高三数学常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

优秀教案 欢迎下载 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】例 1 bkaann 1型。（1）1k时，1nnnabaa是等差数列，)(1banban（2）1k时，设)(1makmann mkmkaann 1 比较系数：bmkm 1kbm 1kban是等比数列，公比为k，首项为11kba 11)1(1nnkkbakba 1)1(11kbkkbaann 例 2)(1nfkaann型。（1）1k时，)(1nfaann，若)(nf可求和，则可用累加消项的方法。例：已知na满足11a，)1(11nnaann求na的通项公式。解：111)1(11nnnnaann nnaann1111 112121nnaann 213132nnaann 312123 aa 21112 aa 对这（1n）个式子求和得：naan111 nan12 优秀教案 欢迎下载（2）1k时，当bannf)(则可设)()1(1BAnakBnAann ABkAnkkaann)1()1(1 bABkaAk)1()1(解得：1kaA，2)1(1kakbB BAnan是以BAa1为首项，k为公比的等比数列 11)(nnkBAaBAna BAnkBAaann 11)(将 A、B 代入即可（3）nqnf)(（q0，1）等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111 令nnnqaC 则qCqkCnn11 nC可归为bkaann 1型 例 3 nnanfa)(1型。（1）若)(nf是常数时，可归为等比数列。（2）若)(nf可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：311a，11212nnanna（2n）求数列na的通项。解：1235375325212321212122332211nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn 1211231nnaan 例 4 11nnnamamka型。数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 考虑函数倒数关系有)11(11makann mkakann 111 令nnaC1 则nC可归为bkaann 1型。练习：1.已知na满足31a，121nnaa求通项公式。解：设)(21mamann maann21 1m 11na是以 4 为首项，2 为公比为等比数列 1241nna 121nna 2.已知na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。解：)1(21naann )2(221naann)3(232naann 2223 aa 1212aa nnnaan21)1(21 2 12nnan 3.已知na中，nnanna21且21a求数列通项公式。解：)1(231422413211122332211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 )1(21nnaan )1(4nnan 4.数列na中，nnnnnaaa11122，21a，求na的通项。解：nnnnnaaa111221 112111nnnaa 设nnab1 1121nnnbb nnnbb211 nnnbb211 12121nnnbb 23221nnnbb 32321 bb 21221bb nnbb212121321nn2121211)21(1 2112 nnnnb212212121 122nnna 5.已知：11a，2n时，12211naann，求na的通项公式。解：设)1(211BnAaBAnann 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 BAAnaann212121211 12121221BAA 解得：64BA 3641a 64 nan是以 3 为首项，21为公比的等比数列 1)21(364nnna 64231nann 【模拟试题】1.已知na中，31a，nnnaa21，求na。2.已知na中，11a，231nnaa（2n）求na。3.已知na中，11a，nnnaa221（2n）求na。4.已知na中，41a，144nnaa（2n）求na。5.已知na中，11a，其前n项和nS与na满足1222nnnSSa（2n）（1）求证：1nS为等差数列 （2）求na的通项公式 6.已知在正整数数列na中，前n项和nS满足2)2(81nnaS （1）求证：na是等差数列 （2）若nb3021na，求nb的前 n 项和的最小值 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载【试题答案】1.解：由nnnaa21，得112nnnaa 112nnnaa 2212nnnaa 212aa 2221)21(211nnnaa 12221nnnaa 2.解：由231nnaa得：)1(311nnaa 3111nnaa 即 1na是等比数列 113)1(1nnaa 13213)1(111nnnaa 3.解：由nnnaa221得12211nnnnaa 2nna成等差数列，)1(212nann 122nnnna 4.解：nnnnaaaa)2(24221 2121)2(2211nnnnaaaa（1n）2121211nnaa（1n）设21nnab 即)1(211nbbnn 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 nb是等差数列 221)1(21211nnaan 22nan 5.解：（1）12221nnnnSSSS 112nnnnSSSS 2111nnSS 1nS是首项为 1，公差为 2 的等差数列 121 nSn（2）121nSn )2(384211212)121(222nnnnnan 又 11a )2(3842112nnnnan 6.解：（1）2111)2(81aSa 21a 2n时，2121)2(81)2(81nnnnnaaSSa 整理得：0)4)(11nnnnaaaa na是正整数数列 01nnaa 41nnaa na是首项为 2，公差为 4 的等差数列 24 nan（2）31230)24(21nnbn nb为等差数列 nnSn302 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差优秀教案 欢迎下载 当15n时，nS的最小值为2251530152 数列公比为首项为例型时若可求和则可用累加消项的方法例已知满足解求的通项公式对这个式子求和得优秀教案欢迎下载时当则可设解得是以为首项为公比的等比数列将代入即可等式两边同时除以得令则可归为型例型若是常数时可数关系有令则可归为型练习已知满足解求通项公式设是以为首项为公比为等比数列已知的首项解求通项公式已知中且求数列通项公式解优秀教案欢迎下载数列中解求的通项设已知时求的通项公式解设优秀教案欢迎下载解得是以为首项公式已知在正整数数列中前项和满足求证是等差数列若求的前项和的最小值优秀教案欢迎下载优秀教案欢迎下载试题答案解由得解由得即是等比数列解由得成等差数列解设即优秀教案欢迎下载是等差数列解是首项为公差为的等差