高中数学第五章平面向量专题讲义中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 第 1讲 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a的单位向量为a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做 a与 b的差 aba(b)学习必备 欢迎下载 数乘 求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a的方向与a的方向相同；当 0 时，a的方向与 a的方向相反；当 0 时，a0 (a)a；()a a a；(ab)a b 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 第 2讲 平面向量基本定理及坐标表示 知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|（x2x1）2（y2y1）2.4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 第 3讲 平面向量的数量积及其应用 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a和 b，记OAa，OBb，则AOB(0 180)叫做向量 a与 b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos_ 叫做 a与 b的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a0.(3)数量积的几何意义：数量积 a b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos_ 的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b的夹角.(1)数量积：a b|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|a a x21y21.(3)夹角：cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)两非零向量 ab的充要条件：a b0 x1x2y1y20.(5)|a b|a|b|(当且仅当 ab时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a bb a(交换律).的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载(2)a b(a b)a(b)(结合律).(3)(ab)ca cb c(分配律).的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 第 1讲 平面向量的概念及线性运算 基础巩固题组 一、选择题 1.已知下列各式：ABBCCA；ABMBBOOM；OAOBBOCO；ABACBDCD，其中结果为零向量的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 2.设 a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与 a的方向相反 B.a与 2a的方向相同 C.|a|a|D.|a|a 3.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACDEF()A.0 B.BE C.AD D.CF 4.设 a0为单位向量，下述命题中：若 a为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a与 a0平行，则 a|a|a0；若 a与 a0平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OAOBOCOD等于()A.OM B.2OM C.3OM D.4OM 6.在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD2DC，则AD等于()A.23b13c B.53c23b C.23b13c D.13b23c 7.(2017 温州八校检测)设 a，b不共线，AB2apb，BCab，CDa2b，若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为()的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 A.2 B.1 C.1 D.2 8.如图所示，已知 AB是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD()A.a12b B.12ab C.a12b D.12ab 二、填空题 9.如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有_个.10.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABAD AO，则 _.11.向量 e1，e2不共线，AB3(e1e2)，CBe2e1，CD2e1e2，给出下列结论：A，B，C 共线；A，B，D 共线；B，C，D 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_.能力提升题组 13.(2017 延安模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k的值为()A.94 B.49 C.38 D.不存在 14.已知点 O,A,B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP2OABA，则()A.点 P 在线段 AB上 B.点 P 在线段 AB的反向延长线上 的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 C.点 P 在线段 AB的延长线上 D.点 P 不在直线 AB上 16.若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OBOC|OBOC2OA|，则ABC的形状为_.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 第 2讲 平面向量基本定理及坐标表示 基础巩固题组 一、选择题 1.(必修 4P118A 组 2(6)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e212，34 2.(2016 沈阳质监)已知在 ABCD 中，AD(2，8)，AB(3，4)，则AC()A.(1，12)B.(1，12)C.(1，12)D.(1，12)3.已知向量 a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.如右图，向量 e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a可用基底 e1，e2表示为()A.e1e2 B.2e1e2 C.2e1e2 D.2e1e2 5.已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是()A.23 B.43 C.12 D.13 6.在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD2DB，CDrABsAC，则 rs 等于()的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 A.23 B.43 C.3 D.0 7.在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4，3)，PQ(1，5)，则BC等于()A.(2，7)B.(6，21)C.(2，7)D.(6，21)8.已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC2AE，则向量EM()A.12AC13AB B.12AC16AB C.16AC12AB D.16AC32AB 二、填空题 9.(2017 广州综测)已知向量 a(x，1)，b(2，y)，若 ab(1，1)，则 xy_.10.若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值为_.11.已知向量 a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且 uv，则实数 x 的值为_.12.在平行四边形 ABCD 中，ABe1，ACe2，NC14AC，BM12MC，则MN_(用e1，e2)表示.能力提升题组 13.(2017 长沙调研)如图，在OAB 中，P 为线段 AB上的一点，OPxOAyOB，且BP2 PA，则()的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 A.x23，y13 B.x13，y23 C.x14，y34 D.x34，y14 14.已知|OA|1，|OB|3，OAOB0，点 C 在AOB 内，且OC与OA的夹角为 30，设OCmOAnOB(m，nR)，则mn的值为()A.2 B.52 C.3 D.4 15.已知点 A(1，2)，B(2，8)，AC13AB，DA13BA，则CD的坐标为_.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 第 3讲 平面向量的数量积及其应用 基础巩固题组 一、选择题 1.(2016 兰州诊断考试)已知向量 a，b满足 a b0，|a|1，|b|2，则|ab|()A.0 B.1 C.2 D.5 2.(2015 陕西卷)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a b|a|b|B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2 3.已知 a(1，2)，b(x，2)，且 ab，则|b|()A.2 5 B.5 C.10 D.5 4.(2015 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC等于()A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2015 重庆卷)已知非零向量 a，b满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a与 b的夹角为()A.3 B.2 C.23 D.56 二、填空题 6.(2016 全国卷)设向量 a(x，x1)，b(1，2)，且 ab，则 x_.7.(2016 北京卷)已知向量 a(1，3)，b(3，1)，则 a与 b夹角的大小为_.8.已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，若ABC 为锐角，则实数 m 的取值范围是_.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 三、解答题 9.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求 a与 b的夹角 ；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求ABC 的面积.10.(2017 德州一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 m n35.(1)求 sin A的值；(2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA在BC方向上的投影.能力提升题组 11.(必修 4P120 1(6)改编)若平面向量 a，b，c两两所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|等于()A.2 B.5 C.2 或 5 D.2或 5 12.(2015 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD等于()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.32a2 13.(2016 洛阳统考)已知 A(1，cos )，B(sin ，1)，若|OAOB|OAOB|(O 为坐标原点)，则锐角 _.14.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平学习必备 欢迎下载 围成的区域(含边界)上，且OPmABnAC(m，nR).(1)若 mn23，求|OP|；(2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值.的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共长度相等且方向相反的向量的相反向量为向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差交换律结合律学习必备欢迎下载数乘求实数与向量的积的运算当时的习必备欢迎下载第讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平