选修11讲义精练第1章1.22全称量词和存在量词.docx

1. 2.2 全称登讯和存在*为抽象问题情境化，新知无师自通族我财确要量1 .全称置词与存在量词(1)全称量词：”任意、”全部、“每一个等叫作全称量词，数学上用符号 w 表示.(2)存在量词：“成、"某一个”、"至少有一个等叫作存在量词，数学上用符 号"3”表示.2 .含有“全称量词”或“存在词”的命题的否认(1)命题“Vx£1,p(x)的否认是“旦年必如立;(2)命题“三工£/, p(xf的否认是“Vx£/,睇6x)”.小同做大思镇1 .命题P：任何一个实数除以1等于这个数；q：等边三角形的三边都相等.它们各使 用了什么量词？提示：命题p使用了全称量词“任何一个”，"等边三角形的三边相等”是指"任意 一个等边三角形的三边都相等"，命题q使用了全称量词“任恚.2 .以下命题使用了什么量词？P：存在实数x,使好一3>0；小有的实数既不是质数也不是合数.提示：命题p使用存在量词“存在，命题g使用存在量词“有的.3 .如何用符号表示以下命题？(1)对任意实数。，有si/a+cos2a=1；(2)存在实数x,使得1_；+=2.提示：(1)用符号表示为"V"£R, sin2”+cos2a=l".(2)用符号表示为“mx£R, _；+1=2.ms用"V”或"m表述命题高频考点题组化.名师一点就通值范围.4 22解：假设p为真，那么对称轴工=一石=，在区间(一8, 2的右侧，即,22,041.假设q为真，那么方程16/163 l)x+l=O无实数根./.J = 16(a- I)2_4X 16<0,命题"pAg"为真命题，命题p, q都为真，IOvaWl,13工彳vaSl.2<a<22故实数a的取值范围为G，1.敏例D将以下命题用量词符号"V"或“m表示，并推断真假.(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程必+效+1=0(“<1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数X,有2x+l>0.自主解答(l)VxeR, -0;真.(2)VxZ, x21;假.(3)2x<0,有 4*2+2工+1=0(“V1)；真.(4)3xER,有 2x+l>0;真.现阖总结同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在 实际应用中可以敏捷选择：命题含全称量词的命题A, p(x)”含存在量词的命题 "p(x)H表述 方法全部的x£A, p(x)成立对一切 p(x)成立对每一个A, p(x)成立任意一个x£A, p(x)成立凡xEA,都有 p(x)成立 使p(x)成立存在xAf至少有一个A, 使p(x)成立 对有些xWA,p(x)成立对某个xCA, p(x)成立有一个xA, 使p(x)成立不N兀1.用全称量词或存在量词表示以下语句：(1)不等式/+x+1>0恒成立；(2)当x为有理数时，/2+%+1也是有理数;(3)等式sin(以+/?)=sin a+sin 对有些角a, P成立;(4)方程3x-2j=10有整数解.解：(1)对任意实数X,不等式*2+3+1>0成立.对任意有理数X,$2+$+1是有理数.(3)存在角 G,使 sin(a+/?) = sin a+sin/?成立.(4)存在一对整数x, yt使3x27=10成立.含全称量词或存在量词的命题的真假推断例(1)以下命题中的假命题是()A. R» lgx=OB. R, tan x=lC. Vx£R, x2>0D. VxER, ev>0(2)以下命题中的真命题是()A. V*GR,函数/(x)=siii(2x+3)都不是偶函数B. 3a, 昨R,使 cos(“+m=cos a+cos/?C.向量。=(2,1),。=(- 1,0),那么。在方向上的投影为2D.是"xWl的既不充分又不必要条件自主解答(1)对于A, x=l时，lgx=0;对于 R, x=A7r+?AGZ)时，tanx=l;对于C,当x=0时，x2=0,所以C中命题为假命题；对于D, P>0恒成立.对于A,当时，,Ax)=cos 2x,为偶函数，故A为假命题;对于B,令夕=£,片甘，那么cos(+4)=cos(a+/0=cos ”+cos/成立，故 B 为真命题;对于C,向量=(2,1),力=(1,0),那么。在方方向上的投影为需=芸”=2,故 C为假命题；对于D, |x|l,即一IWxWI,故充分性成立，假设xWl,那么|x|Wl不肯定成立，所 以为“xWl的充分不必要条件，故D为假命题.答案(1)C (2)B现全称命题与特称命题的真假推断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立; 但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个刈，使得p(xo)不成马上可.(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个X。使p(xo)成马 上可；否那么，这个特称命题就是假命题.作2.推断以下命题是含全称量词还是存在量词，并推断其真假.(1) 一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数x,使好=0；(3)3xz, log4X>0；(4)Vx£x|x是无理数,炉是无理数.解：(1)命题中含有全称量词"都”，命题为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个，当x=0时，x2=0,命题为真命题.(3)命题中含有存在量词的符号“三,当x=4时，log4X=l>0,命题为真命题.(4)命题中含有全称量词的符号“W”,由于x=45时/=4是有理数.因此命题是假 命题.含有量词的命题的否认叙画 设命题p：3/iN, /r>2M,那么?为()A. V£N, 2>2B. 3/iEN, n22"C. VweN, ；i2<2«D. 3/?eN, “2=2”(2)(2016浙江高考)命题“VxCR,使得23"的否认形式是()A. VxGR, 3nGN*,使得V/B. Vx£R, VwEN*,使得Vx?C. 3xGR,使得V/D. BxGR, V/iEN*,使得必自主解答(1)由于p(x)的否认是“Vx£M,p(x)，所以命题GN, 2>2""的否认是 “VWN,应选 C.(2)由于特称命题的否认形式是全称命题，全称命题的否认形式是特称命题，所以“Vx GR, 3/eN使得云炉的否认形式为“mx£R, V/»eN使得Vx2” .答案(1)C (2)D现(l)“VxWM, p(x)H的否认为Mx) .(2)有些命题省略了全称量词，在这种状况下，千万不要将否认写成“是"或"不是”.(3)命题 TxWM, p(x)”的否认为 “VxWM, p(x)".(4)只有“存在 一词是量词时，它的否认才是“任意，当“存在 一词不是量词时, 它的否认是“不存在”.例如：三角形存在外接圆.这个命题中的量词“全部的"被省略 了，所以这个命题的否认是：有些三角形不存在外接圆.E. 写出以下命题的否认并推断其真假.(Dp：不管加取何实数，方程好+3:-1=0必有实数根；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：余弦值为负数的角是钝角；(4)p：存在一个实数，使得3yo.解：(1)这一命题可表述为p:对任意的实数方程x2+mx-l=0必有实数根.其否 认为：存在一个实数mf使方程好+山工一1=0没有实数根，由于该方程的判别式/=产 +4>0恒成立，故为假命题.(2)由于存在量词“有些的否认的表述为“全部，"因此，原命题的否认为： “全部三角形的三条边不全相等”，假命题.(3)原命题的否认为：“有的余弦值为负数的角不是钝角，真命题.(4)原命题的否认为“对于全部实数心 都满意320，真命题.晒惮J|妙解题什么是才智，才智就是简洁、高效、不走弯路推断以下命题的真假.(DVxSR, F+2x+l>0；(2)3xeR, |x|W0；(3)Vx£N+, log>>0；(4)3xR, cosx=j.巧思依据命题中所含量词的含义，可举特例推断.妙解(I)；当工=-1 时，x24-2x+l=0,原命题是假命题.(2)当工=0时，|x|W0成立,原命题是真命题.(3)'当 x=l 时，logix=0,工原命题是假命题.(4):当 x£R 时，cosxe-1,1,而与>1,不存在*£R,a n使 COS x = .原命题是假命题.随堂练习常态化.当堂强化所学1 .以下命题不是“mx£R,炉>3"的表述方法是()A.有一个xCR,使得l2>3B.对有些x£R,使得好>3C.任选一个xWR,使得12>3D.至少有一个x£R,使得好>3 解析：选项C是全称命题.答案：C2 .以下命题中的假命题是()B. R> cosx=lD. VxeR,2x>0A. 3xER, lgx=0C. VxWR, >0解析：选项 A, Ig x=0=>x=l;选项 B, cos x=1=x=2AttWWZ）;选项 C;炉>00工 >0;选项 D,2O00x£R.答案：C3.设命题p： mCN, /产>2",那么为（）A. VneN,序>2"B.n22MC. V£N, 2<2"D. 3/EN, n2=2n解析：由于“ mxWMp(x)"的否认是“ Vx£M,睇p(x)"，所以命题的否认是“V£N, 2W2,应选C.答案：C4 .命题“至少有一个正实数x满意方程/+2(-l)x+2a+6=0"的否认是.解析：把量词“至少有一个改为“全部，”满意改为“都不满意得命题的否 认.答案：全部正实数x都不满意方程9+2(。-l)x+2« + 6=05 .给出以下命题.®Vx£R, F+2>0；Vx£N, m； 3xez, <1.其中是真命题的是（把全部真命题的序号都填上）. 解析：由于Vx£R,都有F20, 因而有好+222>0,即产+2>0.所以命题“Vx£R,/+2>0是真命题.由于OWN,当x=O时，不成立.所以命题“WxWN,炉21"是假命题.由于一1£Z,当丫=一1时，好<1成立.所以命题“mx£Z, x<r是真命题.答案：6 .写出以下命题的否认，并推断真假.非负数的平方是正数.有的四边形没有外接圆.7 ：（1）命题的否认：“存在一个非负数的平方不是正数.由于。2 = 0,不是正数，所以该命题是真命题.（2）命题的否认：“全部四边形都有外接圆.”由于只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否认为假命题.YINGYONG课下训练经典化，贵在触类旁通一、选择题1 .命题“存在xWR,2*W0"的否认是（）A.不存在 x£R,2x>0B.存在 x£R,2x，0C.对任意的xGRN4OD.对任意的x£R,2x>0解析：由含有存在量词的命题否认可知，命题“存在工的否认是“对任意 的 x£R,2*>0".答案：D2 .命题“全部能被2整除的整数都是偶数"的否认是（）3 .全部不能被2整除的整数都是偶数B.全部能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：否认原命题结论的同时要把量词做相应转变，应选D.答案：D3 .假设存在x£R,使M+2x+avO是真命题，那么实数。的取值范围是()B. (一8, 1JA. (8, 1)C. (-1,1)D. (-1,1解析：当“W0时，明显存在x£R,使。X2+2*+。<0;当 a>0 时，必需 4=444>0,解得一Ivavl,故0avl.综上所述，实数。的取值范围是(一8, 1).答案：A4 .以下四个命题：pi：2xG(0,+8), (9<妙Pit 3xG(0,l), logx> log j X；VxW(0, +8)VxG(0, I), Qlog.x.其中的真命题是()B. pi，P4D. pit P4A. pl，piC.02，P3解析：对于命题pi,当x£(o, +8)时，总有成立，所以pi是假命题，排解A B,对于命题P3,在同一平面直角坐标系中作出函数丁=&与函数y=log【x的图象(图略)，可知在(0, +8)上，函数的图象并不是始终在函数y=og| x的图象上方，所2以P3是假命题，排解C.答案：D二、填空题5 .命题“有些负数满意不等式(1+制(1-9上)>0"用"三"或"V"可表述为解析：命题“有些负数满意不等式(1+幻(1 - 9x)>0”为特称命题，用“三”表示为: 3x<0,使(l+x)(l-9x)>0.答案：3x<0,使(l+x)(l 9x)>06 .命题“零向量与任意向量共线”的否认为：.解析：命题“零向量与任意向量共线即“任意向量与零向量共线，其否认为“有 的向量与零向量不共线”.答案：有的向量与零向量不共线7 .以下命题是真命题的有.(1)VxW1,3j5,5x+2是奇数；(2)3xeR, x2-6x-5=0；(3)Vx£R,卜+1|>0.解析：(1):5X1 + 2 = 7,5X3+2=17,5X5+2=27,均为奇数，是真命题.(2)./一6工一5=0 中，J=36+20=56>0,方程有两个不相等的实根，是真命题.(3),3= 1时，|-1 + 1|=0,，是假命题.答案：8 .假设命题“mx£R, ar2ax2>0*是假命题，那么”的取值范围是.解析：a-ax-lXf是假命题，那么 “VxWR, ax2-ax-2(f是真命 题,当a=0时，-240.符合题意.当 aHO 时，要满意VxWR, ax2-ax-2)r需有。<0,/WO,avO, 即.<z2+8cr0,解得一8v0,综上，。的取值范围是-8,0.答案：-8,0三、解答题9 .用"V" "三"写出以下命题的否认，并推断真假.(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)3«,力£R,方程 ar+%=0 无解.解：(1)三人幻£二次函数,人外的图象不是抛物线.它是假命题.(2)在直角坐标系中，直线,，不是一次函数的图象.它是真命题.(3)Vx£ 四边形, x不存在外接圆.它是假命题.(4)Va, Z,eR,方程ax+Z>=0至少有一解.它是假命题.10 .命题p：”存在。>0,使函数,")=标一4x在(一8, 2上单调递减"，命题."存 在。£R,使VxGRJSF-lGS-Dx+lHO".假设命题"p/q"为真命题，求实数。的取