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2022年高中课件教案说课计划 (10) 解三角形（上）逐字教案课前引入：今日是我们寒假的第一节课。首先来说一下我们整体的寒假的七次课的安排，根据正常的我的习惯，我们今年寒假，大家应当还是没有第七次课考试的可能。因为我们前六次课的东西呢，确定不行能在六次课之内讲完，所以说我们正常的七次课呢还会是讲七讲的内容。因为我们之前在秋季当中已经学习完了必修一和必修四的两本课本（板书一 四），那么我们在整个寒假当中，将以必修五和必修三作为我们寒假的整体（板书五 三）。那么必修五在整个学习当中呢，一般分为三个章节，这个课本。第一个章节呢叫作解三角形，其次个章节呢是数列，第三个章节呢是不等式（板书解三角形 数列 不等式）。可以这么说，当我们必修五学完了之后，中学阶段的代数的绝大多数内容，都已经都已经被我们学完了。剩下的代数的内容只剩下选修2-2当中的微积分的初步内容。所以说这块儿东西是我们在必修部分最终一个比较具有强技巧性的部分，尤其体现在数列和不等式这两章当中，这两章是中学数学另外两个特别具有技巧性的，它们在数学竞赛当中的体现尤为剧烈。在高考当中这两块儿的力气逐年在减弱，但是减弱并不代表我们平常的考试不注意这个，好吧。另外一块儿呢叫做必修三，必修三是整个中学课本当中，呃可以说是最轻松的，但是它其实是，我觉得是对你们将来学习数学的用途最大的一个。必修三它讲的是三块儿东西，第一块儿东西叫做算法，算法很有用，假如你想真正的能够培育出一个理科的思维模式的话，算法是特别重要的思维形式，其次个东西讲的是概率，第三块儿东西讲的是统计（板书算法 概率 统计）。我们讲到这块儿的时候你就知道了，许多人会觉得啊，这玩意儿初中就学过，其实不是这样的。你们以后会发觉，这三块儿东西是整个必修课本当中最重视应用的一个部分。也就是说这三个东西，其实它跟我们的平常的生活联系的是最紧密的。我希望大家在学这几个东西的时候，不仅把它当成数学来学，更要当成你们生活当中许多的行为和许多的行为模式，然后来学习这块儿东西。好当然了，根据常规我们的寒假班呢，是对这些学问呢做一个比较，尽可能详尽的一个介绍。但是在学问的难度上呢，不能做到特别强的深化，因为终归我们只有七次课，好吧。那么我希望大家能够用好这次预习的机会，然后我们把这块儿课呢，把它讲完。（擦掉板书）好，我们今日的第一节课呢，你看上面写着九个绿色的大字，是九个吧，一二三四五六七八九，九个绿色的大字，叫作正弦定理与余弦定理。好，大家看过了吧，看过了标题了，我们下面可能就看不到它们了。教学过程：那么讲正弦定理和余弦定理，本质上我们是要讲一个东西，叫做解三角形（板书）。解三角形可以说是我们人类在学习，和一起先探讨三角函数这个部分，与生俱来的一个东西。或者说是什么呢，三角函数这个东西是不是在没有被欧拉进行拓展之后，但是解三角形已经存在了。因为，我们知道，我们上学期学习的必修四当中的解三角形更重要的是你会发觉我们把角会拓展到一个无限大的份儿上，是不是应当这样的？会把角和实数一一对应起来，是不是做了这么一件处理？然后用函数的观点来看待它。但是，其实在最初的用途当中，解三角形反而是我们最剧烈的一个运用。怎么说呢，我们初中的时候应当学习过一个章节叫做解直角三角形。解直角三角形是一个怎么回事儿，大家还能，脑子还能记得吗？就是你们刚起先学和的定义的时候，解直角三角形是怎么一回事儿？给你个直角三角形（板书作图），是不是应当这样的？啊这个角是直角，告知你这条边是a，然后呢再告知你这个角，这个角B，那么你是不是应当可以把其他量都求出来，这个应当可以求出来吧？那么这条边怎么求？这条边等于什么？来现在告知我，速度。等于a什么呀，a除以，是不是应当这样的？好，a除以。这个角是什么？这个角怎么算？啊，这个角呢其实就是，不过你们初中不会用 ，你们初中是用，是这么一回事儿吧？然后相应的是不是能够把这条边算出来，是不是应当这样的？这个能理解吧？好，解直角三角形，我们知道直角三角形当中（板书作图），除了告知你这个直角以外，还有五个要素。有角A和角B，留意我们在中学阶段写角A和角B不再这么写了，“A”“B”。在三角形当中干脆写，比如说，。我们干脆这么写，留意啊。一般不写“A”和“B”，能理解我这句话的意思吧？好，此外呢还有三条边，角A所对的这条边我们用小a来表示，角B所对的这条边我们用小b来表示，角C所对的这条边我们用小c来表示。那么我们当然知道，这五个元素，a、b、c、角A、角B，假如我想把这个直角三角形完全知道，那么你须要至少知道其中的几个元素？知道几个就可以了？诶，假如这五个元素我想都求出来，边a、边b、边c、角A和角B，这五样都要求出来，那么你至少知道其中的几个元素？一般会知道几个？两个，但是这两个不能是两个角，是不是应当这样的？因为知道一个角就相当于知道另外一个角了，是不是应当这样的？我们至少须要知道其中的两个元素。换言之，解直角三角形的过程就是一个知二求三的过程。知道两个元素，知道一角一边或者两条边，我都可以求出其他的三个元素。当然，我们在学习了随意角的三角函数之后，我们的视野明显不能只留在这么小的地方。（擦掉板书）所以说，我们学习的第一章就是三角函数的一个最基本的运用，叫作假如给我们一个一般的三角形（板书作图），在我们给出六个元素的基础之上，我们如何来给出解三角形，也就是说我们如何来计算这样的六个量。那我们来回顾一下初中跟边和角相关的东西。我们在，呃你们初中应当都学过一个东西叫做尺规作图吧，诶都会学过尺规作图吧，这都学过吧？而且你们初中应当都学过三角形全等的证明吧，这个都应当学过吧？这个假如都没学过的话那我觉得这个日子就很难受了。来，三角形全等有哪些证明的方法？告知我，三角形，一般的两个三角形全等有哪些证明的方法？什么？有SSS（板书），还有吗？SAS，还有？ASA，还有呢？（学生答HL）指一般三角形，不谈直角三角形！还有什么呀？AAS。非直角三角形，一般的三角形。一般会有这些基本的判定方法，是不是应当这样的？其实你会发觉从尺规作图的角度来说，我知道了三边，是不是就意味着这个三角形已经被确定下来了，是不是意味着这个三角形被唯一确定下来了？反过来你假如用解三角形的观点来看，这相当于告知我们什么？假如你已经知道了三个边，另外三个不知道的量叫作三个角，是不是应当这样的？相当于告知我们，假如知道了三个边，那么三个角是不是应当已经被我们知道了，是不是应当这样的？因为它被唯一确定了，对不对？那么其他的是不是也一样？也就是说我们须要想到，假如我们须要解一个三角形，有的时候我们不肯定须要知道里面六个全部的量，而只须要知道其中的若干个量，而且我们认为这个若干差不多是多少？估一下，差不多应当知道几个量，感觉一下我们可能，一般说我们知道三个量，差不多是不是应当就能求出来，是不是应当这样的？好，那么我们就来看，那为什么我们知道三个量就能求出来呢？为什么我知道三个边，反而能求出三个角呢？为什么我知道两个角一个边就能求出另外的求出另外一个角很简单，因为我们知道有一个三个角之间的关系，叫做什么（板书），是不是应当这样的？那么角和边之间是不是应当有某种关系可以联系在一起？因为你三个角可以通过这个方式来，是不是应当这样的？边的话不行，直角三角形有边之间的关系，直角三角形边之间的关系是，是不是应当这样的？但是我们肯定要能理解到，在三角形当中肯定存在某些关系，它是沟通角和边之间的东西的，是不是应当这样的？我可以从角来求边，可以从边来求角，这就是我们今日要讲的正余弦定理。换言之，正弦定理和余弦定理它们的本质上的作用是沟通边和角的关系。（板书正弦定理 余弦定理 角 边）它的本质上的作用是用来沟通角和边之间的关系，使得我们可以从角来求边，可以从边来求角。这是我们这个定理的意义之所在。好，那么我们下面首先介绍正弦定理。（擦掉板书）正弦定理的文字表达的形式应当叫做一个三角形当中，留意啊，我希望你们能够通过听文字表述脑子当中能够得到它是什么意思。在一个三角形当中，每一条边和其对角的正弦成正比。其实这是正弦定理的文字表述，每一条边和其对角的正弦成正比。假如我们把它写出来，每一条边就是a（板书），a所对应的角的正弦是多少？它所对的角的。要等于什么呀？b比上什么呀？。等于c比上。这个比例呢，是多少呢，这个比例等于2R。R是这个三角形外接圆的半径。正弦定理的给出叫作每一条边和其对角的正弦之比为三角形的外接圆的直径。好，我们随意来，对这个定理呢，做一个简要的证明。这个证明呢，我不希望大家把它。这是个圆啊（板书作图），这是圆心O，是不是丑了点？唉，无所谓了，好吧。假设呢这是一个。我们对这个状况呢做一个简要的证明，我们要证明a比上就应当等于2R，b比上也等于2R，c比上也等于2R，是不是应当这样的？好，那么我们须要借助于一般的，我们之前所学习的我们一起先学习三角函数在三角形当中的运用，在初中阶段都是以谁为基本量的？是不是都是以直角三角形为基础的？好，那么在这个图形当中，怎样找出直径，怎样找出直角三角形？来，想一想，在一个三角形，在一个圆当中，直径和直角之间有没有关系？直径所对的圆周角应当是一个直角，是不是应当这样的？所以说你们肯定要去想，我须要找直角三角形，须要找直径的时候，我们呢往往灵感就来了。（板书作图）把这个点呢叫作A，那么这个角就应当是个什么角？这个角应当是直角。而且依据，诶，这个角A和这个角A应当是怎么样的？是不是应当是相等的，是不是应当这样的？这个边应当是a，这个边应当是2R，是不是应当这样的？我们立刻就可以得到，在这个直角三角形当中，a比上2R应当等于什么呀？（板书）应当等于，就应当等于什么呀？。是不是一个很简洁的证明？应当等于，是不是就等于，是这么回事儿吧？好，从这个东西呢我们就可以得到，a比上应当是等于2R。但是有同学说了，不服气啊，你这是锐角三角形啊，我要是个钝角三角形怎么办？（板书作图）好设A在这儿，怎么办？啊，同样的这么一个处理。这个是A，诶，你不用管啊，这虽然是一个钝角，这个角和它之间的关系应当是什么？这个角和这个角的关系应当是什么呀？互补，是不是应当是这样的？互补，这个角的正弦和这个角的正弦相等不相等？仍旧相等，所以说是不是还是一回事儿，对不对？所以说不管你是锐角三角形还是钝角三角形，我们的正弦定理都可以在这个地方获得运用。OK，正弦定理的基本证明，好。（擦掉板书）在这个定理之下，那么我们应当很简单获得三角形的基本的一个形式啊，我们把它写下来（板书正弦定理形式）。换言之，在这个过程当中，我们就立刻能够得到类似于这样的一个关系式。那么我们就可以想到了，假如一个三角形当中，我已经知道了这个角（），我又知道了这个角（），我知道了这条边（b），你现在能不能把这条边（c）算出来？啊这是不是就是这里面最简洁的应用，是不是应当这样的？我知道了这个角知道了这个角知道了这条边，你是不是应当可以把这条边算出来？好，那么知道了这两个角，你是不是还可以把这个角（）算出来？诶，是不是应当是这样的？然后再知道了这个角，是不是你又可以把这条边算出来，是不是应当这样的？是这么回事儿吧？其实这个解决的是我们三角形当中的哪个问题？诶，其实解决的是我们哪个问题？全等三角形刚才那几个问题当中的哪个？其实是什么呀？AAS，是不是应当解决的是这个问题。诶，是不是解决的是AAS的问题，对吧？哦，且在AAS当中，有两个角（B C），然后呢这个角（A）是不是可以求出来了？然后呢，有这个角（B）和这个边（b），有这个角（C），这个边（c）是不是可以求出来？相应的这个边（a）是不是也可以被求出来？是不是应当是这么一回事儿？好，这种类型的解三角形应当为我们所熟知。OK，我们把讲义翻开。我们来看一下讲义上的例一的这样的三道小题，这三道小题都是用这个正弦定理做一个最基本的了解。三道小题，一共给大家三分钟的时间。每道题一分钟，我觉得应当是足够的。以后做这种题，都限制在30秒以内。例1 依据正弦定理求出下列的边长（1）在ABC中，已知， 求a（2）在ABC中，已知，求b（3）在ABC中，已知，求c这是正弦定理的最基本的运用，下面我们来看看正弦定理所引导出来的一些最基本的形式。正弦定理被诱导出来的第一个形式叫作三角形当中大边对大角。诶你们初中都觉得，这个东西学过。为啥呢？为啥初中学过大边就对大角呢？（板书作图）为什么我说这个角C比角B大，为什么这个边c就比边b要大呢？（学生答画圆）什么？怎么画圆，说说看。有人能给我一个基本的解答么？能不能告知我，为什么会出现大边对大角，大角对大边这样的一个局面呢？这是正弦定理的第一个很重要的就是能够藏在你们内心的很重要的事情。好啦，初中呢其实想说明这个也是可以说明的，只不过有些东西呢你可能说不清晰。啊真的是有些东西说不清晰。好，那么我们用正弦定理的这个方式呢，我们来对这个呢，给出一个最简洁的。好，我们假设是个锐角三角形。留意啊，既然要用到角之间的比较和边之间的比较，请告知我，它基本上肯定会用到什么，能用到什么学问点？（学生答函数）肯定会用到函数的什么？函数的单调性的运用，是不是应当这样的？你们以后肯定要有这个意识，一旦遇到题目当中的不等关系，量之间的不等关系，函数的单调性肯定要在你们脑子当中能够出现。那么sin这个函数的单调性，假如它是一个锐角，这个函数单调性是怎么出现的呢？（板书作正弦函数图像）在0到上，因为三角形的一个角呃，应当是开区间，0到 上它的单调性是怎样的，0到的时候单调增，到上单调减，是不是应当这么一回事儿？是这么一回事儿吧？好，首先因此，这道题目我们自然的会把角分成锐角三角形和钝角三角形两种。第一，我们来看看两个锐角。两个锐角相比就特别简洁了，既然a比上等于b比上（板书），假如角A大于角B说明什么？诶假如角A大于角B说明什么呀？是不是说明大于，是不是应当这样的？是不是大于，是不是说明边a比边b要大，是不是应当这样的？这个没问题吧，两个锐角没问题吧？那假如是钝角呢，那假如是钝角呢，假如是钝角呢？钝角，假设一个三角形ABC，它是个钝角三角形（板书作图），你如何来处理这个边a肯定是最长边？你觉得这明显是肯定的，是不是应当这样的？诶但是不能觉得，日子得渐渐过，你不能觉得这就觉得了。你怎么来说明这个呢，这个时候你会发觉，这没有单调性啊，这怎么办呢？啊？（学生答补角）取补角，OK。这个时候我们重新来关注这个式子（）。既然角A是一个钝角，那么我们知道-A是不是就是一个锐角了，是不是应当这样的？那么和B谁大呢？和B谁大？-A就是什么呀，它就是B+C是不是应当这样的？所以-A是不是仍旧是大于B的？也就是我们可以得到什么呀？ 是不是仍旧是大于的，是不是应当是这样的？也就是仍旧是怎么样？大于的。大于，当然边a仍旧是大于边b的，是不是这么一回事儿？这个没问题吧？诶，是不是应当是这么一个处理？好，因此，我们同样的可以获得这样的一个关系。一样的可以获得，在钝角三角形当中较大的那个边仍旧对应的是较大的那个角。那么，为什么要处理大边对大角的关系呢？（擦掉板书）下面，我们的一系列的解三角形的小问题当中，我们就立刻能发觉这样的一些东西。好，我们从刚才的那个问题起先谈起，刚才我们说过AAS是可以被随意解决的，是不是应当这样的？AAS的问题是不是可以被随意解决。那么相应的ASA也可以被随意解决。为什么ASA可以随意解决呢？因为ASA的话相应的，你知道两个角是不是就知道三个角了，是不是应当这样的？知道三个角和一个边，其他的两条边是不是都应当可以顺势算出来？那么，假如我现在处理的是这样的一个状况。（板书作图）假如我知道的不是两个角，我知道的是两条边。比如说，我知道的是c这条边，我知道了b这条边，我又知道了B这个角，我能不能求出C这个角呢？我能不能求出C这个角呢，能不能求出来？（学生答能）确定？为什么，为什么能求出来？因为我们知道b比上应当等于什么呀？c比上。但是留意，你求出来的是不是C这个角？你求出来的是什么？你求出来的是。请留意，你求出来的不是C这个角，你求出来的是。这个地方其实在三角形当中是一个很恶心的东西，因为对于角而言，一个角的正弦值能不能对应的是唯一的角，在三角形当中？不肯定对应的是唯一的角。它有可能对应的是一个锐角，有可能对应的是一个钝角，是不是应当这样的？这也就是初中当中为什么这个定理SSA不能用来证明的缘由。来想想看，初中的时候为什么SSA不能用来证明？（板书作图）画的一个基本的图形是应当是这么一个图形吧？这条边和这条边相等，是不是应当这样的？这条边是公共边，是不是应当这样的？这个角是公共角，是不是应当这样的？但是这个三角形和这个三角形是不是就不全等？好，现在用正弦定理的学问，你能不能告知我为什么会出现这种状况？因为你由这条边，这条边和这个角，你能求出这个角的正弦，是不是应当这样的？当这是一个等腰三角形的时候，这个角的正弦和这个角的正弦是怎么样？是相等的，是不是应当这样的？是不是两个角的正弦其实是相等的？既然两个角的正弦是相等的，你能不能断定这个角究竟是大的还是小的？这个时候你是不是就说不清晰。诶，能理解这么回事儿吧？这个时候你发觉你就根本说不清晰。好，那么也就意味着当我们知道两条边和一个角的时候，有可能会发生我们所未知的状况，有可能能发生我们所未知的状况。能理解我这句话的意思吗？好，比如说，那么我们比如说来解这个三角形，这个三角形叫作什么呢？叫作啊知道两条边啊，（板书）a这条边等于6，然后呢，A等于多少呢A呢等于吧，等于吧。然后呢，这样是不是太恶心了点，我也没算过啊。b等于多少呢a这条边不等于6吧，等于4吧等于4吧。b这条边呢等于6，然后呢，你求角B，求B等于多少。这个时候你能不能确定求出来，我们来算一算。这个时候呢假如一般求角B我们应当怎么求，这个时候呢求角B我们应当怎么求？应当利用正弦定理去做是不是应当这样的？我们得到等于多少，啊别到时候算出来没有解就完了。等于多少，来来来抓紧给我算一下，应当等于多少？别到时候算出来没有解我就虚了。（板书）， 看来这个不行，这个三角形是不存在的。大家有没有发觉，知道两条边和一个角的时候，这个三角形不肯定能解出来。那么有没有简洁一点的呢？举个例子，我们把这里改为b=3（板书b=3），那么这个时候 （板书），B有两个解，一个锐角一个钝角，对吗？大家再细致想想，应当有几个解？（有学生答一解、有学生答两解）我听到有人说是一个解，有人说是两个解，请留意，当你求出这个角的正弦值是的时候，肯定要看一下其他的条件，看这里，边a比边b要大，这其实意味着A肯定比B大，所以说在这种状况之下，你求出之后B可不行能是钝角？B不行能是钝角，所以这个时候只有一解，是不是？所以说在三角形中，假如知道两边和其中一个边的对角，那么我们可以引导出若干种不同的状况，有的时候你会发觉它可能是无解的，有的时候你发觉它只有一解，而有的时候你可能发觉它有两解，这是运用正弦定理最大的麻烦之处，在于你有可能会解出类似于这样的状况。OK，我先写一系列的条件，大家来看一看这些东西究竟有几解，你们先自己感觉一下可能会有几个解，（板书 = 1 * GB3 在ABC中，已知，； = 2 * GB3 在ABC中，已知，； = 3 * GB3 在ABC中，已知，； = 4 * GB3 在ABC中，已知，。）分别告知我这里面的三角形解出来是一解、两解还是无解。（3分钟时间后）我们来看怎样快速的视察出来，第一个确定无解，不用算就知道了，a这个边比b这个边短，A都是钝角了，B还能大到哪儿去？我们刚才说了大角对大边，大边对大角，b这条边只要比a这条边长，就意味着B角肯定比A角大，A已经是钝角了，B不行能再是钝角，所以第一个是无解。其次个呢？其实一看就知道有一个解，边b比边a小，所以通过正弦定理解出，B也只能取锐角，是不是？算出（板书） 。来看第三个，第三个光看是很难看出来的，因为你看啊，边b比边a长，所以B比A大，我们求出，是不是只有一解，假如算出来是小于1的数，那就会有两解，所以说这里的B只能是 。最终一题，边b比边a大一点，通过正弦定理可以求出，而且A是一个锐角，B可能是锐角也可能是钝角，所以最终一题有两解。好，综上所述，我们来看一下，在这种状况下假如要去推断有两解还是一解，肯定要留意，首先它有一个基调，这个基调就是看边a与边b哪个长，从而得到哪个角比较大，假如大的那个角是锐角，那么确定只有一解了，假如小的那个角是钝角，那么就无解，所以只有小的那个角是锐角，然后你算出来大的那个角的正弦才有可能会出现两解，这就是为什么初中SSA真的不能算，SSA你不知道这个三角形是什么样的，其他的东西是可以唯一确定的，唯有你知道两个边和其中一边的对角这个状况的难以确定的。好，大家把讲义上的例2和后面的易错门诊来速度看一下，已经做完的同学来思索这样一个小小的问题，（边板书边读题）题目是：在ABC中，有1=2=3=4，求证ABC三边成等比数列。假如讲义上的题目做完的同学可以来看一下白板上的这个题目。这里须要插入一个概念：等比数列，反正我们寒假班也要讲的，等比数列的意思很简洁，两个边的比等于另外两个边的比。这道题是2022年底北京高校保送生考试当中的其次题。（7分钟后）再给大家半分钟时间吧，好，先看一下讲义上的题目，题目： = 1 * GB3 在ABC中，已知， 则=_；在ABC中，已知， 则=_；在ABC中，已知， 则=_；已知满意，的ABC 有两解，则的取值范围_。）第一道题B等于多少，（学生答300或者1500）有同学说是300或者1500，大家想想，A都已经450了，加1500就超过1800了，边b比边a短，所以B比A小，而1500又比A大，所以只有一个解。好，看其次题，B等于多少，600或者1200，因为明显边b比边a长，这个时候应当有两解。第三个题应当是 ，没问题吧？第四个题，（学生小声说不会做）有同学说不会做？我们来看看，答案是2到22题目告知我们c=x，b=2，B=45，而且这个三角形要有两解，所以x>2这个没问题吧，但是你要留意啊，由正弦定理能解 （板书），大家留意啊，要有两解的话，能不能大于或等于1，明显不能，所以（板书），因为你只有解出才可能有两解，是不是？假如解出来，那正好900，没解，所以，这样可以解出（板书），所以x的范围是。后面的易错门诊是300或者写 ，这个时候你要留意一下，因为A是小于B的。最终我们来看一看白板上的题目，这道题可以用纯几何的方法做，但是这道题有点儿小的穿越，这个穿越就在于我提到了一个大家在两节课之后才会用到的概念：等比数列。题目要我们证明三角形的三边成等比数列，先看一下等差数列，等差数列大家知道什么意思吧？就是，我们假设a,b,c成等比数列，就可以得到这个式子（板书），这个能明白吧，这个就是等比数列。它要求证这三条边成等比数列，但是究竟是a,b,c成等比数列还是b,a,c成等比数列呢？这个我不知道，我只知道它让我们求证三角形的三条边成等比数列，给大家两分钟的时间来想一想，这个题目想的快两分钟就能想出来，想的慢那就没边了。（两分钟后）好，我们来说一说这个题，这个题目呢的确让大家做起来会略微苦痛一点儿，苦痛的主要缘由是作为一道平面几何题目你会发觉它毫无头绪，你也不知道该从什么角度来证明这三边，但是留意，只要三条边成比例关系，边和边之间的比例关系肯定是和正弦定理脱不了关系，你想啊，正弦定理天生就是，所以 ，所以说涉及到边与边的比例关系的时候，往往在正弦定理的层面上去处理是特别正常的，好，我们重新来视察一下这个三角形，大家来看啊，先不要在下面算，这是1，这是2，这是3，这是4，这个图中有几个三角形啊？这个图中一共有四个三角形，我信任大家都能数出来，OK，那我们来看看，这道题你要证明三边成比例关系确定不能只用这个大三角形，这个能理解吧，确定不能只用大三角形，只用大三角形你得不到三边的关系，是不是？所以确定要用到里面的小三角形，用到里面的小三角形，当你考虑到这条边的时候（边AC），运用正弦定理你会考虑到哪个角，你会考虑这个角（APC），来告知我这个角是多少？这个角其实是，因为，是不是？那么，因为，是不是？那同理，为什么你会写出，你要留意，-A的正弦和A的正弦是相等的，那么下面这个题目的解决方案就有了。设，在中，依据正弦定理我们有（板书），在中，我们同样可以得到 （板书），从而可以得到（板书） 是不是？我们改一下可以得到 （板书），而在ABC中，由正弦定理可以知道 （板书），所以 ，最终就可以得到 ，大家明白了吗？有问题吗？这就是正弦定理的运用，在这个题目中，正弦定理的运用看起来写出来没几行，但事实上能够想到这里来的人不会那么多，好，这是这么一道题，在这一道题目当中，我们运用了这么一个形式（板书） ，其实呢在许多时候，假如正弦之间是齐次关系或者边之间是齐次关系，我们的正弦定理还有一个最强的作用，用来做齐次替换，不过呢限于时间关系，我们寒假班就不具体去讲齐次变换了。齐次变换比如说当你遇到这样的式子：在三角形中出现（板书）这样的式子，我们就可以把它写成（板书），为什么可以这样写呢？大家来看，然后把2R约掉就可以得到这个式子，这种形式我们把它称作齐次替换，不过这个齐次替换的技巧它讲起来较为困难，这个我们留到春季的时候再去说。第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页