第一节平面向量基本概念中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

学习好资料 欢迎下载 第四章 平面向量 第一节 平面向量的基本概念及线性运算 一、向量的有关概念 1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 3单位向量：长度等于 1 个单位的向量 4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行 5相等向量：长度相等且方向相同的向量 6相反向量：长度相等且方向相反的向量 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差 三角形法则 aba(b)数乘 求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a 0.(a)a；()aa a；(ab)a b 向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理 向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba.巧用系数判共线：OA OB OC(，R)，若 A，B，C 三点共线，则 1；反之，也成立 学习好资料 欢迎下载 1化简OPQPMSQM的结果为()A.OM B.SM C.PS D.OS 2下列给出的命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量有且仅有一个 Ca 与 b 是共线向量，b 与 c 是平行向量，则 a 与 c 是方向相同的向量 D相等的向量必是共线向量 3设 a，b 为不共线向量，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，则下列关系式中正确的是()A.ADBC B.AD2BC C.ADBC D.AD2BC 4已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 的值为()A1 B1 C.13 D13 5(2012 四川)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件是()Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b|6(2013 四川)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABAD AO，则 _.考向一 071 平面向量的有关概念 给出下列四个命题：若|a|b|，则 ab 或 ab；若ABDC，则四边形 ABCD 为平行四边形；若 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab；，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4 规律方法 1 1.1 易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；2 充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.1 相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.2 共线向量 平行向量 和相等向量均与向量的起点无关.3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.对点训练 给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4 考向二 072 平面向量的线性运算(1)在ABC 中，若 D 是 AB 边上一点，且AD2DB，CD13CA CB，则 ()方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 A.23 B.13 C13 D23(2)若 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OAOBOC0，那么()A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD 规律方法 2 1.解答本例 1 的关键是利用向量的加法与减法把CD 用CA、CB 表示出来.解答本例 2 的关键是OB OC 2OD.2.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.对点训练 (1)如图所示，向量OAa，OBb，OCc，A、B、C 在一条直线上，若AC3CB，则()Ac12a32b Bc32a12b Cca2b Dca2b(2)若|AB|AC|ABAC|2，则|ABAC|_.考向三 073 共线向量定理的应用 设两个非零向量 e1和 e2不共线(1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求证：A、C、D 三点共线(2)如果ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1ke2，且 A、C、F 三点共线，求 k 的值 规律方法 3 1.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对点训练(1)已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 c 与 d 反向 Ck1 且 c 与 d 同向 Dk1 且 c 与 d 反向(2)(2014 洛阳模拟)对于非零向量 a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 易错易误之八 忽视零向量的特殊性致误 1 个示范例 1 个防错练 (2014 荆州模拟)下列命题正确的是()A向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使 ba B在ABC 中，ABBCCA0 C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立 D向量 a、b 不共线，则向量 ab 与向量 ab 必不共线【防范措施】(1)共线向量定理中，ba 要求 a0，否则 值可能不存在(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数(3)应熟练掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等号成立的条件 下列说法不正确的有_ 若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反；若 a 0，则 0；相反向量必不相等；若 ae1e2，b2e1，R，且 0，则 ab 的充要条件是 e20.方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 第四章 平面向量 第一节 平面向量的基本概念及线性运算 1 D 2 D 3 B 4 D 5 C 6 2 D 对点训练 C (1)A(2)A 对点训练 (1)A(2)23 【尝试解答】(1)ABe1e2，BC3e12e2，ACABBC4e1e2，又CD8e12e2，所以CD2AC，AC与CD共线，又 AC与CD有公共点 C，A、C、D 三点共线(2)ABe1e2，BC2e13e2，ACABBC3e12e2.A、C、F 三点共线，AC AF，从而存在实数 ，使得AC AF.3e12e23e1ke2，又 e1，e2是不共线的非零向量，33，2k，因此 k2.所以实数 k的值为 2.对点训练 (1)D(2)A (2014 荆州模拟)D.【防范措施】方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 第四章 平面向量 第一节 平面向量的基本概念及线性运算 一、向量的有关概念 1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 3单位向量：长度等于 1 个单位的向量 4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行 5相等向量：长度相等且方向相同的向量 6相反向量：长度相等且方向相反的向量 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差 三角形法则 aba(b)数乘 求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a 0.(a)a；()aa a；(ab)a b 向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理 向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba.巧用系数判共线 OA OB OC(，R)，若 A，B，C 三点共线，则 1；反之，也成立 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 1化简OPQPMSQM的结果为()A.OM B.SM C.PS D.OS【解析】OPQPMSQM(OPPQ)(QMMS)OQQSOS.【答案】D 2下列给出的命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量有且仅有一个 Ca 与 b 是共线向量，b 与 c 是平行向量，则 a 与 c 是方向相同的向量 D相等的向量必是共线向量【解析】零向量方向任意，而不是没有方向，故 A 错；平面内单位向量有无数个，故 B 错；若b0，b 与 a、c 都平行，但 a、c 不一定共线，故 C 错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故 D 正确【答案】D 3设 a，b 为不共线向量，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，则下列关系式中正确的是()A.ADBC B.AD2BC C.ADBC D.AD2BC【解析】ADABBCCD(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2BC.【答案】B 4已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 的值为()A1 B1 C.13 D13【解析】由题意知 ab k(b3a)kb3ka，3k1，k，解得 k13，13.【答案】D 5(2012 四川高考)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件是()Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b|【解析】a|a|表示与 a 同向的单位向量，b|b|表示与 b 同向的单位向量，只要 a 与 b 同向，就有a|a|b|b|，观察选择项易知 C 满足题意【答案】C 6(2013 四川高考)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABAD AO，则 _.【解析】由向量加法的平行四边形法则，得ABADAC.又 O 是 AC 的中点，AC2AO，AC2AO，ABAD2AO.又ABAD AO，2.【答案】2 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 考向一 071 平面向量的有关概念 给出下列四个命题：若|a|b|，则 ab 或 ab；若ABDC，则四边形 ABCD 为平行四边形；若 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab；，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4【思路点拨】以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确【尝试解答】不正确|a|b|但 a、b 的方向不确定，故 a，b 不一定相等；不正确因为ABDC，A、B、C、D 可能在同一直线上，所以 ABCD 不一定是四边形 不正确两向量不能比较大小 不正确当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 a b，但 a 与 b 不一定共线【答案】D 规律方法 1 1.1 易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；2 充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.1 相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.2 共线向量 平行向量 和相等向量均与向量的起点无关.3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.对点训练 给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点 正确根据向量相等的定义知 不正确若 b0 时，b 与 a、c 都平行，但 a、c 不一定平行 不正确ab 的充要条件是|a|b|且 a，b 同向【答案】C 考向二 072 平面向量的线性运算(1)在ABC 中，若 D 是 AB 边上一点，且AD2DB，CD13CA CB，则 ()A.23 B.13 C13 D23 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载(2)若 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OAOBOC0，那么()A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD【思路点拨】(1)D 是 AB 边上的三等分点，把CD用CA、CB表示；(2)由 D 为 BC 边中点可得OBOC2OD，代入已知条件即可求解【尝试解答】(1)CDCAADCA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，所以 23，故选 A.(2)因为 D 为 BC 边中点，OBOC2OD，又 2OAOBOC0，2OA2OD0，即AOOD，故选 A.【答案】(1)A(2)A 规律方法 2 1.解答本例 1 的关键是利用向量的加法与减法把CD 用CA、CB 表示出来.解答本例 2 的关键是OB OC 2OD.2.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.对点训练 图 411(1)如图 411 所示，向量OAa，OBb，OCc，A、B、C 在一条直线上，若AC3CB，则()Ac12a32b Bc32a12b Cca2b Dca2b(2)若|AB|AC|ABAC|2，则|ABAC|_.【解析】(1)OCOAACOA3BCOA3(OCOB)3OCOA3OB，2OCOA3OB，cOC12a32b.(2)|AB|AC|ABAC|CB|2，ABC 是边长为 2 的正三角形，|ABAC|为三角形高的 2 倍，所以|ABAC|2 3.【答案】(1)A(2)23 考向三 073 共线向量定理的应用 设两个非零向量 e1和 e2不共线(1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求证：A、C、D 三点共线(2)如果ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1ke2，且 A、C、F 三点共线，求 k 的值【思路点拨】(1)A、C、D 三点共线存在实数 使AC CD.方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载(2)A、C、F 三点共线存在实数 ，使AC AF.【尝试解答】(1)ABe1e2，BC3e12e2，ACABBC4e1e2，又CD8e12e2，所以CD2AC，AC与CD共线，又 AC与CD有公共点 C，A、C、D 三点共线(2)ABe1e2，BC2e13e2，ACABBC3e12e2.A、C、F 三点共线，AC AF，从而存在实数 ，使得AC AF.3e12e23e1ke2，又 e1，e2是不共线的非零向量，33，2k，因此 k2.所以实数 k的值为 2.规律方法 3 1.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对点训练(1)已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 c 与 d 反向 Ck1 且 c 与 d 同向 Dk1 且 c 与 d 反向(2)(2014 洛阳模拟)对于非零向量 a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】(1)c d，cd，即 kab(ab)a b，k，1，k 1，故选 D.(2)由 ab0 知道 a 与 b 互为相反向量，从而 a b，充分性成立由 a b 知 ab，1 时，ab0，必要性不成立【答案】(1)D(2)A 易错易误之八 忽视零向量的特殊性致误 1 个示范例 1 个防错练 (2014 荆州模拟)下列命题正确的是()A向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使 ba B在ABC 中，ABBCCA0 C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立 D向量 a、b 不共线，则向量 ab 与向量 ab 必不共线 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载【解析】A 不正确，当 ab0 时，有无数个实数 满足 ba.此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件 a0”而致误 B 不正确，在 ABC 中，ABBCCA0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0 是向量，其模为 0，而 0 是数量，没有方向 C 不正确，当 b0 时，不等式|a|a|a|显然成立 此处在求解时，常受代数不等式|a|b|ab|a|b|的影响，而忽略了向量中 0 的作用导致错误 D 正确向量a 与 b 不共线，a，b，ab 与 ab 均不为零向量 若 ab 与 ab 平行，则存在实数 ，使 ab(ab)，即(1)a(1)b，10，1 0，无解，故假设不成立，即 ab 与 ab 不平行，故选 D.【防范措施】(1)共线向量定理中，ba 要求 a0，否则 值可能不存在(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数(3)应熟练掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等号成立的条件 下列说法不正确的有_ 若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反；若 a 0，则 0；相反向量必不相等；若 ae1e2，b2e1，R，且 0，则 ab 的充要条件是 e20.【解析】不正确，如 a0.不正确，a 0，则 0 或 a0.不正确，00.不正确，当 e1 e2时该命题也成立【答案】方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有学习好资料 欢迎下载 方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度或模零向量长度为的向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的和的运算三角形法则交换律结合律平行四边形法则减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算三角形法则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时向量加减法运算的两个关键点加法的三角减向量三平面向量共线定理向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得巧用系数判共线三点共线则反之也成立学习好资料欢迎下载化简的结果为下列给出的命题正确的是零向量是唯一没有方向的向量平面内的单位向量有且仅有