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历年北京高考试题三角函数部分汇编(文科)数 学 C单元三角函数 C1 角的概念及任意角的三角函数6、2014·新课标全国卷 如图1­1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图像大致为()图1­1 A B C D6CC2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16、2014·福建卷 已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为0<<，sin ，所以cos .所以f()×.(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为0<<，sin ，所以，从而f()sinsin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.17，2014·重庆卷 已知函数f(x)sin(x)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值17解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图像关于直线x对称，所以2×k，k0，±1，±2，.因为，所以.(2)由(1)得sin(2×)，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin××.C3 三角函数的图象与性质92014·辽宁卷 将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增9B32014·全国卷 设asin 33°，bcos 55°，ctan 35°，则()Aa>b>c Bb>c>a Cc>b>a Dc>a>b3C6、2014·新课标全国卷 如图1­1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图像大致为()图1­1 A B C D6C14、2014·新课标全国卷 函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_14117，2014·重庆卷 已知函数f(x)sin(x)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值17解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图像关于直线x对称，所以2×k，k0，±1，±2，.因为，所以.(2)由(1)得sin(2×)，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin××.C4函数的图象与性质32014·四川卷 为了得到函数ysin (2x1)的图像，只需把函数ysin 2x的图像上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度3A112014·安徽卷 若将函数f(x)sin的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是_11.142014·北京卷 设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A>0，>0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_1416、2014·福建卷 已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为0<<，sin ，所以cos .所以f()×.(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为0<<，sin ，所以，从而f()sinsin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.7、2014·广东卷 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4 Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定7D17、2014·湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为f(t)102102sin，又0t<24，所以t<，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin>11，即sin<.又0t<24，因此<t<，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温16、2014·江西卷 已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值16解：(1)f(x)sincos(sin xcos x)sin xcos xsin xsin.因为x0，所以x，故f(x)在区间0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又，知cos 0，所以解得12、2014·新课标全国卷 设函数f(x)sin，若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)12C16，2014·山东卷 已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)a·b，且yf(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间16解：(1)由题意知，f(x)msin 2xncos 2x.因为yf(x)的图像过点和点，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由题意知，g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知，x11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得，sin1.因为0<<，所以.因此，g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间为，kZ.22014·陕西卷 函数f(x)cos的最小正周期是()A. B C2 D42B16，2014·四川卷 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值16解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin <0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.15、2014·天津卷 已知函数f(x)cos x·sincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos x·cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为.42014·浙江卷 为了得到函数ysin 3xcos 3x的图像，可以将函数ycos 3x的图像()A向右平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位4C17，2014·重庆卷 已知函数f(x)sin(x)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值17解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图像关于直线x对称，所以2×k，k0，±1，±2，.因为，所以.(2)由(1)得sin(2×)，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin××.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切14、2014·新课标全国卷 函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_14116、2014·安徽卷 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值16解： (1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得cos B，所以由正弦定理可得a2b·.因为b3，c1，所以a212，即a2 .(2)由余弦定理得cos A.因为0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin××.7、2014·广东卷 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4 Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定7D16、2014·广东卷 已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.172014·湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为f(t)102102sin，又0t<24，所以t<，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin>11，即sin<.又0t<24，因此<t<，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温17、2014·辽宁卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由·2得c·a·cos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292×213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B·.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.17 2014·全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.17解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C.所以tan Btan180°(AC)tan(AC)1，所以B135°.82014·新课标全国卷 设，且tan ，则()A3 B3C2 D28C13，2014·四川卷 如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 67°0.92，cos 67°0.39，sin 37°0.60，cos 37°0.80，1.73)图1­3136016，2014·四川卷 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值16解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin <0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.15、2014·天津卷 已知函数f(x)cos x·sincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos x·cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为.10，2014·重庆卷 已知ABC的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)>8 Bab(ab)>16 C6abc12 D12abc2410AC6 二倍角公式15、2014·全国卷 直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_15.16、2014·全国卷 若函数f(x)cos 2xasin x在区间是减函数，则a的取值范围是_16(，2 16、2014·福建卷 已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为0<<，sin ，所以cos .所以f()×.(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为0<<，sin ，所以，从而f()sinsin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.16，2014·四川卷 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值16解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin <0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.15、2014·天津卷 已知函数f(x)cos x·sincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos x·cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为.C7 三角函数的求值、化简与证明16、2014·广东卷 已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.17、2014·湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为f(t)102102sin，又0t<24，所以t<，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin>11，即sin<.又0t<24，因此<t<，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温16、2014·江西卷 已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值16解：(1)f(x)sincos(sin xcos x)sin xcos xsin xsin.因为x0，所以x，故f(x)在区间0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又，知cos 0，所以解得16，2014·四川卷 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值16解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin <0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.C8解三角形122014·天津卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_1216、2014·新课标全国卷 设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45°，则x0的取值范围是_161，1 122014·广东卷 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_122 16、2014·安徽卷 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值16解： (1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得cos B，所以由正弦定理可得a2b·.因为b3，c1，所以a212，即a2 .(2)由余弦定理得cos A.因为0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin××.152014·北京卷 如图1­2，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长图1­215解：(1) 在ADC中，因为cos ADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B××.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BC·cos B82522×8×5×49，所以AC7.122014·福建卷 在ABC中，A60°，AC4，BC2，则ABC的面积等于_12218、2014·湖南卷 如图1­5所示，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.图1­5(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的长18解：(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD，故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sinCAD，sinBAD.于是sin sin (BADCAD) sinBADcosCADcosBADsinCAD ×× .在ABC中，由正弦定理，得.故BC3.42014·江西卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D3 4C17、2014·辽宁卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由·2得c·a·cos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292×213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B·.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.17 2014·全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.17解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C.所以tan Btan180°(AC)tan(AC)1，所以B135°.162014·新课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)·(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_16.42014·新课标全国卷 钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D14B12，2014·山东卷 在ABC中，已知·tan A，当A时，ABC的面积为_12.16，2014·陕西卷 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值16解：(1)a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立，cos B的最小值为.13，2014·四川卷 如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 67°0.92，cos 67°0.39，sin 37°0.60，cos 37°0.80，1.73)图1­31360 18浙江卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积18解：(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由a<c，得A<C，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.所以，ABC的面积为Sacsin B.10，2014·重庆卷 已知ABC的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)>8 Bab(ab)>16 C6abc12 D12abc2410A解析 因为ABC，所以ACB，C(AB)，所以由已知等式可得sin 2Asin(2B)sin2(AB)，即sin 2Asin 2Bsin 2(AB)，所以sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)sin 2(AB)，所以2 sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(AB)， 所以2sin(AB)cos(AB)cos(AB)，所以sin Asin Bsin C.由1S2，得1bcsin A2.由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以12R2·sin Asin Bsin C2，所以12，即2R2，所以bc(bc)>abc8R3sin Asin Bsin CR38. C9 单元综合16、2014·新课标全国卷 设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45°，则x0的取值范围是_161，1 17、2014·湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为f(t)102102sin，又0t<24，所以t<，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin>11，即sin<.又0t<24，因此<t<，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温18、2014·湖南卷 如图1­5所示，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.图1­5(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的长18解：(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD，故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sinCAD，sinBAD.于是sin sin (BADCAD) sinBADcosCADcosBADsinCAD ×× .