° < a<180°斜率(范围)0(0,+8)不存在(8, 0)(4)经过两点P(%,队)，PM, ygi尹七)的直线的斜率公式：k=2二允 x2-xi3. 直线的方向向量坐标【例1】 求图中各直线的倾斜角.若P1(x1，y1), P2(x2, y2),则直线P1P2的方向向量P1P2的坐标为(%2, y2 直线的倾斜角若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x, y),则k=yx解(1)如图，可知ZOAB为直线«的倾斜角.易知ZABO = 30°, :.ZOAB = 60°,即直线«的倾斜角为60°.如图，可知ZxAB为直线l2的倾斜角，易知ZOBA = 45°, AZOAB = 45°, AZxAB=135°，即直线l2的倾斜角为135°.如图，可知ZOAC为直线l3的倾斜角，易知ZABO = 60°，AZBAO = 30°， AZOAC=150°，即直线l3的倾斜角为150°.规律£方法求直线的倾斜角的方法及两点注意(1) 方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2) 两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°,当直线与x轴垂 直时，倾斜角为90°. 注意直线倾斜角的取值范围是0°WaV180°.类型2直线的斜率【例2】(1)过两点A(4,y),B(2,3)的直线的倾斜角是135°,则y等于()A. 1 B. 5 C.1 D.5(教材P55练习T5改编)经过A(0, y), B( 1,0)两点的直线的方向向量为(1,2), 则y=.(3)如图，直线l1的倾斜角a1 = 30°,直线/1±/2，求«、12的斜率.思路探究(1)利用公式上=匚(%尹x) = tan a； X2X1 12(2) 利用方向向量的共线求解；(3) 利用公式 k=tan a(a乂90°).(1) D (2)2 (1).过两点A(4, y), B(2,3)的直线的倾斜角是135°,y+3.一 .'.4 2=tan 135° = 1，解得 y= 5.(2) 由条件可知，直线的方向向量为(一10,0y)，即(一1,y)又(1,2)是直 线的另一方向向量，则辛二二m，解得y=2.(3) 解直线l1的倾斜角为a1 = 30°,直线l2的倾斜角a2 = 90° + 30° = 120°:.k =tan 30° =亨，k =tan 120° = ：'3.厂规法解决斜率问题的方法(1) 由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan a(a尹90°)解决.(2) 由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k= yi(x尹电求解.X2X1 12(3) 涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.直线的倾斜角和斜率的 综合探究问题1. 斜率公式k= 一 中，分子与分母的顺序是否可以互换？ y与此，X与%2 X2X11 2 12的顺序呢？提示斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k=±里. x1x22. 斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？提示当k=tan aV0时，倾斜角a是钝角；当k=tan a>0时，倾斜角a是锐角；当k=tan a=0时， 倾斜角a是0°.3.直线的斜率k随倾斜角a的增大而增大吗？提示不是，在0，：内，k随a的增大而增大，在(2，兀内，k也是随a的增大而增大.【例3】已知两点A( 3,4), 5(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1) 求直线l的斜率k的取值范围；(2) 求直线l的倾斜角a的取值范围.思路探究结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之 间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k；kpB；当l的倾斜角大于90°时， 则有kWkpA.一 ,一.4020解如图所示，由题意可知kp4 = wI= 1, kpB = 3=i.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是kW 1或 kN 1.(2) 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的 倾斜角是45°, PA的倾斜角是135°,所以a的取值范围是45°WaW135°.母题探究1.变条件本例中，三点坐标不变，其它条件改为过B的直线l与线段AP有 公共点，求直线l的斜率的取值范围.解如例题中图所示，,.、421居' AAB =-3-3 = -3,2- 0kBP=31=1，直线l的斜率的取值范围为一1，1 .2.变条件本例中，A、B两点坐标不变，其它条件去掉，在直线y= 1上 求一点P,使PA、PB的斜率互为相反数.解L.点P在直线y=-1上，可设点P(x，-1).又条件可知kPA，kPB 一定存在.4+12+1由斜率公式得kP4+kPB=-3-x+.=0，-3解得x=4.故所求p点坐标为3，-1)厂.观法直线的倾斜角和斜率的关系(1) 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线 的斜率不存在，此时，直线垂直于%轴(平行于y轴或与y轴重合).(2) 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°WaV90° 时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°<a<180°时，斜率越大，直线的倾 斜程度也越大.2.1.2两条直线平行和垂直的判定1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件T = a2 尹 90°a1=a2=90°对应关系«l2台虹=2«l20两直线斜率都不存在图示-2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示A对应关系l1± l2(两条直线的斜率都存在， 且都不为零)台格二1l1的斜率不存在，l2的斜率为0 习 L ±L 12'、类垠1两直线平行的判定及应用例n(i)根据下列给定的条件，判断直线«与直线i2是否平行.« 经过点 A(2,3), B(4,0), l2经过点 M( 3,1), N(2,2)； «的斜率为一2，12经过点A(4,2), B(2,3)； 11平行于y轴，l2经过点P(0,-2), 00,5)； « 经过点 E(0,1), F(-2,-1), l2 经过点 G(3,4), H(2,3).(2)试确定m的值，使过点A(m+1,0), B(-5, m)的直线与过点C(-4,3), D(0,5) 的直线平行.思路探究(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；(2) 利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得.3 0121,解(1)知-2_(_4)_2, MN 2 ( 3) 1，ABkMN，所以 l1 与 l2 不 平行.1.321l1的斜率叫=一2，l2的斜率k2=24= 2，k1 = k2，所以l1与l2平行或重 合. 由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以l1l2.1134 由题意，知 kEF=2一0=1，kGH=2一3=1，kEF=kGH，所以 l1 与 l2平行或重合.需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，k =4(T)= 1fg 3 (2)所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB =m，kcD=4=2.由于 ABCD，所以 k.R = km，即一m=1.解得 m = 2.AB CD6m 2经验证m = 2时，直线AB的斜率存在，故m的值为一2.判断两条不重合直线是否平行的步骤【例2】(1)判断下列各题中11与12是否垂直. « 经过点 A(1,2), 8(1,2)； 12经过点 M(2,1), N(2,1); 11的斜率为一10； l2经过点A(10,2), 8(20,3)； 11 经过点 A(3,4), 8(3,10)； l2经过点 M(10,40), (10, 40).(2)已知直线 11 经过点 A(3, a), 8(a2,3)，直线 l2 经过点 C(2,3), D(1, a2), 如果l1±l2,求a的值.思路探究(1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k1k2=1,若有一条 斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.(2)含字母的问题判断要分k存在和不存在两种情况来解题.1 (T)_ 12,2(2) 解时=1(1)= 2, k2 2 ( 2)k1k2=1, ：.l1 与 l2 不垂直./.l1±l2.所以l2的斜率存在，设为k2.321®k1 = 10, k2 = 205 =访，k1k2= 1，由A, 8的横坐标相等得l1的倾斜角为90°,则l1±x轴.4040k2=10 (10)= 0,则 l2x 轴，.l1±l2.(2)因为直线l2经过点C(2,3), D(1, a2),当k2 = 0,即a2 = 3，亦即a = 5时，A(3,5), 8(3,3)，显然直线l1的斜率不存 在，满足l1±l2;当k2"0,即a2尹3，亦即a尹5时，显然l1的斜率存在，设为 3a a23«，要满足题意，则kk? = 1，得. 2 3, 1 2 = 1，解得a = 2.综上可知，a的值为5或2.厂 规|<法 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1) 一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在 只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进 行第二步.(2) 二代：就是将点的坐标代入斜率公式.(3) 三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜 率公式要对参数进行讨论.”型3/两直线平行与垂直的综合应用探究问题1. 两直线l/lk=k2成立的前提条件是什么？提示(1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合.2. 对任意两条直线，如果l1±l2, 一定有k1k2=-1吗？为什么？提示不一定.当两条直线的斜率都存在时，k1k2=-1,还有另一种情况就 是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零.【例3】 AABC的顶点A(5,1), B(1,1) , C(2, m),若ABC是以点A为 直角顶点的直角三角形，求m的值.思路探究由A为直角顶点可得kABkAC=-1.解因为ZA为直角，则ACXAB，所以 kAC-kAB=-1m+11+1 2-5'151，得 m= 7.母题探究1. 变条件本例中，将“C(2, m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状 吗？解如图，AB边所在的直线的斜率kAB=2, BC边所在直线的斜率kBC=2.由 kAB-kBC= 1，得 AB±BC，即ZABC=90°.'.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形.2.变条件本例中若改为ZA为锐角，其他条件不变，如何求解m的值?解由于ZA为锐角，故ZB或ZC为直角.若ZB为直角，则AB±BC,所以 kAB-kBC= 1，1 + 1 m 1贝则 1 .二一 1 = 1，得 m = 3.若ZC为直角，则ACXBC,所以 kACkBC=f即具号一1，得m = ±2.2 5 21综上可知，m = 3或m = ±2.3. 变条件若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若AABC为直角三角形，如何求解m的值？解若ZA为直角，则 ACXAB,所以 kAC-kAB= 1，m+1 1+1 即百有=1，若ZB为直角，则 ABXBC,所以 kAB-kBC= 1，1+1 m1 即有1T = 1，得 m = 3;若匕。为直角，则AC±BC,所以ac'kgc= 1,m+1m1 即2-5'2-1 =_'得 m = ±2.综上可知，m=-7或m = 3或m = ±2.*规律C方法利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2.2直线的方程2.2.1直线点斜式方程1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0, y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示-方程形式yy0=k（xx0）y = kx+b适用条件斜率存在2. 直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴的交点(0, 8)的纵坐标b.符号：可正，可负，也可为零.'、类型1直线的点斜式方程【例1】(1)一条直线经过点(2,5),倾斜角为45°,则这条直线的点斜式方程 为.(2)经过点(一5,2)且平行于y轴的直线方程为.(1) y-5=x-2 (2)x=5 (1)因为倾斜角为 45°,所以斜率k=tan 45° = 1,所以直线的点斜式方程为y-5=x-2.(2) 因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x=-5.厂规律方法求直线的点斜式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点P(x0, y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横 坐标相等，都为x0,故直线方程为x=x0.'娄型2直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：斜率为2,在y轴上的截距是5；(2) 倾斜角为150°,在y轴上的截距是一2；(3) 倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线的斜裁式方程可知，所求直线方程为y = 2x+5.(2) 因为倾斜角a=150°，所以斜率k=tan 150° = «，由斜截式可得直线方 程为 y= %2.(3) 因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60° =-寸2.因为直线与y轴的交点 到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的裁距b = 3或b=3,故所求直线的 斜裁式方程为y=J3x+3或y =、j2x3.厂规律方法求直线的斜截式方程(1) 先求参数k和b,再写出斜截式方程.(2) 斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关 系求出斜率.(3) b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的 距离.'、水型3斜截式在两直线平行与垂直中的应用探究问题1. 已知 l1： y=k1x+b1, l2： y=k2x+b2,若 «l2,应满足什么条件？若 «"2, 应满足什么条件？提示k1 = k2 且 b芦b2; k1 k2= 1.2. 一次函数的解析式与直线的斜裁式方程y = kx+b有什么不同？提示一次函数的x的系数k尹0,否则就不是一次函数，而斜裁式方程y = kx+b中的k可以是0.【例3】(1)当a为何值时，直线l1： y=-x+2a与直线l2： y = (a22)x+2 平行？当a为何值时，直线l1： y = (2a1)x+3与直线l2： y = 4x3垂直？思路探究由直线的斜截式方程中k、b的几何意义及直线平行、垂直的条 件建立关于a的方程及不等式，求出a的值.解(1)由题意可知，kl1 = 1, kl2 = a22, .l1l2,a2一2= 1,2奸2,解得a= 1.故当a= 1时，直线I： y=x+2a与直线匕：y = (a22)x+2平行. (2)由题意可知，kl = 2a_1, “2 = 4, .li侦2，'4(2a1) = 1, -，-3解得。=歹.8故当a=3时，直线L : y = (2a1)x+3与直线L: y = 4x3垂直.812母题探究1. 变结论本例(1 )中l2恒过哪个定点？过该定点且与l1平行的直线方程是什 么？解 在 y = (a22)x+2 中，当 x=0 时，y = 2.故直线l2恒过定点(0,2).当与l1平行时，斜率k= 1.故过(0,2)且与l1平行的直线方程为y=x+2.2.变结论在例(2)中a为何值时，两直线平行？解根据平行的条件知，'2a1=4"一3，解得a=2.即 a=2时，ll2.规律方法已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直设直线l1的方程为y = k1x+b1，直线l2的方程为y = k2x+b2.(1) l l ©k =k且 b nb .(i12'1 氏2，1 “2 ；(2) l1 与 l2 重合©k1 = k2，且 b1 = b2；(3) l1±l2Ok1- k2= 1.2.2.2直线的两点式方程1.直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件P1(x1, y1), P2(x2, y2)其中x1 尹 x2, y1 尹 y2在x轴、y轴上的截距分别为a、8,且a尹0, b尹0.示意图21直线方程yrx-xi一 y2y1x2ia土b=1适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点2.线段的中点坐标公式若点P, P2的坐标分别为(x1，y1), (x2, y2),设P(x, y)是线段P1P2的中点，x 则'= X1±X22 ，=土2 .”型1/直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2, -1), 5(2,7),则直线l的方程为.(2)若点P(3,榆在过点A(2,1), 5(-3,4)的直线上，则m=.(1) x=2 (2)-2 (1)由于点A与点5的横坐标相等，所以直线l没有两点式 方程，所求的直线方程为x=2.(2) 由直线方程的两点式得y(1)_ x24- (-1)=-3-2,y+15x2"5.直线AB的方程为y+1 = x+2, 点P(3，m)在直线AB上，则 m+1 = 3+2,得 m=2.由两点式求直线方程的步骤(1) 设出直线所经过点的坐标.(2) 根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.(3) 由直线的两点式方程写出直线的方程.提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两 点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求 方程.直线的截距式方程【例2】 求过点(4,3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.思路探究截趴相等为e截距相等不为。撬距相等设方 程求 解截趴相等为e撬距相等截距相等不为。解设直线在x轴、y轴上的裁距分别为a, b. 当a尹0, b尹0时，设l的方程为x+y=1.点(4，3)在直线上，'；+= 1，若a = b，则a = b=1，直线方程为x+y1=0. 当a = b = 0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x+4y = 0.综上知，所求直线方程为x+y1=0或3x+4y = 0.母题探究1. 变条件本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程.解当裁距均为零时，设直线方程为y=kx，把点(4，3)代入得一3=4k， 解得k=3，所求的直线方程为y=4x，即3x+4y = 0.当裁距均不为零且相反时，可设直线方程为a+=1，把点(4，3)代入得41=1,解得a = 7,所求直线方程为言一y =1,即xy7 = 0,a7 7故所求l的方程为Xy7 = 0或3x+4y = 0.2. 变条件本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”解当直线在两轴上的裁距的绝对值相等时，包括： 两裁距均为零，即3x+4y = 0 两裁距均不为零且相等即x+y1=0. 两裁距均不为零且相反即xy7 = 0.故所求的直线方程为xy7 = 0或x+y1=0或3x+4y = 0.厂规律方法利用截距式求直线方程的注意事项(1) 用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0. 若a = 0,方黄0,则直线方程为x=0; 若a於，b = 0,则直线方程为y = 0; 若a = 0, b = 0,则直线方程为y = kx(导0).(2) 截距相等且不为零，可设x+y = a；截距相反且不为零，可设x-y = a；截距相等且均为零，可设y = kx.直线方程的灵活应用探究问题1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？提示点斜式.若直线过两定点可选择两点式或点斜式.2. 若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？提示可选择斜裁式.3. 若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？提示选择裁距式较好.【例 3】 已知 A( 3,2), B(5,4), C(0,2)，在ABC 中，求BC边的方程；求BC边上的中线所在直线的方程.思路探究(1) B,。两点坐标点式|求方程(2)求中点坐标式求直线方程解(1)BC 边过两点 B(5,4), C(0,2),.,、 .一 y(4)x5由两点式，得)=例，即2x+5y+10 = 0,故 BC 边的方程是 2x+5y+ 10 = 0(0WxW5).(2)设BC的中点为M(a, b),5+0 54+(2)则 a=-=2 b=2=3,所以 M2,3,又BC边的中线过点A(3,2),y2x(3)所以 q c=，即 10x+11y+8=0,32 52(3)所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+ 11y+8 = 0.母题探究1. 本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线的方程.解设AB边上的高线所在直线斜率为k,_2(4)_ 3-kAB= _3 5 = 4,k=3,又高线过点C(0,2),由点斜式方程得高线所在直线方程为4y+2 = 3(x0),即 4x3y6 = 0.2. 本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线的方程.解由探究1知kAB=4,即中位线所在直线斜率为一§由例题知BC的中点为|,一3)所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为卜+3 = 4&一9，即 6x+8y+9 = 0.规律e方法直线方程的选择技巧(1) 已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他 条件确定直线的斜率.(2) 若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一 个点或者截距.(3) 若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点， 就用截距式方程.2.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程(4) 不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下 的直线要单独讨论解决.直线的一般式方程(1) 定义：关于X, y的二元一次方程必+8y+C=0(其中A, B不同时为0)叫 做直线的一般式方程，简称一般式.(2) 适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.(3) 系数的几何意义：一.A一C 当b尹0时， 'B= (斜率)，一B=b(y轴上的截距)；一，一，C 当B = 0, A尹0时，则一=a(x轴上的截距)，此时不存在斜率.A直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x3y+6 = 0,请把一般式方程写成 为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距.(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. 斜率是一2，经过点A(8,2)； 经过点8(4,2)，平行于x轴； 在x轴和y轴上的截距分别是3，3； 经过两点 P1(3，2)，P2(5，4).解(1)由l的一般式方程2x3y+6 = 0得斜裁式方程为：y = |x+2.截距式方程为:y 2+3/ -由此可知，直线的斜率为2，在x轴、y轴上的截距分别为一3,2.(2)由点斜式得y(2) = 2(x8),即 x+2y4 = 0. 由斜裁式得y = 2,即y2 = 0. 由裁距式得3+3=1,即2xy3 = 0.2y(2)x3 由两点式得W = ，即x+y1=0.4(2) 5 3厂规 法1. 求直线一般式方程的方法回晦和斜率f选择点斜式nI已知两点评梢成择两点式T化为.土方理已知斜率冬淳1截距卜选择斜截式血+代K+S=o用两轴哉第w透择探距式卜2. 由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件.容型2直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线«： 2x+(彻+1)y+4 = 0与直线12： mx+3y2 = 0平彳丁， 求m的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1： (a+2)x+(1a)y1=0 与直线 l： (a1)x+(2a + 3)y+2 = 0互相垂直.思路探究利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否.解法一：(1)由 11: 2x+(m+1)y+4 = 0,12: mx+3y2 = 0 知： 当m = 0时，显然11与12不平行.2 m+1 4 当m尹0时，要使ii2，需m=尹二.:.m的值为2或一3.解得m = 2或m=3,，(2)由题意知，直线i1n2. 若1 一a = 0,即a=1时，直线11: 3x1=0与直线l2： 5y+2 = 0显然垂直. 若2a + 3 = 0,即a=一；时，直线L : x+5y2 = 0与直线1 : 5x4 = 0不212垂直. 若1a尹0且2a + 3尹0，则直线L，L的斜率k，k都存在，k = 7，1 21 211a? a 1 *2=一2a + 3.当 11±12 时，k1k2= 1，(a+2)( a 1)即 m2扁=1，.'.a = 1.综上可知，当a=1或a= 1时，直线11 ±12.法二：(1)令 2X3 = m(m+1)，解得m=3或m = 2.当 m=3 时，11: xy+2 = 0，12: 3x3y+2 = 0，显然11与12不重合，:.12.同理当 m = 2 时，11: 2x+3y+4 = 0，12: 2x+3y2 = 0，显然11与12不重合，：.1112, .m的值为2或一3.(2)由题意知直线11±12，.'.(a+2)(a1) + (1a)(2a + 3) = 0，解得 a = ±1，将a = ±1代入方程，均满足题意.故当a=1或a= 1时，直线11 ±12./-*"*规律方法1. 直线 li： A，iXBiyCi = 0,直线匕：人2*+82，+。2 = 0，(1) 若 l1l2A1B2A2B1 = 0 且 BC2B2C芦0(或 A1C2-A2C10).(2) 若 l1±l2OAA2+B1B2 = 0.2. 与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m = 0(mC),与直 线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为BxAy+m = 0.类型3 /含参数的直线一般式方程问题探究问题1. 直线奴一y+1 3上=0是否过定点？若过定点，求出定点坐标.提示奴一y+1 3上=0可化为y1=(x3)，由点斜式方程可知该直线过 定点(3,1).2. 若直线y = kx+b(k尹0)不经过第四象限，k, b应满足什么条件？提示若直线y=kx+b(k尹0)不经过第四象限，则应满足k>0且bN0.【例3】已知直线l： 5ax5ya + 3 = 0.(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2) 为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.思路探究(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第 一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.解(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y5=。&!)直线l的斜率为a，且过定点a"5，5)，而点a"5，5)在第一象限内，故不论 a为何值，l恒过第一象限.法二：直线l的方程可化为(5x1)a (5y3) = 0.上式对任意的a总成立，5x1=0，、5y3 = 0，即'1x =x 5,35.即l过定点a"5,5)以下同法一.(2)直线OA的斜率为k=5-05-0=3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA = 3, .aN3.母疆探究1 .本例中若直线在y轴的截距为2,求字母。的值，这时直线的一般式方程 是什么？解把方程5ax5ya + 3 = 0化成斜截式方程为y = ax-.由条件可知%=2解得a = 7,这时直线方程的一般式为：7x+y2 = 0.2. 本例中，a为何值时，已知直线与2x-y+3 = 0平行？垂直?5a 5 a + 3解若两直线平行时，则=*7+3解得a = 2,若两直线垂直时，则5aX2+( 5)X(1) = 0，解得a=2，故a = 2时，两直线平行；a=§时两直线垂直.3. 本例中将方程改为“x-(a-1)y-a-2 = 0”，若直线不经过第二象限，则 a的取值范围又是什么？解(1)当a1=0，即a=1时，直线为x=3，该直线不经过第二象限，满 足要求.当a1尹0，即a尹1时，直线化为斜裁式方程为y= x-，因为直 a 1 a 1线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得、a> 1一，所以 a>1.、aW 2或 a> 1综上可知aN1.规律£方法直线恒过定点的求解策略(1) 将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2) 将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都 成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点.2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式1.两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA (a, b)直线ll： Ax+By+C=G点A在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与l2的交点是AfA1x+By+C =0fx=a方程组L1的解是Ia 2%+B?y+C 2=0y=b2.直线 «： A1x+B1y+C1 = G(A1，B1 不同时为 0)； l2： A2x+B2y+C2 = 0(A2，B2不同时为。)的位置关系如表所示:方程组，fA1X+B1y+C1 = 0的解人2% + 82了 +。2 = 0一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线11和12的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式(1) 平面上的两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式IP1P2| = Y(X2X1)2+ 321)2.(2) 两点间距离的特殊情况 原点0(0,0)与任一点P(x, y)的距离IOP=X2+y2. 当 P/2x 轴(y1=y2)时，IP1P2I = Ix2-x1I. 当 PP2y 轴(x1=x2)时，IP1P2I = Iy2-y1I.nu/两条直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1) «： 2x-y = 7 和 l2： 3x+2y-7 = 0；(