基本不等式的错解剖析中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

学习好资料 欢迎下载 基本不等式的错解剖析 在应用不等式处理不等式问题时，同学们往往会忽视一些问题，导致解题错误。下面就结合实例对解决应用不等式的过程中常见的错误进行剖析。一、忽视正值“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数。例1 求函数12(0)yxxRxx且的最值。错解：1122 22 2yxxxx min2 2y 剖析：令1,3xy ，显然2 2y 不是最小值，关键是忽视了变量为正数的条件。正解：当0 x 时，则1122 22 2yxxxx 当0 x 时，则11(2)2(2)2 2()()yxxxx 2 2y 故在整个定义域上无最大值也无最小值。二、忽视定值“定”是指用均值不等式时和（或积）为定值，这时往往要用拆项、补项、系数平衡等变形方法。例2 已知0,0 xy，且45xy，求11xy的最小值。错解：0,0 xy 学习好资料 欢迎下载 111 12xyx y 当且仅当1145xyxy，即当1xy 时，等号成立。所以112xy，故所求的最小值为 2.剖析：忽视了“定值”而致误，而1 1x y不是定值，根本谈不上是最值问题，应通过配凑法使之为定值。正解：0,0 xy 111 11()(4)514149(5)(52)555xyxyxyyxy xxyxy 当且仅当445yxxyxy，即当55,36xy时，等号成立。所以1195xy，故所求的最小值为95。三、忽视等号成立的条件 利用均值不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件。例 3 求函数4sin(0)sin2yxxx 的最小值。错解：02x，则4sin0,0sinxx 错误下面就结合实例对解决应用不等式的过程中常见的错误进行剖析一忽视正值正是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数例求函数且的最值错解剖析令显然不是最小值关键是忽视了变量为正数的条件正解当时则当时则故平衡等变形方法例知求且的最小值错解学习好资料欢迎下载当且仅当即当时等号成立所以故所求的最小值为剖析忽视了定值而致误而不是定值根本谈不上是最值问题应通过配凑法使之为定值正解即当时等号成立当且仅当所以故所求错解则的最小值学习好资料欢迎下载剖析本题似乎无懈可击其实令则有由于即无实数解也就是等号取不到因而取不到最小值正解由令为减函数易证即所以当时学习好资料 欢迎下载 44sin2 sin4sinsinyxxxx min4y 剖析：本题似乎无懈可击，其实令4sinsinxx，则有2sin4x，由于sin1x，即无实数解，也就是等号取不到，因而取不到最小值 4.正解：由4sinsinyxx，令sin(0,1tx，易证4()(01)yf tttt 为减函数 min4(1)151yf 。所以当sin1x，即2x时，min5y。错误下面就结合实例对解决应用不等式的过程中常见的错误进行剖析一忽视正值正是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数例求函数且的最值错解剖析令显然不是最小值关键是忽视了变量为正数的条件正解当时则当时则故平衡等变形方法例知求且的最小值错解学习好资料欢迎下载当且仅当即当时等号成立所以故所求的最小值为剖析忽视了定值而致误而不是定值根本谈不上是最值问题应通过配凑法使之为定值正解即当时等号成立当且仅当所以故所求错解则的最小值学习好资料欢迎下载剖析本题似乎无懈可击其实令则有由于即无实数解也就是等号取不到因而取不到最小值正解由令为减函数易证即所以当时