高二数学数列练习题含答案中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf
学习必备 欢迎下载 高二数列专题 1nS与na的关系：11(1)(1)nnnSnaSSn，已知nS求na，应分1n时1a ；2n时，na=两步，最后考虑1a是否满足后面的na.2.等差等比数列 等差数列 等比数列 定义 1nnaad（2n）*1()nnaq nNa 通项 dnaan)1(1，(),()nmaanm dnm ，中项 如果,a A b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项2abA。等差中项的设法：如果,a G b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 等比中项的设法：aq，a，aq 前n项和)(21nnaanS，dnnnaSn2)1(1 性 质 *(,)mnpqaaaam n p qNmnpq 若2mpq，则 若qpnm，则 2*2,(,)mpqmpqaaap q n mN 若则有 nS、2nnSS、32nnSS为等差数列 nS、2nnSS、32nnSS为等比数列 函数看数列 12221()()22nnadnadAnBddsnanAnBn 111(1)11nnnnnnaaqAqqaasqAAq qqq 判定方法（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数；（2）等差中项：证明*11(2Nnaaannn，)2n （3）通项公式:(,naknb k b为常数)(*Nn)（4）2nsAnBn(,A B为常数)(*nN)（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数（2）中项：证明21nnaa*1(,2)nanNn（3）通项公式：(,nnacqc q均是不为 0 常数）（4）nnsAqA(,A q为 常 数，A0,q0,1）学习必备 欢迎下载 3.数列通项公式求法。（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法（3）累乘法（nnncaa 1型）；(4)利用公式11(1)(1)nnnSnaSSn；(5)构造法（bkaann 1型）(6)倒数法 等 4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。5.nS 的最值问题：在等差数列na中,有关nS 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,01 da 时，满足001mmaa 的项数 m使得mS取最大值.(2)当 0,01 da时，满足001mmaa 的项数 m使得mS取最小值。也可以直接表示nS，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。6.数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题 一、选择题 1.已知等差数列na的前三项依次为1a、1a、23a，则 2011 是这个数列的(B)A.第 1006 项 B.第 1007 项 C.第 1008 项 D.第 1009 项 2.在等比数列na中，485756aaaa，则10S等于 （A ）A1023 B1024 C511 D512 3若an为等差数列，且 a72a41，a30，则公差 d()A2 B12 C.12 D2 由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4a5a3，2da7a51，即 d12.故选 B.4.已知等差数列an的公差为正数，且 a3a7=12,a4+a6=4,则 S20为(A )A.180 B.180 C.90 D.90 5.（2010 青岛市）已知na为等差数列,若951aaa,则28cos()aa的值为（A ）A21 B23 C21 D23 6在等比数列an中，若 a3a5a7a9a11243，则a29a11的值为()比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 A9 B1 C2 D3 解析 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11a57243，所以得 a73，又a29a11a7a11a11a7，故选 D.7已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a1a512S5，且 a920，则 S11()A260 B220 C130 D110 解析 S5a1a525，又12S5a1a5，a1a50.a30，S11a1a11211a3a9211020211110，故选 D.8 各项均不为零的等差数列an中，若 a2nan1an10(nN*，n2)，则 S2 009等于 A0 B2 C2 009 D4 018 解析 各项均不为零的等差数列an，由于 a2nan1an10(nN*，n2)，则 a2n2an0，an2，S2 0094 018，故选 D.9数列an是等比数列且 an0，a2a42a3a5a4a625，那么 a3a5的值等于 A5 B10 C15 D20 解析 由于 a2a4a23，a4a6a25，所以 a2 a42a3 a5a4 a6a232a3a5a25(a3a5)225.所以 a3a5 5.又 an0，所以 a3a55.所以选 A.10.首项为 1，公差不为 0 的等差数列an中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是 ()A8 B8 C6 D不确定 答案 B 解析 a24a3 a6(13d)2(12d)(15d)d(d1)0d1，a31，a42，q2.a6a4 q4，第四项为 a6 q8.11.在ABC 中，tanA是以-4为第三项，4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以31为第三项，9 为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形 12、（2009 澄海）记等差数列na的前项和为ns，若103ss，且公差不为 0，则当ns取最大值时，n（)C A4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D7 或 8 13在等差数列an中，前 n 项和为 Sn，且 S2 0112 011，a1 0073，则 S2 012的值为 A1 006 B2 012 C2 012 D1 006 答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意可得，S2 0112 011a12 011 2 01112d2 011，a1 007a11 006d3，即 a11 005d1，a11 006d3，解得 a14 021，d4.所以，S2 0122 012a12 012 2 01212d 2 012(4 021)2 0122 0112 2 012(4 0224 021)2012.方法二 由 S2 0112 011 a1a2 01122 011a1 0062 011，解得 a1 0061，则 S2 0122 012 a1a2 01222 012 a1 006a1 00722 012 1322 012.14设函数 f(x)满足 f(n1)2f n n2(nN*)，且 f(1)2，则 f(20)(B)A95 B97 C105 D192 解析 f(n1)f(n)n2，f 20 f 19 192，f 19 f 18 182，f 2 f 1 12.累加，得 f(20)f(1)(1222192)f(1)1920497.比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 15.已知数列na的前n项和nS满足1)1log2nSn（，则通项公式为（B ）A.)(2*Nnann B.)2(2)1(3nnann C.)(2*1Nnann D.以上都不正确 16.一种细胞每 3 分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（D ）A15 分钟 B30 分钟 C45 分钟 D57 分钟 二、填空题 1、等差数列an的前 n 项和为 Sn，若a2=1,a3=3,则 S4=8.2.（2008广东理，2）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若a1=21，S4=20，则 S6=.48 3.（2010 广州一模）在等比数列na中，11a，公比2q，若64na，则n的值为 7 4.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则24aS=.215 5.等差数列an，bn的前 n 项和分别为Sn和 Tn，若SnTn2n3n1，则a100b100_.答案 199299 解析 a100b100a1a1992b1b1992S199T199199299 6、数列na的前n项和记为 11,1,211nnnS aaSn则na的通项公式 解：（）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan 又21213aS 213aa 故na是首项为1，公比为3得等比数列 13nna 7已知各项都为正数的等比数列an中，a2 a44，a1a2a314，则满足 an an1 an219的最大正整数 n 的值为_答案 4 解析 设等比数列an的公比为 q，其中 q0，依题意得 a23a2 a44.又 a30，因此 a3a1q22，a1a2a1a1q12，由此解得 q12，a18，an8(12)n124n，an an1 an2293n.由于 231819，因此要使 293n19，只要 93n3，即 n4，于是满足 an an1 an219的最大正整数 n 的值为 4.比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 8等比数列an的首项为 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S53132，则公比 q 等于_ 答案 12 解析 因为S10S53132，所以S10S5S5313232132，即 q5(12)5，所以 q12.三、解答题 1（2010山东理数）（18）（本小题满分 12 分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=211na(nN*)，求数列nb的前 n 项和nT 1【解析】（）设等差数列na的公差为 d，因为37a，5726aa，所以有 112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+1，所以nT=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。2（全国新课标理 17）已知等比数列na的各项均为正数，且212326231,9aaaa a（I）求数列na的通项公式 （II）设31323logloglognnbaaa，求数列1nb的前 n 项和 2 解：（）设数列an的公比为 q，由23269aa a得32349aa所以219q 由条件可知 c0，故13q 由12231aa得12231aa q，所以113a 故数列an的通项式为 an=13n（）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 故12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn 所以数列1nb的前 n 项和为21nn 3.(本小题满分 12 分)已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a22(1a11a2)，a3a4a564(1a31a41a5)(1)求an的通项公式；(2)设 bn(an1an)2，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析(1)设an的公比为 q，则 ana1qn1.由已知，有 a1a1q21a11a1q，a1q2a1q3a1q4641a1q21a1q31a1q4，化简，得 a21q2，a21q664.又 a10，故 q2，a11.所以 an2n1.(2)由(1)知，bnan1an2a2n1a2n24n114n12.因此，Tn(144n1)(11414n1)2n14n14114n1142n13(4n41n)2n1.4.（山东省济南市 2011）已知na为等比数列，256,151 aa；nS为等差数列nb的前 n 项和，,21b8525SS.（1）求na和nb的通项公式；（2）设nTnnbababa2211，求nT.解：（1）设an的公比为 q，由 a5=a1q4得 q=4 所以 an=4n-1.设 bn 的公差为 d，由 5S5=2 S8得 5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，3223231 ad,所以 bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2）Tn=12+45+428+4n-1(3n-1),4Tn=42+425+438+4n(3n-1),-得：3Tn=-2-3(4+42+4n)+4n(3n-1)=-2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)=2+(3n-2)4nTn=（n-32）4n+32 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 5（2013广东理）设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.()求2a的值；()求数列na的通项公式；()证明:对一切正整数n,有1211174naaa.【解析】()依题意,12122133Sa,又111Sa,所以24a；()当2n 时,32112233nnSnannn,321122111133nnSnannn 两式相减得 2112213312133nnnananannn 整理得 111nnnanan n,即111nnaann,又21121aa 故数列nan 是首项为111a,公差为1的等差数列,所以 111nannn ,所以2nan.()当1n 时,11714a；当2n 时,12111571444aa ；当3n时,21111111nannnnn,此时 222121111111111111111434423341naaannn 11171714244nn 综上,对一切正整数n,有1211174naaa.6（本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,nnSannN且2514,aaa构成等比数列(1)证明：2145aa；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nna aa aa a 1.【解析】（1）当1n 时，22122145,45aaaa，21045naaa 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载（2）当2n 时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa 2221442nnnnaaaa,102nnnaaa 当2n 时，na是公差2d 的等差数列.2514,aaa构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a,由（1）可知，212145=4,1aaa 213 12aa na是首项11a,公差2d 的等差数列.数列na的通项公式为21nan.（3）1223111111111 33 55 72121nna aa aa ann 11111111123355721211111.2212nnn 7.（本题满分14分）2a,5a是方程2x02712 x的两根,数列na是公差为正的等差数列，数列nb的前n项和为nT,且nT211nbNn.(1)求数列na,nb的通项公式;(2)记nc=nanb,求数列nc的前n项和nS.2.解：(1)由27,125252aaaa.且0d得9,352 aa 2 分 2325aad,11aNnnan12 4 分 在nnbT211中,令,1n得.321b当2n时,Tn=,211nb11211nnbT,两式相减得nnnbbb21211,2311nbbnn 6 分 Nnbnnn3231321.8 分(2)nnnnnc3243212,9 分 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 nnnS312353331232,132312332333123nnnnnS,10 分 132312313131231232nnnnS=21131231131191231nnn=11344343123131312nnnnn,13 分 nnnS3222 14 分 8.（全国大纲理 20）设数列na满足10a 且1111.11nnaa（）求na的通项公式；（）设111,1.nnnnknkabbSn记S证明：解：（I）由题设1111,11nnaa 即11na是公差为 1 的等差数列。又1111,.11nnaa故 所以11.nan （II）由（I）得 11,11111nnabnnnnnnn ，8 分 11111()11.11nnnkkkSbkkn 12 分 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项学习必备 欢迎下载 比数列定义通项中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项等差中项的设法如果成等比数列那么叫做与的等比中项等比中项的设法前项和性质若则若则若则有为等差数列为等比数列函数看数列判定方法定义法证明为一个常数等差中列通项公式求法定义法利用等差等比数列的定义累加法累乘法型利用公式构造法型倒数法等数列求和公式法分组求和法错位相减法裂项求和法倒序相加法的最值问题在等差数列中有关的最值问题常用邻项变号法求解当时满足的项数业股金产品利润人口增长工作率图形面积等实际问题常考虑用数列的知识来解决利用二次函数配方求最值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想训练题一选择题已知等差数列的前三项依次为则是这个数列的第项第项第项第项
