用一元二次方程解决问题平均增长率与数学问题中学教育中考_中学教育-教学研究.pdf

学习好资料 欢迎下载 列一元二次方程解应用题讲义 一、一周知识概述 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同.从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由学习好资料 欢迎下载 于对列方程有利，因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程 找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于 100%等等因此，解出方程的根后，一定要进行检验 3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)10个位数字 三位数=(百位数字)100(十位数字)10个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的 2 倍，翻两番即表示为原量的 4 倍 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式：增长数=基数增长率，实际数=基数增长数 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 (2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的(1 增长率)增长期数=后来的 (1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的(1 增长率)下降期数=后来的 6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤 (1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案 7、列方程解应用题的关键 (1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 (2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数 列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去 二、重难点知识归纳 审清题意，找等量关系，合理设未知数列一元二次方程解应用题 三、典型例题剖析 例 1、一个两位数，个位数字与十位数字之和为 5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数 思路：数与数字之间的关系是：两位数=(十位数字)10(个位数字)解题的关键是正确地写出原来的两位数与对调后的两位数，为了便于分析，可列出下表：程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 十位数字 个位数字 两位数 原来的 x 5x 10 x(5 x)对调后的 5x x 10(5 x)x 解：设原两位数的十位数字为 x，则个位数字为(5 x)，根据题意得 10 x(5 x)10(5x)x=736 整理得 x25x6=0 解这个方程得 x1=2，x2=3 当 x=2 时，5x=3，两位数为 23；当 x=3 时，5x=2，两位数为 32 总结：(1)对于多位数问题要善于用各数位上的数字来表示该多位数；(2)求出方程的解之后，要善于检验它们是否符合题意，不要漏解，更不能保留不合题意的解 例 2、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记 2 分，负者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1分，今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2005、程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛 思路：(1)先分析比赛的总局数，假设此次比赛共有 x 名选手参赛，则共比赛 局；(2)再分析得分总和的特征，由于无论胜、负、平每一局比赛都记 2分，则比赛 局的得分总和就是全部参赛选手的得分总和 即 x(x1)分，又 x 必为正整数，因此 x 与 x1 是两个连续自然数的积，必为偶数，因此 2005 分属统计错误，其次两个自然数的积的个位数只可能是 0，2，6因此得分总和不可能是 2004，2008，由条件知得分总和只可能是 2070 解：设共有 x(x 为正整数)名选手参赛，所以共计有 局比赛因为每局比赛共记 2 分，所以全部选手的得分总和为 x(x 1)分，由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个位数字只能是 0，2，6，故总得分不能为 2005，2004，2008，所以可得方程 x(x 1)=2070 解这个方程得 x1=46，x2=45(不合题意舍去)答：这次比赛共有 46 名选手参赛 总结：(1)分析所有参赛选手的得分总和是解本题的关键；程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 (2)正确选取合适的数据是解决本题的难点，这就需要多了解整数的基本特征 例 3、某商厦今年一月份销售额为 60 万元，二月份由于经营不善，销售额下降了 10%，以后改进管理，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到 96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到 0.1%)思路：这是一个增长率问题，先求出二月份的销售额，再设三、四月份平均增长率为 x，表示四月份的销售额 解：设三、四月份平均每月增长率为 x，依题意得 60(1 10%)(1x)2=96 解得 由于增长的百分率不能为负数，故 不合题意，舍去 即 答：商厦三、四月份平均每月销售额增长率为 33.3%总结：增长率的基本公式为：a(1 x)n，其中 a 为基数，x 为增长率或降低率，n 表示经过几个月的月数 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 例 4、截至目前，我国退耕还林工程试点扩大到 20 个省、市、区，具体情况如下表：(单位：万公顷)基本情况 造林绿化面积 退耕还林面积 宜林荒山荒地造林面积 2002 年完成 88.50 38.89 48.61 2003 年新增 227 266 (1)将上表补充完整；(2)若 2005 年新增造林绿化面积比 2003 年新增造林绿化面积翻两番，2004、2005 两年的平均增长率相同，求这个增长率 思路：由表可知：造林绿化面积=退耕还林面积宜林荒山荒地造林面积2005 年新增造林绿化面积比 2003 年新增造林绿化面积翻两番即为4 倍，可列方程求解 解：(1)表中数据为 493；(2)设这个增长率为 x，依题意有 493(1 x)2=4934 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 解这个方程，得 x1=1，x2=3(不合题意舍去)x=1=100%答：这个增长率为 100%总结：正确理解翻两番的含义是解题的关键，应在日常生活中多接触类似术语，理解其含义 例 5、取一块长 80cm、宽 60cm的矩形白铁皮，在它的四个角上截四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个没有盖子的长方体盒子，如果做成底面积为 1500cm2的长方体盒子，截下的小正方形的边长是多少厘米？思路：设截下的小正方形的边长为 x cm，则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(80 2x)cm，宽为(60 2x)cm，则可得方程 解：设截下的小正方形的边长为 x cm，依题意得 (80 2x)(60 2x)=1500 整理得 x270 x825=0 解得 x1=15，x2=55 但当 x=55 时，802x=30，不合题意，舍去 x=15 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 答：截下的小正方形的边长为 15cm 总结：(1)解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程；(2)利用一元二次方程解决实际问题时要对解进行检验，有时一元二次方程的解不一定符合题意 例 6、如图，已知 A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q分别从点 A，C同时出发，点 P以 3cm/s 的速度向点B移动，一直到点 B为止，点 Q以 2cm/s 的速度向 D移动 问：(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形 PBCQ的面积是 33cm2？(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P点 Q间的距离是 10cm？思路：(1)由于四边形 PBCQ为梯形，且高 CB=6cm，于是只需表示出上、下底边长即可列出方程；(2)由于 PQ两点间的距离，不易用未知数的代数式表示，需通过作辅助线构造基本几何图形直角三角形，利用勾股定理列方程求解 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 解：(1)设 P，Q两点从出发开始 x 秒时，四边形 PBCQ 的面积是 33cm2，则AP=3x，PB=16 3x，CQ=2x 由梯形的面积公式得，解得 x=5 答：P，Q两点从出发开始 5 秒时，四边形 PBCQ的面积为 33cm2；(2)设 P，Q两点从出发开始到 y 秒时，点 P，点 Q间的距离为 10cm 如图，过点 Q作 QH AB，交 AB于 H，则 AP=3y，CQ=2y，PH=16 3y2y，根据勾股定理，得(16 3y2y)2=10262，化简方程得 25y2160y192=0，解得 答：P，Q两点从出发开始到 时，点 P点 Q的距离是 10cm 例 7、某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 思路：每降价 1 元，则每件盈利(40 1)元，每天可售出(20 2)件故若设每件衬衫应降价 x 元，则每件盈利(40 x)元，每天售出(20 2x)件，再根据总盈利=每件的盈利售出的件数可列出方程求解 解：设每件应降价 x 元，则每件盈利(40 x)元，每天可售出(20 2x)件，根据题意可列方程 (40 x)(20 2x)=1200 整理得 x230 x200=0 解得 x1=10，x2=20 因为要尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件应降价 20 元 答：每件衬衫应降价 20 元 总结：尽量减少库存是本题方程的根必须适合的题意两根比较不难得出适合题意的一个，但“尽快减少库存”这一要求在审题中很容易被漏掉，从而导致错误，请注意，另外本题中每件衬衫降价 x 元即是每件盈利减少 x 元因此在解应用题应认真审清题意，是正确解题的关键 例 8、汽车在行驶过程中由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住我们称这段距离为刹车距离，在一个限速为 35km/h 以内的程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车的刹车距离为 12m，乙车的刹车距离为 10m，已知甲车的刹车距离 S甲(m)与车速 x(km/h)之间的关系是：S甲=0.1x 0.01x2，乙车的刹车距离 S乙(m)与车速 x(km/h)之间的关系是：S乙=0.05x0.005x2，请你从两车速度方面分析事故原因 思路：要求从两车速度方面分析事故原因，就必须从已知的两车的刹车距离计算出在经过这段弯道上时的速度是否超过警示速度，从而断定事故的主要责任者，而已知条件中两车的刹车距离分别为 12m和 10m，以及两个关系式，通过解方程求出车速，并作出判断 解：甲车的刹车距离为 12m，0.01x20.1x=12 即 x210 x1200=0 解得 x1=30，x2=40 由于速度不能为负数，x2=40 不合题意，舍去 所以甲车的速度为 30km/h，不超过限速 对于乙车则有 0.05x 0.005x2=10 解这个方程得 x1=40，x2=50(不合题意，舍去)所以乙车的速度为 40km/h 超过了限速 35km/h 的规定 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等学习好资料 欢迎下载 程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同从列方程解应用题的方法来讲列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的由于一元一次方程未知数是一次因此这类问题大部分都可通过算术方法来解经过两次增长的平均增长率问题数学问题中涉及积的一些问题经营决策问题等等列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样列一元二次方程解应用题的一般步骤是审设列解答审指读懂题目审清题意明确已知是问什么设什么间接设元虽然所设未知数不是我们所求的但由学习好资料欢迎下载于对列方程有利因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易列是列方程这是非常重要的步骤列方程就是找出题目中的等