第三节平面向量的数量积中学教育中学学案_中学教育-中学课件.pdf

学习好资料 欢迎下载 第三节 平面向量的数量积 一、平面向量的数量积 1数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则向量 a 与 b 的数量积是数量|a|b|cos ，记作 a b，即 a b|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2向量的投影：设 为 a 与 b 的夹角，则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos ；向量 b在 a 方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 二、平面向量数量积的运算律 1交换律：a bb a；2数乘结合律：(a)b(a b)a(b)；3分配律：a(bc)a ba c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模|a|a a|a|x21y21 数量积 a b|a|b|cos a bx1x2y1y2 夹角 cos a b|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22 ab 的充要条件 a b0 x1x2y1y20|a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22 1已知 a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(b c)a 等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78 2已知向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 a b2，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 3已知向量 a，b 和实数 ，下列选项中错误的是()A|a|a a B|a b|a|b|C(a b)a b D|a b|a|b|4已知向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2 2 C4 D8 5(2013 湖北高考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 6(2013 课标全国卷)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b，若 b c学习好资料 欢迎下载 0，则 t_.考向一 077 平面向量数量积的运算 (1)(2012 浙江高考)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC10，则AB AC_.(2)(2012 北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB边上的动点，则DE CB的值为_；DE DC的最大值为_ 规律方法 1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例 1 中用AM、MB 表示AB、AC 等.注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180 三种特殊情形.对点训练(1)(2013 江西高考)设 e1，e2为单位向量，且 e1，e2的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的投影为_(2)(2014 济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC2BD，CA3CE，则AD BE_.考向二 078 平面向量的夹角与垂直 (1)(2013 安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_(2)(2013 山东高考)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若AP ABAC，且APBC，则实数 的值为_ 规律方法 2 1.当 a，b 以非坐标形式给出时，求a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与 a b 的关系.2.1 非零向量垂直的充要条件：aba b0|ab|ab|x1x2y1y20.2 本例 2中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成AC AB，导致求解受阻.对点训练(1)已知 a，b 都是非零向量，且|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为_(2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_.为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 考向三 079 平面向量的模及其应用 (1)(2014 威海模拟)设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|()A.5 B.10 C2 5 D10(2)(2014 郑州模拟)已知OP(cos ，sin )，OQ(1sin ，1cos )，其中 0 ，求|PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 的值 规律方法 3 1.x1y2x2y10 与 x1x2y1y20 不同，前者是 a x1，y1，z1，b x2，y2，z2 共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件.2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：1 利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2 利用公式|a|a a 及 a b2|a|2 2a b|b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解决.对点训练(1)(2012 安徽高考)设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.(2)已知向量 a(sin ，1)，b(1，cos )，2 2.若 ab，则 _.若|ab|的最大值为 21，则 _.易错易误之九 忽略向量共线条件致误 (2014 广州模拟)已知 a(1,2)，b(1,1)，且 a 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为_【防范措施】1.a，b 的夹角为锐角并不等价于 a b0，a b0 等价于 a 与 b 夹角为锐角或 0.2.依据两向量的夹角 求向量坐标中的参数时，要注意 0 或 180 的情形.其中 cos 010，cos 180 10.)已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_ 为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 第三节 平面向量的数量积 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 2 (1)16(2)1 1 对点训练 1 (1)52(2)14 (1)13(2)712 对点训练 2(1)30 (2)1 (1)B(2)PQOQOP(1sin cos ，1cos sin )，|PQ|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0 ，1sin 2 1，|PQ|22,6，|PQ|2，6 当 sin 2 1，即 34时，|PQ|取得最大值 对点训练 3 (1)2(2)4 4 53且 0.练习.32且 6 为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 第三节 平面向量的数量积 一、平面向量的数量积 1数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则向量 a 与 b 的数量积是数量|a|b|cos ，记作 a b，即 a b|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2向量的投影：设 为 a 与 b 的夹角，则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos ；向量 b在 a 方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 二、平面向量数量积的运算律 1交换律：a bb a；2数乘结合律：(a)b(a b)a(b)；3分配律：a(bc)a ba c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模|a|a a|a|x21y21 数量积 a b|a|b|cos a bx1x2y1y2 夹角 cos a b|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22 ab 的充要条件 a b0 x1x2y1y20|a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22 1已知 a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(b c)a 等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】b c426326，(b c)a(26，78)【答案】A 2已知向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 a b2，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2【解析】向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 a b2，设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b|a|b|12，3.【答案】C 3已知向量 a，b 和实数 ，下列选项中错误的是()A|a|a a B|a b|a|b|C(a b)a b D|a b|a|b|【解析】|a b|a|b|cos|，故 B 错误【答案】B 4已知向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|()为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 A0 B2 2 C4 D8【解析】|a|1，|b|2，a b0|2ab|4a24a bb2442 2.【答案】B 5(2013 湖北高考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152【解析】由已知得AB(2,1)，CD(5,5)，因此AB在CD方向上的投影为AB CD|CD|155 23 22.【答案】A 6(2013 课标全国卷)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b，若 b c0，则 t_.【解析】|a|b|1，a，b60.cta(1t)b，b cta b(1t)b2t1112(1t)1t21t1t2.b c0，1t20，t2.【答案】2 考向一 077 平面向量数量积的运算 (1)(2012 浙江高考)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC10，则AB AC_.(2)(2012 北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB边上的动点，则DE CB的值为_；DE DC的最大值为_【尝试解答】(1)如图所示，ABAMMB，ACAMMCAMMB，AB AC(AMMB)(AMMB)AM2MB2|AM|2|MB|292516.(2)法一 如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为 1，故 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又 E 在 AB边上，故设 E(t,0)(0t1)则DE(t，1)，CB(0，1)故DE CB1.又DC(1,0)，DE DC(t，1)(1,0)t.又 0t1，DE DC的最大值为 1.为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 法二 ABCD 是正方形，DACB.DE CBDE DA|DE|DA|cos EDA|DA|DE|cos EDA|DA|DA|DA|21.又 E 点在线段 AB 上运动，故为点 E 与点 B 重合时，DE在DC上的投影最大，此时DC DE|DC|DE|cos 45 2221.所以DE DC的最大值为 1.【答案】(1)16(2)1 1 规律方法 1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例 1 中用AM、MB 表示AB、AC 等.注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180 三种特殊情形.对点训练(1)(2013 江西高考)设 e1，e2为单位向量，且 e1，e2的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的投影为_(2)(2014 济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC2BD，CA3CE，则AD BE_.【解析】(1)由于 ae13e2，b2e1，所以|b|2，a b(e13e2)2e12e216e1 e226125，所以 a 在 b 方向上的投影为|aa，ba b|b|52.(2)BC2BD，CA3CE，点D 是线段 BC 的中点，点 E 是线段 CA 的三等分点，以向量AB，AC作为基向量，AD12(ABAC)，BE23ACAB，AD BE12(ABAC)(23ACAB)13AC212AB216AB AC，又|AB|AC|1，且AB，AC3.AD BE131216|AB|AC|cos 314.【答案】(1)52(2)14 考向二 078 平面向量的夹角与垂直 (1)(2013 安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_(2)(2013 山东高考)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若AP ABAC，且APBC，则实数 的值为_【尝试解答】(1)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a b，所以a b|b|2.又|a|3|b|，所以 cosa，ba b|a|b|b|23|b|213.为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载(2)APBC，AP BC0.又AP ABAC，BCACAB，(ABAC)(ACAB)0，即(1)AC AB AB2AC20，(1)|AC|AB|cos 120 9 40.(1)32129 40.解得 712.【答案】(1)13(2)712 规律方法 2 1.当 a，b 以非坐标形式给出时，求a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与 a b 的关系.2.1 非零向量垂直的充要条件：aba b0|ab|ab|x1x2y1y20.2 本例 2中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成AC AB，导致求解受阻.对点训练(1)已知 a，b 都是非零向量，且|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为_(2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_.【解析】(1)由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|b|2a22a bb2，所以 a b12a2.而|ab|2|a|22a b|b|22|a|2212|a|23|a|2，所以|ab|3|a|.设 a 与 ab 的夹角为 ，则 cos a ab|a|ab|a212a23|a|232，由于 0 180，所以 30.(2)a 与 b 是不共线的单位向量，|a|b|1.又 kab 与 ab 垂直，(ab)(kab)0，即 ka2ka ba bb20.k1ka ba b0.即 k1kcos cos 0.(为 a 与 b 的夹角)(k1)(1cos )0.又 a 与 b 不共线，cos 1，k1.【答案】(1)30 (2)1 考向三 079 平面向量的模及其应用 (1)(2014 威海模拟)设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|()A.5 B.10 C2 5 D10(2)(2014 郑州模拟)已知OP(cos ，sin )，OQ(1sin ，1cos )，其中 0 ，求|PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 的值【尝试解答】(1)a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由 ac 得 a c0，即 2x40，x2.由 b c 得 1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|32 12 10.【答案】B 为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载(2)PQOQOP(1sin cos ，1cos sin )，|PQ|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0 ，1sin 2 1，|PQ|22,6，|PQ|2，6 当 sin 2 1，即 34时，|PQ|取得最大值 规律方法 3 1.x1y2x2y10 与 x1x2y1y20 不同，前者是 a x1，y1，z1，b x2，y2，z2 共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件.2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：1 利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2 利用公式|a|a a 及 a b2|a|2 2a b|b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解决.对点训练(1)(2012 安徽高考)设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.(2)已知向量 a(sin ，1)，b(1，cos )，2 2.若 ab，则 _.若|ab|的最大值为 21，则 _.【解析】(1)ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m12.a(1，1)，|a|2.(2)由 ab 得 sin cos 0，tan 1.2 2，4.|ab|a22a bb2sin2 12 2sin 4cos2 132 2sin 4.2 2，4 434.当 42，即 4时|ab|2最大为 32 2，而32 2 21.|ab|取最大值 21 时，4.【答案】(1)2(2)4 4 易错易误之九 忽略向量共线条件致误 (2014 广州模拟)已知 a(1,2)，b(1,1)，且 a 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为_【解析】a 与 ab 均为非零向量，且夹角为锐角，a(ab)0，为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 即(1,2)(1，2)0，(1)2(2)0，53，当 a 与 ab 共线时，存在实数 m，使 ab ma，此处在求解时，常因忽略“a 与 ab 共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为 a b0 与a，b为锐角等价.即(1，2)m(1,2)，1 m2 2m，0，即当 0 时，a 与 ab 共线 综上可知，的取值范围为 53且 0.【防范措施】1.a，b 的夹角为锐角并不等价于 a b0，a b0 等价于 a 与 b 夹角为锐角或 0.2.依据两向量的夹角 求向量坐标中的参数时，要注意 0 或 180 的情形.其中 cos 010，cos 180 10.)已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_ 【解析】由 a b0，即 2 30，解得 32.又当 ab 时，6，故所求 的范围为 32且 6.【答案】32且 6 为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特学习好资料 欢迎下载 为则向量与的数量积是数量记作即规定零向量与任一向量的数量积为向量的投影设为与的夹角则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积二平面向量数量积的运算表示模数量积夹角的充要条件与的关系当且仅当时等号成立已知则等于已知向量满足且则与的夹角为已知向量和实数下列选项中错误的是已知向量满足则湖北高考已知点则向量在向上的投影为方课标全国卷已知两个单位向量的夹角点是边上的动点则值为的最大值为的规律方法平面向量的数量积的运算有两种形式一是依据长度与夹角二是利用坐标来计算要有基底意识关键用基向量表示题目中所求相关向量如本例中用表示等注意向量夹角的大小以及夹角三种特