解圆锥曲线知识点习题教师版中学教育高考_中学教育-高考.pdf

xy0ABCMD5FAPHBQFFPHy0 xA解圆锥曲线问题常用方法 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x上一点 P到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线 C:y2=4x上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）连 PF，当 A、P、F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时 AF 的方程为)1(13024xy 即 y=22(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22)，（注：另一交点为(2,21)，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41）过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4x得 x=41，Q(1,41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）PFPA 的最小值为 （2）PFPA2的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP 或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5 设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF 542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA 的延长线与椭圆的交点时,PFPA 取得最小值为4-5。（2）作出右准线l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，PHPFPHPF2,21即 PHPAPFPA 2 当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca 例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的xy0MABA1A2M1M2B1B2MDMC）。解：如图，MDMC，26MBMADBMBMAAC即8MBMA （*）点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析：由于 sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53即6ACAB （*）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10 a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为116922yx（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为 3的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0)则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx 由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=92020041944xxy，1149)14(4944202020200 xxxxy ,5192 450y当 4x02+1=3 即 220 x时，45)(min0y此时)45,22(M 法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM 距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移xyF1F20ABCD232MM，即23411MM，451MM，当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。M 到 x 轴的最短距离为45 例 6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D、设 f(m)=CDAB,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf )()(2DACBxxxx)(2CBXx 解：（1）椭圆1122mymx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm 12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（2）)1211(2121122)(mmmmf当 m=5时，9210)(minmf 当 m=2时，324)(maxmf 点评：此题因最终需求CBxx，而 BC 斜率已知为 1，故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C坐标代入作差，得0100kmymx，将 y0=x0+1，k=1 代入得01100mxmx，120mmx，可见122mmxxCB 当然，解本题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现CBxxmf)(是解此题的要点。【典型例题】距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移例 1：已知 P(a,b)是直线 x+2y-1=0上任一点，求 S=136422baba的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(ba设 Q(-2,3),则 S=|PQ|,它的最小值即 Q到此直线的距离 Smin5535|1322|点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为 t 消元后，它是一个一元二次函数）例 2：已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上一动点，求xy的最值。解：设 O（0，0），则xy表示直线 OP的斜率，由图可知，当直线 OP与圆相切时，xy取得最值，设最值为 k，则切线：y=kx,即 kx-y=0 圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心（3，2）到直线 kx-y=0的距离为 1得11|23|2kk,433k433,433maxminxyxy 例 3：直线 l：ax+y+2=0 平分双曲线191622yx的斜率为 1的弦，求 a的取值范围.分析：由题意，直线 l 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点 M与点 P的连线的斜率即-a的范围。解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且 AB的斜率为 1，AB的中点为 M(x0,y0)则：1916191622222121yxyx-得01916,09160022122212yxyyxx即 即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 C79,716,D79,716 191622yx 点 M的轨迹方程为 9x-16y=0(x7716)距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移kPD=167297160792,167297160792PDk 由图知，当动直线l 的斜率 k16729,169169,16729时，l 过斜率为 1的弦 AB的中点 M，而 k=-a a的取值范围为：16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。例 4：过 y2=x上一点 A（4，2）作倾斜角互补的两条直线 AB、AC交抛物线于 B、C两点。求证：直线 BC的斜率是定值。分析：（1）点 A为定点，点 B、C为动点，因直线 AB、AC的倾斜角互补，所以 kAB与 kAC相反，故可用“k 参数”法，设 AB的斜率为 k，写出直线 AB的方程，将 AB的方程与抛物线方程联立，因 A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B坐标，同理可得点 C坐标，再求 BC斜率。（2）因点 B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设 B（x1,y1）,C(x2,y2),因 x1=y12,x2=y22,即可设 B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑 kAB=-kAC得参数 y1,y2的关系。解法 1：设 AB的斜率为 k，则 AC的斜率为-k AB：y-2=k(x-4),与 y2=x联立得：y-2=k(y2-4),即 ky2-y-4k+2=0 y=2是此方程的一解，2yB=kkykkB21,24 xB=yB2=,44122kkk Bkkkkk21,44122 kAC=-k,以-k代替 k 代入 B点坐标得 Ckkkkk21,44122 kBC=414414412121222kkkkkkkkkk为定值 解法 2：设 B（y12,y1）,C(y22,y2)，则 kBC=122122121yyyyyykAB=2142,214222221121yyykyyyAB 由题意，kAB=-kAC,4,21212121yyyy则则：kBC=41为定值。点评：解法 1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因 k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出 BC的斜率为距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移定值；解法 2利用点 B，C在抛物线上设点，形成含两个参数 y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。例 5：在圆 x2+y2=4上，有一定点 A（2，0）和两动点 B，C（A，B，C按逆时针排列），当 B，C两点保持BAC=3时，求ABC 的重心的轨迹。分析：圆周角BAC=3可转化为圆心角BOC=32，选用“角参数”，令 B（2cos，2sin）则 C(2cos(+32),2sin(+32)则重心可用表示出来。解：连 OB，OC，BAC=3，BOC=32 设 B（2cos,2sin）(034),则 C(2cos(+32),2sin(+32)设重心 G（x，y），则：x=)32cos(2cos2231 y=)32sin(2sin2031 即：x=)3cos(1 32 )3cos(123x y=)3sin(32 )3sin(23y +)35,3(3 1)23()123(22yx。（x0)有公共点时 a的取值范围 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式0 可求得 a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点 P（用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。解 法 一：由 直 线 方 程3x-4y+10=0 得2543 xy代 入 椭 圆 方 程 得1)2543(1222xxa0421415)1691(22xxa 0，得0)1691(4214)415(22a解得3282a，又 a0,372a 解法二：设有公共点为 P，因公共点 P 在椭圆上，利用椭圆方程设 P（acos，sin）再代入直线方程得3acos-4sin+10=0 4sin-3acos=10。16910cos1693sin1694222aaaa 令 sin=16932aa，cos=16942a，则 sin(-)=169102a，yxBAC0距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移由1)sin(即 sin2(-)1得11691002a 9a284，a2328(a0)a3212 点评：解法 1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法 1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法 2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线 l：Ax+By+C=0 与椭圆12222byax有公共点,求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点 P，利用椭圆，设 P（acos，bsin）代入直线方程得 Aacos+Bbsin=-C。12222bBaAC时上式有解。C2A2a2+B2b2 因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。高中数学高考总复习圆锥曲线的综合问题习题及详解 一、选择题 1(2010聊城模考)已知双曲线x2a2y2b21的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为()A5x245y21 B.x25y241 C.y25x241 D5x254y21 答案 D解析 抛物线 y24x 焦点为(1,0)，双曲线中 c1，又 eca 5，a55，b2c2a211545，双曲线方程为x215y2451.2(2010山东郓城)已知对 kR，直线 ykx10与椭圆x25y2m1恒有公共点，则实数 m的取值范围是()A(0,1)B(0,5)C1,5)(5，)D1,5)答案 C解析 直线 ykx1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x25y2m1上或共内部即可，从而 m1.又因为椭圆x25y2m1中 m5，m1,5)(5，)点评 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位 3图中的椭圆 C1、C2与双曲线 C3、C4的离心率分别为 e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是()Ae1e2e3e4 Be2e1e3e4 Ce1e2e4e3 De2e1e4e2同理 C4的虚轴长C3的虚轴长，而实轴长相同 C4的焦距C3的焦距 e4e3综上可得：e2e1e30)，则将 x 3y4代入椭圆方程得，4(b21)y28 3b2yb412b20，椭圆与直线 x 3y40有且仅有一个公共点，(8 3b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为 2 b242 7，故选 C.5已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，若OA OB0，则椭圆的离心率 e等于()A.1 52 B.1 32 C.12 D.32 答案 A解析 如图，F2(c,0)把 xc代入椭圆x2a2y2a21得 A(c，b2a)由OA OB0结合图形分析得|OF2|AF2|，即 cb2ab2aca2c2ac(ca)2ca10e2e10e512.6(2010重庆南开中学)双曲线x2ny21(n1)的两焦点为 F1，F2，点 P在双曲线上，且满足：|PF1|PF2|2 n2，则PF1F2的面积是()A1 B.12 C2 D4 答案 A解析 由条件知|PF1|PF2|2 n|PF1|PF2|2 n2，|PF1|n2 n，|PF2|n2 n又|F1F2|2 n1，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，SPF1F212|PF1|PF2|12(n2 n)(n2 n)1.7在同一坐标系中方程 a2x2b2y21与 axby20(ab0)的曲线大致是()答案 D解析 方程 a2x2b2y21，即x21a2y21b21，因为1a20，n0)与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为()A.12 B.22 C.32 D.62 答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 中点为x1x22，y1y22，mx12ny121，mx22ny221，两式相减得y1y2x1x2mnx1x2y1y2，12mn(1)，即mn12，离心率 e1m1n1m1mn22，故选 B.9(2010福建福州市质检)已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4)21 上一个动点，那么点 P 到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8 C.171 D.52 答案 C解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，圆 x2(y4)21 的圆心为 C(0,4)，设点 P 到抛物线的准线距离为 d，根据抛物线的定义有 d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当 P、Q、F、C四点共线时取最小值，故最小值为|FC|1 171.10(2010北方四校联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，过点 Ap2，0 的直线与抛物线 C交于 M、N 两点，且MA2AN，过点 M、N 向直线 xp2作垂线，垂足分别为 P、Q，MAP、NAQ的面积分别为记为 S1与 S2，那么()AS1S221 BS1S252CS1S241 DS1S271 答案 C解析 依题意，点 A 为抛物线的焦点，直线 xp2为抛物线的准线，则|MP|MA|，|NA|NQ|，PMA QNA，故 S1|MP|MA|sinPMA4|AN|2sinQNA4S2，故选 C.二、填空题 11(2010吉林省调研)已知过双曲线x2a2y2b21 右焦点且倾斜角为 45 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e的取值范围是_ 答案(1，2)解析 由条件知，渐近线的倾斜角小于 45，即ba1，c2a2a21，c2a22，即 e21，1e1)解析 设另两个切点为 E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移 从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|4221)13(2010平顶山市调研)在下列命题中：方程|x|y|1表示的曲线所围成区域面积为 2；与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 y x；与两定点(1,0)、(1,0)距离之和等于 1的点的轨迹为椭圆；与两定点(1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于 1的点的轨迹为双曲线 正确的命题的序号是_(注：把你认为正确的命题序号都填上)答案 解析 方程|x|y|1 与两轴交点 A(1,0)，B(0，1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的面积 S12|AC|BD|12222，故真；设与两坐标轴距离相等的点为 P(x，y)，则|x|y|，y x，故真；两点 E(1,0)，F(1,0)的距离|EF|21，到两点 E、F 距离之和等于 1 的点不存在，错误；与两点 E、F 距离之差的绝对值等于 1 的点的轨迹为双曲线正确 距离和最小则点的坐标为分析在抛物线外如图连则因而易发现当三点共线时距离和最小在抛物线内如图作交于则当三点共线时距离和最小解连当三点共线时最小此时的方程为即代入得注另一交点为它为直线与抛物线的另一交点舍去型例题请仔细体会的右焦点为椭圆内一定点为椭圆上一动点例是椭圆的最小值为的最小值为分析为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解设另一焦点为则连当是的延长线与椭圆的交点时取得最小值为作出右准时的图形特征两个圆心与切点这三点共线如图中的共线共线列式的主要途径是动圆的半径于半径如图中的解如图即点的轨迹为椭圆轨迹方程为点评得到方程后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移