人教版数学高二必修五不等式练习中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

不等式（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(同向可加)(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 一元二次方程 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx 或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C 0 时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab 1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的变形：有:a+bab2；ab22 ba,当且仅当 a=b 时取等号.3如果 a,bR+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值P2;如果 a,bR+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值42S.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc 时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba 则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小 3.比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的4.若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .（二）解不等式 题型三：解不等式 5.解不等式 6.解不等式2(1)(2)0 xx。7.解不等式25123xxx 8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_,b=_ 9.关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为 10.解关于 x 的不等式2(1)10axax 题型四：恒成立问题 11.关于 x 的不等式 a x+a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的12.若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.13.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab 题型五：求最值 14.（直接用）求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 15.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx 的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。16.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx 的值域。则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的 注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。17.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18.（条件不等式）（1）若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .（2）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 题型七：均值定理实际应用问题：22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划 题型八：目标函数求最值 23.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk 3的最大值 24.已知实系数一元二次方程2(1)10 xa xab 的两个实根为1x、2x,并且102x,22x 则1ba 的取值范围是 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的 则222xyx的最小值是 25.已 知,x y满 足 约 束 条 件：26.已知变量230,330.10 xyx yxyy 满足约束条件若目标函数zaxy（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。27.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy 的最小值为1，则实数m等于（）题型九：实际问题 28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？03440 xxyy则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的复习不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习-不等式 1.；2.pq；3.当01x 或43x 时，1+3logx2log 2x；当413x 时，1+3logx2log 2x；当43x 时，1+3logx2log 2x 4.1 ba 0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。5.6.|1x x 或2x ；7.(1,1)(2,3)）；8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_-6_,b=_6_ 9.),2()1,(）.10.解：当 a0 时，不等式的解集为1x x；2 分 当 a0 时，a(xa1)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(xa1)(x1)0 不等式的解集为11x xxa或；.6 分 当0a1时，1a1，不等式的解集为11xxa；.8分 当 a1时，a11，不等式的解集为11xxa；.10 分 当 a1时，不等式的解为 .12 分 11._0 x4_ 12.12m ）13.,16m 14.解：（1）y3x 212x 2 23x 212x 2 6 值域为6，+）（2）当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x =2 值域为（，22，+）15.（1）解5,5404xx ，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的（2）当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。16.解析一：当,即时,421)591yxx （当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。17.解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18.（条件不等式）（1）解：ba33 和都是正数，ba33 632332 baba 当ba33 时等号成立，由2 ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，ba33 的最小值是 6（2）解：190,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy（3）解：x 1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即 x 1y 2 2 x 12 y 22 34 2 （4）解：法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的 ab18 y 118 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab 令 u ab 则 u22 2 u300，5 2 u3 2 ab 32，ab18，y118 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 证明：a、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc 。当且仅当13abc 时取等号。22.解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米）23.水池外圈周壁长：（米）24.中间隔墙长：（米）25.池底面积：200（米2）26.目标函数：27.28.4 29.)21,3(30.1 31.),21(。32.5 33.解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元 34.则 x，y 必须满足，35.目标函数为 z15x10y 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的36.37.在可行区內的顶点附近zf(x，y)的最大值，38.所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润110 元。39.则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的绝对值不等式的解法：方法 1：利用绝对值性质：cbaxccbax|cbaxcbaxcbax或|一般的：)()()()(|)(|xgxfxgxgxf)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxf或 特别地：xxfxf)(|)(|0)()(|)(|xfxfxf axfbbxfaabbxfa)()()0(|)(|或 练习 1：不等式2|2xx的解集为_ 2、解不等式xx2|3|2 3、不等式5|2|1x的解集是 4、不等式)(02|2Rxxx的解集是_ 方法 2：利用绝对值定义：)0(,)0(,|xxxxx将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）cbaxbaxacbaxbaxcbax)(00|或上面 5 题都可用此法 方法 3：零点分区间法，（含有多个绝对值的不等式时可用此法）练习 1、解不等式3|1|1|xx 0212xx 方法 4：平方法：若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。（切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。）22)()0(|cbaxccbax 0)()()()()()(|)(|)(|22xgxfxgxfxgxfxgxf 练习 1、不等式1|11|xx的解集为_ 2、不等式|2|xx的解集是 绝对值不等式性质定理的运用：|bababa，特别是用此定理求函数的最值。练习 1、不等式aaxx3|1|3|2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_ 2、若不等式axx|3|2|，对于Rx均成立，那么实数a的取值范围是_ 含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0|abab|abab；ab、异号或有0|abab|abab.如设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa 则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的练习：1、已知31,11yxyx，求yx3的取值范围。2、已知cba，且0cba，求ac的取值范围。3、正数yx,满足12 yx，求yx11的最小值。4、设实数yx,满足1)1(22yx，当0cyx时，求c的取值范围。5、已知函数2()(0)f xaxbx a满足1(1)2f，2(1)5f，求(3)f 取值范围。6、已知：a、b都是正数，且1ab，1aa，1bb，求 的最小值 7、已知集合045|2xxxA与022|2aaxxxB，若AB，求a的取值范围。8、若关于x的方程0124aaxx有实数解，求实数a的取值范围。则同向同正可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集设相应的一元二次方程的两集或的解集分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母不若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上三线性规划用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域虚线表示区域不包括边界直线二元一次不等式表示哪个平面区域的