2011年上海高考理科数学真题及答案.docx

2011年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）函数的反函数为f1（x）=，（x0）【解答】解：设，可得xy2y=1，xy=1+2y，可得，将x、y互换得原函数的值域为yy|y0，（x0）故答案为：，（x0）2（4分）若全集U=R，集合A=x|x1x|x0，则UA=（0，1）【解答】解：集合A=x|x1x|x0=x|x1，或x0CUA=x|0x1=（0，1）故答案为：（0，1）3（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m0从而得出m+9=25，解得m=16故答案为：164（4分）不等式的解为【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为：5（4分）在极坐标系中，直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（2cos+sin）=2，cos=12x+y2=0与x=12x+y2=0与x=1夹角的正切值为直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan6（4分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75°，CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°AD=x在RtABD中，ABsin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：下由正弦定理求解：CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°又相距2千米的A、B两点，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：7（4分）若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2，又，圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××=故答案为8（4分）函数的最大值为【解答】解：=cosxcos（x）=sin（+2x）+故答案为：9（4分）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123P（=x）？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E=2【解答】解：设P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，则2a+b=1，E=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为210（4分）行列式（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是6【解答】解：，a，b，c，d1，1，2ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：1×2=2，adbc的最大值是：6故答案为：611（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=【解答】解：AB=3，BD=1，D是BC上的三等分点，=9=，故答案为12（4分）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，要求的事件的概率是1=10.985，故答案为：0.98513（4分）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，则f（x）在区间10，10上的值域为15，11【解答】解：法一：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又函数f（x）=x+g（x）在3，4的值域是2，5令x+6=t，当x3，4时，t=x+69，10此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=x+g（x）+6 所以，在t9，10时，f（t）4，11（1）同理，令x13=t，在当x3，4时，t=x1310，9此时，f（t）=t+g（t）=（x13）+g（x13）=（x13）+g（x）=x+g（x）13 所以，当t10，9时，f（t）15，8（2）由（1）（2）得到，f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，11法二：由题意f（x）x=g（x） 在R上成立 故 f（x+1）（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，1114（4分）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|2）（|OR1|2）0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，则=【解答】解：由题意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，Pn，是中点，根据题意推出P1，P2，Pn，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD【考点】基本不等式【专题】综合题【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数不等式a2+b22ab的使用条件是a，bR【解答】解：对于A；a2+b22ab所以A错对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错ab0故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等16（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ABy=x3Cy=2|x|Dy=cosx【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，将x用x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性【解答】解：对于函数的定义域为xR且x0将x用x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x（0，+）时，在区间（0，+）上单调递减的函数故选A【点评】本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性17（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D10【考点】向量的加法及其几何意义【专题】计算题；压轴题【分析】根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，得（x1x，y1y）+（x2x，y2y）+（x3x，y3y）+（x4x，y4y）+（x5x，y5y）=，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案18（5分）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同【考点】等比数列的性质【专题】压轴题【分析】根据题意可表示Ai，先看必要性，An为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得【解答】解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力三、解答题（共5小题，满分74分）19（12分）已知复数z1满足（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2【考点】复数代数形式的混合运算【专题】计算题【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2【解答】解：z1=2i设z2=a+2i（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是实数4a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为020（12分）已知函数f（x）=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0 （1）若ab0，判断函数f（x）的单调性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x）时的x的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】（1）先把ab0分为a0，b0与a0，b0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断（2）把ab0分为a0，b0与a0，b0两种情况；然后由f（x+1）f（x）化简得a2x2b3x，再根据a的正负性得或；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围【解答】解：（1）若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为增函数，所以f（x）=a2x+b3x在R上为增函数；若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为减函数，所以f（x）=a2x+b3x在R上为减函数（2）若a0，b0，由f（x+1）f（x）得a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化简得a2x2b3x，即，解得x；若a0，b0，由f（x+1）f（x）可得，解得x【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法21（14分）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算【专题】综合题；转化思想【分析】（1）此题由题意画出图形因为ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为，所以应先利用线面角及二面角的定义求出，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出【解答】解：（1）由题意画出图形为：ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，又因为二面角AB1D1A1的大小为，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，AO1A1=，而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，（2）O1为B1D1的中点，而AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，AO1B1D1B1D1平面ACC1A1平面AB1D1平面ACC1A1且交线为AO1，点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用RtAA1O1RtCHA 得到，而，AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2【点评】此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力22（18分）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式【考点】等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想【分析】（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项（2）对于数列an，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式（3）对an中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对bn中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项【解答】解：（1）a1=3×1+6=9； a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于an=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7bn当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k1+7不属于bn在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）b3k2=2（3k2）+7=a2k1b3k1=6k+5 a2k=6k+6b3k=6k+76k+36k+56k+66k+7当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4【点评】本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法23（18分）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D=P|d（P，l）1所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，2）A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）【考点】点到直线的距离公式；空间点、线、面的位置【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式（2）由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，（2）由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，S=22+=4+（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，到两条直线距离相等的点的集合是y轴选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，2），根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线，直线y=x1（x1）选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x（0x1），（1x2），（x2）或x0，y0【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目