解直角三角形知识点强化记忆中学教育中考_中学教育-中考.pdf

第24章 解直角三角形知识点强化记忆 知识点 1：正弦、余弦、正切、余切的概念 （1）锐角A、B（A+B=90）的三角函数：互余两角的 三角函数关系 取值范围 全称 简写 锐角A 的正弦 sinA=斜边的对边A=cosB 0sinA1 sine sin 锐角A 的余弦 cosA=斜边的邻边A=sinB 0cosA1 cosine cos 锐角A 的正切 tanA=的邻边的对边AA=cotB tanA0 tangent tan(或 tg)锐角A 的余切 cotA=的对边的邻边AA=tanB cotA0 cotangent cot(或 ctg、ctn)注：对于锐角A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。（）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（）不是与的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。知识点 2：同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）商数关系：tanA=AAcossin，cotA=AAsincos（3）倒数关系：tanA=Acot1，tanA cotA=1 tanA tanB=1 cotAcotB=1（）注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于，同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。同一锐角的正切与余切的积为，互为倒数；互余两角正切值的积为 1；互余两角余切值的积为 1（）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：sin A21 cos A，2cos1 sinAA；因为A为锐角，所以 0sinA1,0 cosA1 所以其中的负值舍去（）2是（）2的简写，读作“”的平方；不能将2写成 2，前者是的正弦值的平方，后者表示2的正弦值。图 19.3.1 知识点 3：、互为余角的三角函数之间的关系（诱导公式）若，则（），（），（），（）。即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。知识点 4：三角函数值的变化范围及规律 锐角三角函数的变化情况：在 090之间，锐角A 的正弦值随着角度的增大而增大。在 090之间，锐角A 的余弦值随着角度的增大而减小。在 090之间，锐角A 的正切值随着角度的增大而增大。在 090之间，锐角A 的余切值随着角度的增大而减小。即（）当时，、随着的增大而增大，、随着的增大而减小；（）当时，。0、0 注：(1)sinA的值从 0 增加到 1(2)cosA 的值从 1 减小到 0（3）tanA 的值从 0 开始增大，tan90 的值不存在。（4）cotA 的值逐渐减小到 0,cot0的值不存在 知识点 5：特殊角的三角函数值 特殊角有、，它们的三角函数值如下表：三角函数值 sin 12 22 32 cos 32 22 12 tan 33 3 不存在 cot 不存在 3 33 注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：、的正弦值分别是范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正02、12、22、32、42，而它们的余弦值分别是42、32、22、12、02；、的正切值分别是13、22、31，而它们的余切值分别是31、22、13。知识点 6：用计算器计算三角函数值 用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。知识点 7：解直角三角形的类型与解法：已知条件 解法步骤 RtABC，C=90 图 19.3.1 计算边的口诀：有斜求对乘正弦 有斜求邻乘余弦 无斜求对乘正切 无斜求邻乘余切 两 边 两直角边（a，b）1、由 tanA=ba 求A 2、B90A 3、c22ba 斜边 c,直角边 a 1、由 sinA=ca 求A 2、B90A 3、b22ac 一边一角 直角边、一锐角 锐角A、锐角A 的邻边 b 1、B90A 2、由 tanA=ba abtanA 3、由 cosA=cb c=cosAb 锐角A、锐角A 的对边 a 1、B90A 2、由 cotA=ab bacotA 3、由 sinA=ca c=sinAa 斜边 c、锐角A 1、B90A 2、由 sinA=ca a=csinA 3、由 cosA=cb b=ccosA 已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；求邻边，用锐角的余弦 已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；求斜边，用锐角的余弦。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切；求斜边，用锐角的正弦。解直角三角形口诀(一)已知一边一锐角，求其余边和余角求出它们很是绕，概括三句口诀妙 已 知 与 解 法 三 角 形 类 型 范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正图 19.4.3 图 19.4.5 求直角边用乘，求斜边用除灵是对边用正，是邻边用余有斜边用弦，无斜边用切 注 余边、余角即其余边和其余角已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦已知一直角边求另一直角边用正切和余切 口诀(二)选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除。注：直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（）三边之间的关系：222abc（勾股定理）；（）锐角之间的关系：；（）边角之间的关系：ac，bc，ab，ba。“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切，宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：（）作垂线构成直角三角形；（）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。知识点 8：有关名词、术语的意义及高度的测量的方法 1、铅垂线：重力线方向的直线。2、水平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、坡面的坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作 i,即i=lh.5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 a，有ilh=tan a 6、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。（1）、利用平行的太阳光线 （2）、利用标杆与量角仪 （3）、利用物理的光学知识与平面镜 范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正 知识点 8：三角形的面积公式：已知ABC中，A、B、C的对应边分别是a、b、c，如图 2，过点 A作 AD BC于点 D。在Rt ABD中，sinADBAB，即：sinsinADABBcB 111sinsin222ABCSBC ADa cBacB（其中：B为a、c的夹角）同理可得：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）注：三角形的面积等于两边与夹角正弦乘积的一半 补充：知识点 9：正弦定理、余弦定理 由面积公式可得：11sinsin22acBbcA 两边同时除于12c 得：sinsinsinsinabaBbAAB 同理可得，正弦定理：sinsinsinabcABC 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R 为ABC 外接圆半径）余弦定理:如图 2：sinADbC，cosBDBCCDabC ，在 RtABD中，由勾股定理得：222222(sin)(cos)ABADBDcbCabC 整理得：22222222222sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCcbCCaabC 2222coscbaabC 整理得到余弦定理：2222coscababC（C为a、b的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）2222cosabcbcA 222cos2bcaAbc 2222cosbacacB 222cos2acbBac 111(1)2()()()222abcSSa hb hc hSp papbpc 基本公式：（）海伦公式：范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正DABC2222coscababC 222cos2abcCab 余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积 知识点 10：三角函数与相似三角形、射影定理：如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADABxxAAEAC 如图 6，6tan48DEBCxAAEAB 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 三角函数与直角三角形的射影定理：直角三角形与射影定理：2CDAD BD 2ACAD AB 2tantanCDBDABCDCDAD BDADCD 2cosACADAACAD ABABAC 2cosBCBDBBCBD ABABBC 射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.知识点 11：、三角函数与一次函数 设一次函数ykxb经过点11(,)A x y与22(,)B xy那么我们可以列出方程组：1122ykxbykxb则可以得到：2121yykxx 如图所示：tank 2BCBD AB范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正知识点 12：三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位 1）如图 3，sinyyr 同理可得：cosx，tanyx，cotxy 如图 4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。知识点13：解直角三角形的几种基本图形 补充练习 1、（2009 芜湖）已知锐角 A 满足关系式 2sin2A7sinA+3=0，则 sinA 的值为 。2、已知：A 为锐角，且 sinA=，则 tanA 的值为 _ 3、（2009 济南）如图，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 cosAOB 的值是 _ 4、（2007 遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿 BC 方向平移得到DEF 如果 AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为 _ cm2 范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正 5.（2009吉林）将宽为 2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 PQ 的长是 。6、（2009 荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管 AE 与支架 BF 所在直线相交于水箱横截面O 的圆心 O，O 的半径为 0.2m，AO 与屋面 AB 的夹角为 32，与铅垂线 OD 的夹角为 40，BFAB 于 B，ODAD 于 D，AB=2m，求屋面 AB 的坡度和支架 BF 的长（参考数据：tan18，tan32，tan40）7、（2007 乐山）如图，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端 A 到水平地面的距离 AB 要求：（1）画出测量示意图；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）根据（2）中的数据计算 AB 8、（2009 株洲）如图 1，RtABC 中，A=90，tanB=，点 P 在线段 AB 上运动，点 Q、R 分别在线段 BC、AC 上，且使得四边形 APQR 是矩形设 AP 的长为 x，矩形 APQR 的面积为 y，已知 y 是 x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）（1）求 AB 的长；（2）当 AP 为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图 1中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当 AP=12 时，AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了请根据上述对话，帮他们解答这个问题 范围全称简写锐角的正弦锐角的余弦锐角的正切锐角的余切的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边的邻边的对边或或注对于锐角的每一个确定的度数其对应的三角函数值也是唯一确定的正弦余弦正切余切都是在直角三角形中给出的要函数记号也是一样的锐角三角函数值与三角形三边长短无关只与锐角的大小有关知识点同角三角函数的关系平方关系商数关系倒数关系图注同一锐角的正弦和余弦的平方和等于同一锐角的正弦与余弦的商等于正切同一锐角的余弦与式都是等式正反均可运用同时还要注意它们的变形如因为为锐角所以所以其中的负值舍去是的简写读作的平方不能将写成前者是的正弦值的平方后者表示的正弦值知识点互为余角的三角函数之间的关系诱导公式若则即任意锐角的正