普通高等学校招生全国统一考试圆锥曲线的方程知识汇编中学教育高考_中学教育-高考.pdf

2006年普通高等学校招生全国统一考试圆锥曲线的方程知识汇编 1（2006 年福建卷）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （C）（A）(1,2 （B）(1,2)（C）2,)（D）(2,)2（2006 年安徽卷）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A2 B2 C4 D4 解：椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选 D。3（2006 年广东卷）已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 A.2 B.332 C.2 D.4 3依题意可知 3293,322baca，2332ace，故选 C.4（2006 年陕西卷）已知双曲线2221(2)2xyaa的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为（D）（A）2 33 （B）2 63 （C）3 （D）2 5（2006 年上海春卷）抛物线xy42的焦点坐标为(B )（A）)1,0(.（B）)0,1(.（C）)2,0(.（D）)0,2(.6（2006 年上海春卷）若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的(A )（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.7（2006 年全国卷 II）已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆x23y21 上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是 (C)（A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 8（2006 年全国卷 II）已知双曲线x2a2y2b21的一条渐近线方程为 y43x，则双曲线的离心率为(A)（A）53 (B)43 (C)54 (D)32 9（2006 年四川卷）已知两定点 2,0,1,0AB，如果动点P满足2PAPB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（B）（A）9 （B）8 （C）4 （D）10（2006 年四川卷）直线3yx 与抛物线24yx交于,A B两点，过,A B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q，则梯形APQB的面积为（A）（A）48 （B）56 （C）64 （D）72 11（2006 年四川卷）如图，把椭圆2212516xy的长轴 AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFP FP FP FP FP FP F_35_;12（2006 年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（C ）A36 B4 C2 D1 13（2006 年湖北卷）设过点 yxP,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1 ABOQ，则P点的轨迹方程是（D）A.0,0123322yxyx B.0,0123322yxyx C.0,0132322yxyx D.0,0132322yxyx 14解选 D.由PABP2及,A B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，3(,0),2Ax(0,3)By，3(,3)2ABxy，由点Q与点P关于y轴对称知，(,)Qx y，OQ=(,)x y，则2233(,3)(,)31(0,0)22OQ ABxyx yxyxy。15（2006 年全国卷 I）双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m A14 B4 C4 D14 15一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同。在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是22221xyab或22221yxab（,0a b），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成2211/|xym。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方=4。即1:14|m，所以14m 。选 A。当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出来 这个题的形式我们见的真是太多了，总结起来八个字：“没有坡度，只有陷阱”。也就是说，题目本身并不很难，但是它总在视觉上（不是知识上，是视觉上）给人挖“坑儿”。一般情况下，“坑儿”有三种：不声明曲线是站着的还是躺着的；该写在分母上的不往分母上写；该写成平方形式的不写成平方。仔细品味这个题，选择支的选项并没有出现“2”或“12”这样的支项，也就是说直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两第点并没有考察；第点有所涉及，但似乎故意做了淡化，C、D 选项几乎是用眼睛扫一下就排除了；主要考察的还是第点。如果题目干项中将“221mxy”改成“22mxyt（t 为非零常数）”，同时支项中出现“2”、“12”这样的干扰项，那就三点兼顾了。值得一提的是，在二次曲线中，还有一个“坑儿”需要引起注意：那就是“轴和半轴”、“距和半距”。例如：椭圆22220 xyabab 中，a是半长轴而非长轴，c是半焦距而非焦距。这些问题虽然很小，但同时也是眼高手低者们（包括我在内）比较爱犯的通病。我个人认为，这个题其实是用来考察非智力因素的：就看细心不细心。16（2006 年全国卷 I）抛物线2yx 上的点到直线4380 xy 距离的最小值是 A43 B75 C85 D3 16抛物线上任意一点（t，2t）到直线的距离22|438|348|55ttttd。因为244 3 80 ，所 以23480tt 恒 成 立。从 而 有213485dtt，2min14 3 84454 33d 。选 A。17（2006 年全国卷 I）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A28 5cm B26 10cm C23 55cm D220cm 17我们普遍了解这样一个事实：在周长一定的 n 边形中，正 n 边形面积最大。或许这个东西有点超纲，但是请原谅，我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。当 n=3 时，这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释：设三角形ABC 的周长 l 为定值，角 A、B、C 分别对应三边 a、b、c。先固定 B、C 两点，则 b+c 是定值，这意味这点 A在 B、C 为焦点的椭圆上（去除俩长轴端点），当 A 为椭圆的短轴端点时，A 到线段 BC 的距离最远，此时ABC 为等腰三角形，满足 b=c。假若ab，我们再固定 A、C 两点，再次调整点 B 的位置。由 我们知道，ac时，ABC 面积最大。所以：222acacaba，即a（a，b）。或者换句话说，在数轴上，点a对应的点被 a、b 分别对应的两个点“夹逼”着。无论是用代数语言还是几何语言，我们都能得到结论：再次调整后|abab。只要类似于、的调整我们可以一直进行，每进行一次，三角形的三边就“接近一次”，直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。（以上只是感性理解，并不代表证明。）按照我们所普遍了解的事实，调整 3 个边尽可能的相等：7，7，6 此时三角形面积为：6 10。选 B。18（2006 年江西卷）设 O为坐标原点，F为抛物线 y24x 的焦点，A是抛物线上一点，若OAFA4，则点 A的坐标是（B ）A（2，22）B.(1，2)C.（1，2）D.(2，22)解：F（1，0）设 A（20y4，y0）则OA（20y4，y0），FA（120y4，y0），由 OA FA4y0 2，故选 B 直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两19（2006 年江西卷）P 是双曲线22xy1916的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24 和（x5）2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为（D ）A.6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F1三点共线以及 P 与 N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019 故选 B 20（2006 年辽宁卷）曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm 的(A)焦距相等 (B)离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解 析】由221(6)106xymmm知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆，由221(59)59xymmm 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A。【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。21（2006 年辽宁卷）直线2yk与曲线2222918k xyk x (,)kR且k0的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】将2yk代入2222918k xyk x得：22229418k xkk x 29|1840 xx，显然该关于|x的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，故选择答案 D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。22（2006 年 上海卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 221164xy 23（2006 年 上海卷）若曲线2y|x|1 与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 k=0,-1b1 24（2006 年浙江卷）若双曲线221xym上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m=(C)(A)21 (B)23 (C)81 (D)89 25.(2006 年湖南卷）过双曲线 M:2221yxb的左顶点 A作斜率为 1 的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M的离心率是(A )A.10 B.5 C.103 D.52 26(2006 年山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为(B)(A)2 (B)22 (C)21 (D)42 27(2006 年山东卷）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两.112,932,22115xyxyx则 z=10 x+10y 的最大值是(C)(A)80 (B)85 (C)90 (D)95 28(2006 年山东卷）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 32 .29(2006 年山东卷）双曲线 C 与椭圆22184xy有相同的焦点，直线 y=x3为 C 的一条渐近线.（1）求双曲线 C 的方程；（2）过点 P(0,4)的直线l，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合）.当12PQQAQB，且3821时，求 Q 点的坐标.29.(1)2213yx;(2)(2,0)Q.30（2006 年福建卷）已知椭圆2212xy的左焦点为 F，O 为坐标原点。（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。30本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。解：（I）222,1,1,(1,0),:2.abcFl x 圆过点 O、F，圆心 M 在直线12x 上。设1(,),2Mt则圆半径 13()(2).22r 由,OMr得2213(),22t 解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy （II）设直线 AB 的方程为(1)(0),yk xk 代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根。记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy 则21224,21kxxk xylGABFOxylGABFO直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两 AB的垂直平分线 NG 的方程为001().yyxxk 令0,y 得 222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx 点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2 31（2006 年安徽卷）如图，F为双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点。P为双曲线 C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PFOF。（）写出双曲线 C的离心率e与的关系式；（）当1时，经过焦点 F且平行于 OP的直线交双曲线于 A、B点，若12AB，求此时的双曲线方程。解：四边形OFPM是，|OFPMc，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则2|2aPMPHc，又2222222|2222PFOFcceeaaPHcaecccc，220ee。（）当1时，2e，2ca，223ba，双曲线为2222143xyaa四边形OFPM是菱形，所以直线 OP的斜率为3，则直线 AB的方程为3(2)yxa，代入到双曲线方程得：22948600 xaxa，又12AB，由2212121()4ABkxxx x得：224860122()499aa，解得294a，则2274b，所以2212794xy为所求。32(2006 年重庆卷)已知一列椭圆 Cn:x2+22nby=1.0bn1,n=1,2.若椭圆 C 上有一点 Pn使 Pn到右准线 ln的距离 d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn23 (n1);（）取 bn232nn，并用 SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且 SnSn+3 (n3).图()图 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 O F x y P M 第 22 题图 H 直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两 .1,2|2nnnnnndGPFPd故 设则右准线方程为,12nnbt .1xnexl 因此，由题意nd应满足.1111xnxede 即，解之得：12110111nnxeee 即121ne,从而对任意.23,1nbn（）设点及椭圆方程易知则出）的坐标为（1,nnnndfxP ,11nnex )11(1)(1()1(22222nnnnnccxby 得两极6131，从而易知 f(c)在（21，6131）内是增函数，而在（6131，1）内是减函数.现在由题设取,211211,2322cnnnbcnnbnnn则是增数列.又易知 432c.546131nc 故由前已证，知).3(121nSSSSnn，且 33（2006 年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D.观测点)0,6()0,4(BA、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点BA、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两 33.解（1）设曲线方程为7642 axy，由题意可知，764640 a.71 a.4 分 曲线方程为764712xy.6 分 （2）设变轨点为),(yxC，根据题意可知 )2(,76471)1(,125100222xyyx 得 036742 yy，4y或49y（不合题意，舍去）.4 y.9 分 得 6x或6x（不 合 题 意，舍 去）.C点 的 坐 标 为)4,6(，11 分 4|,52|BCAC.答：当观测点BA、测得BCAC、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.14 分 34（2006 年全国卷 II）已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AF FB（0）过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明FM AB为定值；（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf()的表达式，并求 S 的最小值 21解：()由已知条件，得 F(0，1)，0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由AF FB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1 x2 1y1(y21)将式两边平方并把 y114x12，y214x22代入得 y12y2 解、式得 y1，y21，且有 x1x2 x224 y24，抛物线方程为 y14x2，求导得 y 12x 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y12x1(xx1)y1，y12x2(xx2)y2，即 y12x1x14x12，y12x2x14x22 解出两条切线的交点 M 的坐标为(x1x22，x1x24)(x1x22，1)4 分 直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是年安徽卷若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为解椭圆的右焦点为所以抛物线的焦点为则故选年广东卷已知双曲线到右准线的距离之比等于则双曲线右支海春卷抛物线的焦点坐标为年上海春卷若则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件年全国卷已知的顶点在椭圆上顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上则的周长是年全国卷等于与抛物线交于两点过两点向抛物年四川卷直线线的准线作垂线垂足分别为则梯形的面积为则点年四川卷如图把椭圆的长轴分成等份过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点是椭圆的一个焦点则年天津卷如果双曲线的两