人教版高中数学必修三统计随机抽样知识点复习.docx

人教版高中数学必修三第二章统计随机抽样-知识点复习 随机抽样学问点复习 一课标要求： 1能从现实生活或其他学科中提出具有肯定价值的统计问题； 2结合详细的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性； 3在参加解决统计问题的过程中，学会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法； 4能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 二命题走向 统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本讲的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。 猜测2023年高考对本讲的考察是： （1）以根本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式消失，以实际问题为背景，综合考察学生学习根底的学问、应用根底学问、解决实际问题的力量； （2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法。 三要点精讲 三种常用抽样方法： 1简洁随机抽样：设一个总体的个数为N。假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简洁随机抽样。实现简洁随机抽样，常用抽签法和随机数表法。 （1）抽签法 制签：先将总体中的全部个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在外形、大小一样的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进展匀称搅拌； 抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次； 成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。 抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，相宜采纳这种方法。 （2）随机数表法 编号：对总体进展编号，保证位数全都； 数数：当随机地选定开头读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次消失的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。 成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。 结论： 用简洁随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 1n；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为； NN 基于此，简洁随机抽样表达了抽样的客观性与公正性； 简洁随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进展抽取；它是一种等概率抽样。 2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个局部，然后根据预先定出的规章，从每一局部抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。 系统抽样的步骤可概括为： （1）将总体中的个体编号。采纳随机的方式将总体中的个体编号； 第1页 共5页 （2）将整个的编号进展分段。为将整个的编号进展分段，要确定分段的间隔k.当整数时，k?N是nNN；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N能被nnnN?整除，这时k?； n（3）确定起始的个体编号。在第1段用简洁随机抽样确定起始的个体边号l； （4）抽取样本。根据先确定的规章（常将l加上间隔k）抽取样本：l,l?k,l?2k,?,l?(n?1)k。 3分层抽样：当已知总体由差异明显的几局部组成时，常将总体分成几局部，然后根据各局部所占的比进展抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各局部叫做层。 结论： （1）分层抽样是等概率抽样，它也是公正的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于 n； N（2）分层抽样是建立在简洁随机抽样或系统抽样的根底上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它猎取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。 四典例解析 题型1：统计概念及简洁随机抽样 例1为调查参与运动会的1000名运发动的年龄状况，从中抽查了100名运发动的年龄，就这个问题来说，以下说法正确的选项是（ ） A1000名运发动是总体 B每个运发动是个体 C抽取的100名运发动是样本 D样本容量是100 解析：这个问题我们讨论的是运发动的年龄状况，因此应选D。 答案：D 点评：该题属于易错题，肯定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。 例2今用简洁随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问： 总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少? 个体a不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少? 在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少? 解析：（1） 111，（2），（3）。 333点评：由问题(1)的解答，出示简洁随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简 单随机抽样表达了抽样的客观性与公正性。 题型2：系统抽样 例3为了了解参与某种学问竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本。 解析：（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，1003 （2）利用简洁随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进展 点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等?3?，也就是每个个体不被剔除的概率?1003?相等?1000?50?所以在整个抽样过程中?.采纳系统抽样时每个个体被抽取的概率都是?， 10031000?第2页 共5页 每个个体被抽取的概率仍旧相等，都是 例4（2023年湖南理，15） 10005050?。 100310001003.对有n(n4)个元素的总体?1,2,?,n?进展抽样，先将总体分成两个子总体 ?1,2,?,m?和?m?1,m?2,?,n? (m是给定的正整数，且2mn-2),再从 每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用Pij表示元素i和j同时消失在样 本中的概率，则P1n= ; 全部Pij (1ijn?的和等于 . 【答案】 4 , 6 m(n?m)11Cm?C4(m?1)(n?m?1)4?1n?m?1【解析】P?;其次空可分: 1n22Cm?Cn?mm(m?1)(n?m)(n?m?1)m(n?m)2Cm当 i,j?1,2,?,m?时, P?1; ij?2Cm当 i,j?m?1,m?2,?,n?时, Pij?1; 当i?1,2,?,m?,j?m?1,m?2,?,n?时, Pij?m(n?m)?所以Pij?1?1?4?6. 点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采纳系统抽样。采纳系统抽样在每小组 内抽取时应按规章进展。 题型3：分层抽样 例5某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与了其中一组。在参与活动的职工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山组的职工占参与活动总人数的 4?4; m(n?m)1，且该组中，青年人占50，中年人占40，老年人4占10。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 （）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （）游泳组中，青年人、中年人、 老年人分别应抽取的人数。 解析：（）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有 x?40%?3xbx?10%?3xc?47.5%,?10%，解得b=50%,c=10%. 4x4x故a=100%50%10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40、 第3页 共5页 50、10。 （）游泳组中，抽取的青年人数为200?抽取的中年人数为200?3?40%?60（人）； 43?5075（人）； 43抽取的老年人数为200?1015（人）。 4点评：本小题主要考察分层抽样的概念和运算，以及运用统计学问解决实际问题的力量。 例6甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的状况，规划采纳分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A30人，30人，30人 B30人，45人，15人 C20人，30人，10人 D30人，50人，10人 解析：B； 点评：依据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。 题型4：综合问题 例7（1）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的状况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后效劳状况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采纳的抽样方法依次是 A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样法，简洁随机抽样法 C系统抽样法，分层抽样法 D简洁随机抽样法，分层抽样法 分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采纳系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采纳分层抽样；当总体中个体较少时，宜采纳随机抽样. 依据题意，第项调查应采纳分层抽样法、第项调查应采纳简洁随机抽样法.应选B. 答案：B （2）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参与某项调查，考虑选用简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简洁随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.假如抽得号码有以下四种状况： 7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； 5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的以下结论中，正确的选项是 （ ） A、都不能为系统抽样 B、都不能为分层抽样 C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样 解析：D。 点评：采纳什么样的抽样方法要依据讨论的总体中的个体状况来定。 第4页 共5页 五思维总结 常用的抽样方法及它们之间的联系和区分： 类别 简洁随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是一样的 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 相互联系 适用范围 总体中的个数比拟少 总体中的个数比拟多 总体由差异明显的几局部组成 系统抽样 将总体匀称分成几个在起始局部抽局部，根据事先确定样时采纳简洁的规章在各局部抽取 随机抽样 将总体分成几层，分层进展抽取 各层抽样时采纳简洁抽样或者一样抽样 分层抽样 不放回抽样和放回抽样：在抽样中，假如每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；假如每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。 第5页 共5页