高数过关题参考答案7-11.docx

过关题（7）一、求下列偏导数Sz c 1)9、 x2(2x-1) dz 2x2y=2xln(x2 + y-x)+ 2)，V = oxx + y -x oy x + y -x, X1X2、 z = In tan ,zv =, zv =v. x x -%, ysin cos y sin cos y yy yyy 、,2 yyy y 3、z = xyex ,zx - yex= xex + yex.x4、z = sin + xexy,zx = cos + exy -xyexy, zv =-cos - -x2exy. yy yy y5、Z = y/x-n ,zx= -j= In -, z =xX Wx y6、设 z = ln(x +三),Z =L,zv2、' (Q)2x12x(%+:)2x（i,i）二、下列函数的二阶偏导数d2z d2z d2zdx1，dy2，dxdy-yx2xyy2 -x2-2xy1、z = arctan , x=1Z = 7 = Z =:7 =Y + 产，+ y2 f (x2 + ,2)2 ,+ ,2)2 (x2 + ,2)2z = sin2(x + 2y)9 zv = sin 2(x + 2y), zvv = 2 cos 2(% + 2y), z” = 4 cos 2(x + 2y) zy = 2 sin 2(x + 2y),z).y =8cos2(x + 2y).3、z = ex y,zx - 2xyex2y, zy = x2ex y,z = 2yeA' y + 4x2y2e'y, z», = 2xex y + 2xyex y, zvv = x4ex y. 三、下列函数的全微分1、iz =sin2(x2+ y2 + 2x),求 dz dz = (2x + 2) sin 2(x2 + y? + 2x)dx + 2y sin 2(x2+ y2 + 2x)dy。2、设 = x'z,求du = yzxyzdx+ zlnx-xyzdy + yinx-xyzdz. o3、设 Zu/y + x+y,求心 |9dz(2) = 5dx + 2dy.4、z =,求龙y1Ydz = yf；+-fdx + #/- -oyya c四、/具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数一,一 dx dy1、z = f（xzx= 2xfxrx3zdz2、丁 = 2必'+冽；= = 2忧+*; oxdy3、z = 7(sinx,x2y zv =cosM' +2xyf za z e za?五、x=0y二o解:dzdz-zdx 5z4 -4xz3 +3yz2" dy 5z4 -4xz3 +3yz2六、解:dzdy1x=0= y=0 D设方程 Y+2y2+3z2+xy z 9 =。确定了隐函数 z = z(x,y),求 dz。x2 + 2y2 + 3z2 + Xy- z-9 = 0 ,dz _2x+ y dz _4y + x dx l-6z 9dy l-6z 2x+y .+az =-dx+dyl-6z l-6z .分7七、设/ + +z? +%yz = 6确定隐函数Z=Z（X»），试求一 dx解:dzdx_ 3x2 + yz1 dz5' dy3y之 +xz3z2 + 盯dz设由方程z5应4 +冲3=1确定了隐函数Z = z（羽y）,求丁，二以及上dx dydy八、 解:九、 解:十、解:求函数 f(x, y) = 2(x-y)-x2一 y2的极值。f(x, y)= 2(% -y)-x2-y2,fx(x, y) = 2-2x = 0由 f (。 A俏驻点：(Ll)y) = -2 2y = 0又又(%，y) = -2,%(%，又=。，A，(%，y) = -2，则判别式：一=AC 520,A = 2<0,故/(L1) = 2为极大值。求函数/(x, y) = x3 + y3 -3xy的极值。f(x,y) = x3 + y3-3xy ,y) = 3x2 -3y = 0由2得驻点：(0,0) (1,1)y) = 3y -3x = 0又 几(%，y) = 6%,匕(X, y) =-3, 14，(x, y) = 6y ,在(0,0,)点出，判别式：d=32<0,无极值。在(1/)点出，判别式：q>0,A = 6>0,故/(LD = -1为极小值。已知容积为V的开顶长方体盒子，问其尺寸怎样时，有最小表面积？设长、宽、高分别为x,yz,则S（x, y, z） = 2xz + 2yz + xy, xyz = V利用拉格朗日乘数法，得：x=y = 行,z ='恒时；表面积最小。2过关题(8)1、设 =(3,2,1),求| a|及方向余弦I。|=9,COS6Z = 1=V14V14V142、设a = 3i j 2k,b = i + 2j k,求：(1) a-b = 3, axb = (5,1,7)；(2) (2a)3/? = 18, 1x2( = (10,2,14);(3) (q +2Z?)x(q 3b) = (25, 5, 35) 03、设向量 a,b的模分别为 I a |=5,| b |=2, a _L b ,则(3。一2Z?)( + Z?) = ( 67)4、求曲线x = a/,y = btz = c/在，=i的对应点处的切线与法平面方程。解：切点(a,0,c),切向量T = (a,2b,3c)切线方程:x-a y-b z-ca 2b 3c,法平面方程：a(x-)+ 2Z?(y-Z?) + 3c(z-c) = 0.5、求曲线x =，sin/,y = lcos/,z = 4sinL在点(工处的切线与法平面方程。 22解：切点(工 1,1,2后)，切向量 = (1,1,后)2711XF12 B切线方程:一j=上丁 ="金 ,法平面方程:(x-1 + l) + (j；-l) + 0(z-2V2)= 0.6、求曲面/ + y3 + z3 +盯z = 6在点(1,2-1)处的切平面与法线方程。解:7、解:切点(1,2,1),法向量 =(1,11,5)法线方程:=5丁 =,切平面方程:(x 1) +1 l(y 2) + 5(z +1) = 0. 求曲面2 + 2/ +3z? +孙-z = 7在点(2,-2,1)处的切平面与法线方程。切点(2,2,1),法向量 : = (2,6,5)x 2v + 2 z 1法线方程:=一=,切平面方程：2(x2) 6(y + 2) + 5(z 1) = 0. 2-65过关(9)一、化/ = 于(x, y)do为直角坐标下的二次积分,其中积分区域D是:D1、由丁 =%，xy = 1和尤=2所围成的；/=11 /(羽elxl /a，p)力2、由y = %2和> =2 %?围成的。2-x2,2于(x, y)dy二、画出下列累次积分所表示的二重积分的积分的积分区域，并交换其积分次序。1、于(x, y)dxpl r yfl. ,2x-p2、J。我Lk/ay)么=Jo丑L办3、f(x, y)dy = J。/(羽 y)dx解:2、解：f j xyda =j xydy 版=xdxydy = 2x-y22=(13一%)公=£三、计算下列二重积分1> jjxeydxdy,其中 D 由 y = x?, y = 1, x = 2 所围成。 Djj xe' dxdy = xdx eydy = j xex - e)dx =e4 - 2e. d1112jjxydxdy,其中D是由直线y =羽y = l,x = 2所围成。 D3、jj(x2 + j2-x)dc> ,其中。是由直线y = 2,y = x,y = 2x所围的闭区域。 D解：JJ(Y + y2 -x)da=j dyy (x2 + y? - x)dx°22D解D)'一),2e' do , D 由 y = x,y = l,x = 0所围成。dx= yey dy =-J。 2 2e5> jj(x2 + y2)dxdy . D :x2 + y2 <4y D解:jj(x2 + y2)dxdy d0p2(pdp) = 64j(%in4OdO = 128sin4OdO = 24D"6、jjln(l + X2 + /)6Zx6fy9其中O：/ + y2 <1在第一象限内的部分。D7T|解：jjln(l + x2+ y2)dxdy =d6 ln(l +(ypdp- ln(l + /?2)(i(l + p2) = (21n2-l)d°°4。47、jj + y1 dxdy ,其中。：V + y2 4 2x。D解：JJ JY +y2 必由=j ： 1 可：。,0/ 、16 p(pdp) = -JZ1322 cos3 OdO = o98、jjsin yjx1 + y2公功,其中 £). zr2 < x2 + y2 < 42o D解：jjsinjx) + /公力二/、可"sinp(pdp) = 2»J "夕sinpdp(分部积分)=一6/ D过关题do)1、化曲线积分为定积分(1)解:(2)j(2a-y)dx + dy ,其中 L为摆线 x = a(， sin/),y = a(l cos)(0 ， 2)沿，增加的方向。jj2 - y)dx + 办=J。a2a - (1 一 cos Z)(l - cos t) + a sin tdt -nJj/ _2xy)dx + (y2 -2xy)dy,七为 y = / 从(1,1)到解:£ (x2 一 2孙)心 + (丁 -2xy)dy = j (x2 - 2/) + 2x(x4 -2x3)dx =- 30(3)解:计算jt其中L为圆2 + /=。2,逆时针方向，汇十一。2、格林公式(1)计算曲线积分£/(1一。05')办:+。"(1 + 5亩丁)力,其中L是区域0<x4乃，0<y<sinx的正向边界。ff乃sinx、解:J /'(I - cos y)dx + eA(l + sin y)dy= Jj exdxdy = J0。'办J。力= Jo，sinWx= e" +1 (分部积 分公式)。22(2)计算曲线积分/=£(3/y 2y)公+ (丁+1)办，其中L是椭圆曲线9 + 3- = 1沿顺时针方向。解：/(3x2 y 2y)dx + (x3 + l)dy = 2dxdy = -127D(3)计算曲线积分，("siny 2y)公+ ("cosy -2)小淇中L为上半圆周(x ，)2 + >2 =2»20 沿逆时针方向。解：补上有向直线段4：0(0,0)fA(2a,0),则£(ex sin j - 2y)dx + (eA cosy - 2)办(e' sin y - 2y)dx + (" cos y - 2)dy - L 4(ex sin y - 2y)dx + (ex cos y - 2)dy 4Odx = rcaD(4)计算/ = J(X -2j)+(sin2y + ex)dy ,其中L是在圆周一 +/=上由A(l,0)沿逆时针方向到 L5(1,0)的一段弧。)解：补上有向直线段4：B(l,0) - A(l,0),则yex -2y)dx +(sin2 y + ex)dyL= f(y" -2j)( +(sin2 y+，)力- J (y" -2y)公+ (sin2 y + ex)dyL kA=JJ 2dxdy- J Odx = 71D.3、曲线积分与路径无关(1)证明积分:)(x+y)公+ (%-丁)力在xoy面内与路径无关，并计算其值。解：令 P(x,y) = x+yQ(x,y) = xy,则 K(x,y) = l = Q,(x,y),所以，积分与路径无关。£：(% + y)dx+(% - y)dy =(+V)dx+J：(2 - y)dy = 1(2)计算曲线积分JjY y)公(x + sin2y)办，其中乙是由点0(0,0)沿圆周y =百二？到A(l,l) 的一段弧。解：令 P(x,y) = /y,Q(x,y) = f sin2y ,则y) = 1 = Q,(x, y),所以，积分与路径无关。(J _ /)公_(x + sin2y)dy = £x2dx-£(1 + sin2y)dy =-(3)设曲线积分J"(x)短sin*Zx/GOcosydy与路径无关，其中/(x) 一阶连续可导且/(0) = 0 , L求了。解：令P(%,y) = "(%) "siny,Q(%,y) = -f(x)cosy,则Py(九,y) = "(x) - e' cos y, Qx (x, y) = -fx) cos y因为积分与路径无关，所以 P、(x,y) =2,(x,y),一尸 cos y = "(x) - eA cosy即：ff(x) + f(x) = ex,解得通解为/(x) = Cer+e又 /(O) = 0,故。=_L,因此 /(x) = _Le-、+'/过关题(11)1、判别下列级数的敛散性811(1)y收敛(利用比较判别法的极限形式，与一比较)65 + 1)5 + 2)H28 n1(2) Vln()发散(利用比较判别法的极限形式，与一比较)台 +1n(3)(4)00zn=oozn=00zn=coz"+3n2nn5 4几2+13(7)(8)(9)发散，一般项不是n趋向无穷大时的无穷小量收敛（比值法）收敛（比值法或根值法）2n tan /?=18 z(n=8534n +1收敛收敛（利用比值法）（根值法）zn=loozn=ln(/?2+ l)n n22/+1收敛（根值法）发散，一般项不是n趋向无穷大时的无穷小量8(10)£n=oo(idX77=1nsin n2 + (1)发散，一般项不是n趋向无穷大时的无穷小量2分成两个级数： Z至，Z 71=1 D 71=10000合二，利用等比级数知，两个都收敛，所以，原级数收敛 3.2n§3+ 1=+ 5ft+ 200_E.71sinr二i 乙(COST?81(16)Z(T)下n=V oo2(17) £(-1)噂n=°(12)(13)(14)(15)发散（利用比较判别法的极限形式，与L比较）n发散（利用比较判别法的极限形式，与,比较）nTT收敛（利用比较判别法的极限形式，与一比较）2绝对收敛| cos n |条件收敛绝对收敛84（18） £显限绝对收敛Zi几00(19)X72=1V2 + (-lf/4oo 5分成两个级数：=1 II 40000A?181< F, £ F收敛=18 1z 下发散，利用莱布尼兹判别法, n=8 MX收敛（比值法或根值法）n=X|sinn41工1收敛y ,两个都收敛, £ /4所以，原级数收敛002、已知级数和£匕；收敛，求证级数2%匕81y(i)j=收敛 n=V co和Z（%+V）2收敛。（提示比较审敛法） n=00分析：I unvn<+匕* £ %乙绝对收敛。71=100(% + 乙=(/ + 匕；)+ 2unvn, Z ("+ 乙)2 收敛n=83、设级数£"收敛，其部分和为s,n=8 11反证法：设£收敛，则lim C一>8 Cn=8 1求证级数Z发散.（提示：反证法） n= 01ims=oo,这与lims存在矛盾。n>oo4、求下列级数的收敛半径与收敛区间(1)(2)(3)8Sn=cozn=cozn=(1)",R = limJ = 4,收敛区间(-4,4)84 n2/2n- 人,R = lim“TOO2向 5 +1)3 cC C、二3 一2 ,收敛区间(2,2)2 YV先考虑38,缺项，不能直接用公式I % /'In=区间（-瓜532级数收敛，|x|>百，级数发散，所以/? = 6,收敛(4) yv/L ,先令/ = x 4,有£刀=,收敛半径R = l,收敛区间(1,1)。再由=1 A/ + 2n=V + 281 ri所以Z 方+营口的收敛半径R = 2, 77=1 23l<x4<l,3<x<5,收敛区间（3,5）5、将函数/（%） =L展开成在x = 2处的幕级数。解:/(%)=x + 35 + x-2谷 f-1Y5 * 7=2号(>2),(|x-2|<5) n=036、解:5将/(X) = e”展开成x + 2的基级数。x -2 x+2-2» (x + 2)e = e e = e2=。！7、分析：/（x） =-r5展开成x的幕级数。 jc 4x + 31 1 1 1x2 4x+ 3 2 1 x3 x），1-x100=2尤,1%1< i,=08 1w前"，<3n=0 °8 11综上:=n=0 238、将/(1) =分析：/(%)二F7展成(x+1)的基级数。x -x-61(L) x 6 5 x 3 x + 2x 34 (x+1)1 _ 12 + x l + (x+l)8 1= ZRx+d，(m+ii<4) 72=0 48= £(-l)(x+l),(|x+l |<1)77=()8 1 1综上：/(x) = Z W (即(一 1)(x +1)，I X +11< 1 =o 5 4（5） Y + xnn= Z D0018 rl分成两个级数，它们的收敛半径分别为2, 3, n= 乙 n= °收敛区间（2,2）