三角函数变换及零点问题高等教育微积分_高等教育-理学.pdf

学习好资料 欢迎下载 三角函数图像变换及零点问题 一、图像变换知识点及经典例题 知识点 1：平移变换：函数 yf(x a)的图象可由 yf(x)的图象向_(a0)或向_(a0)或向_(a0)的图象可由 yf(x)的图象沿 x 轴伸长(0a0)的图象可由函数 yf(x)的图象沿 y 轴伸长(_)或缩短(_ _)为原来的_倍得到(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)例 1：题型 1：考察函数图像平移的法则 1(2009 北京)为了得到函数 ylg103x 的图象，只需把函数ylgx 的图象上所有的点（）A向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度 B向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度 C向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度 D向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度 分析：把y=lg103x 变形，可得ylg103x=lg(x+3)-1，函数图像平移的法则，应选C。题型 2：考察函数图像对称变换的法则。例 1：函数 f(x)1xx 的图象关于()Ay 轴对称 B直线 yx 对称 C坐标原点对称 D直线 yx 对称 学习好资料 欢迎下载 分析：f(-x)=-x1+x=-(x-x1)=f(x),f(x)是奇函数，即 f(x)的图像关于原点对称。应选 C 例 2：已知yf(x)的图象如图所示，则yf(1 x)的图象为()分析：因为 f(1-x)=f（-(x-1)）,故 y=f(1-x)的图象可以由 y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将 y=f(x)的图象关于 y 轴翻折，得 y=f(-x)的图象，然后将 y=f(-x)即得 y=f(-x+1)的图象.另解：因为 f(x)与 f(1-x)的函数图像关于直线 x=21对称，所以应选 A 例 3：1(2010 重庆)函数 f(x)xx214 的图象()A关于原点对称 B关于直线 yx 对称 C关于 x 轴对称 D 关于 y 轴对称 分析：因为 f(x)2x2x，因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数所以 f(x)图象关于 y轴对称应选 D 题型 3：考察函数图像伸缩变换的法则 例 1：(2012 北京海淀二模)为了得到函数 y12log2(x 1)的图象，可将函数 ylog2x 的图象上所有的点的（）A纵坐标缩短到原来的21，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度 B纵坐标缩短到原来的21，横坐标不变，再向左平移 1 个单位长度 C横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 1个单位长度 D横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位长度 分析：根据函数图像伸缩变换的法则，首先由 y=log2x 的图像，纵坐标缩短到原来的21，得到y12log2x 的函数，再将 y12log2x 向右平移一个单位即可得到y12log2(x 1)的图像。应选 A 二、函数零点知识点及经典练习题 知识点 1：函数零点的定义 (1)对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)方程f(x)0 有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_ 的图象向或向平移个单位得到函数的图象可由函数的图象向或向平移个单位得到知识点对称变换奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于对称与的图象关于直线对称曲线的图象先保留在轴的图象擦去轴左方的图象然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到知识点伸缩变换函数的图象可由的图象沿轴伸长或缩短到原来的倍得到函数的图象可由函数的图象沿轴伸长或缩短为原来的倍得到可以结合三的点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度向右平移个单位长度再向上平移个单位长度向左平移个单位长度再向下平移个单位长度向右平移个单位长度再向下平移个单位长度分析把变形可得题型考察函数图像对称变换的法则例学习好资料 欢迎下载 知识点 2：函数零点的判定 如果函数yf(x)在区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是f(x)0 的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理 知识点 3：二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象 与x轴的交点 _，_ _ 无交点 零点个数 _ _ _ 题型 1：函数零点的判断 例 1：判断函数yln x2x6 的零点个数 分析：判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧 解 方法一 设f(x)ln x2x6，yln x和y2x6 均为增函数，f(x)也是增函数 又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零点又f(x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点 方法二 在同一坐标系画出yln x与y62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数yln x2x6 只有一个零点 例 2：若定义在 R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1 时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于 4 个 B4 个 C3 个 D2 个 答案 B 由题意知f(x)是偶函数并且周期为 2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0，xR的范围内共 4 个 题型 2：利用函数的零点确定参数 的图象向或向平移个单位得到函数的图象可由函数的图象向或向平移个单位得到知识点对称变换奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于对称与的图象关于直线对称曲线的图象先保留在轴的图象擦去轴左方的图象然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到知识点伸缩变换函数的图象可由的图象沿轴伸长或缩短到原来的倍得到函数的图象可由函数的图象沿轴伸长或缩短为原来的倍得到可以结合三的点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度向右平移个单位长度再向上平移个单位长度向左平移个单位长度再向下平移个单位长度向右平移个单位长度再向下平移个单位长度分析把变形可得题型考察函数图像对称变换的法则例学习好资料 欢迎下载 例 1：已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间 1,1 上有零点，求a的取值范围 解 若a0，f(x)2x3，显然在 1，1 上没有零点，所以a0.令48a(3 a)8a224a40，解得a3 72.当a3 72时，f(x)0 的重根x3 72 1,1，当a3 72时，f(x)0 的重根x3 72 1,1，yf(x)恰有一个零点在 1,1 上；当f(1)f(1)(a1)(a5)0，即 1a08a224a40112a1f10f10，或 a0112a1f10f10，解得a5 或a1或a3 72.例 2：若函数f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，求实数a的取值范围 分析：看到x4和x2出现，可以联想到二次关系，然后根据根的存在性就可以完成该题目，需要注意的是根在什么范围内存在，易错 解 方法一(换元)设 2xt，则函数f(x)4xa2xa1 化为g(t)t2ata1(t(0，)函数f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，等价于方程t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a应满足 a24a10t1t2a0t1t2a10，解得：1a22 2；(2)当方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a0g0a10，解得1a22 2；(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10，解得a2c2b，求证：(1)a0 且3ba34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则 2|x1x2|2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，3ba0 时，a0，f(0)c0 且f(1)a20，f(1)a20，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点 综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(10 分)(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0 的两根 x1x2ba，x1x2ca32ba.|x1x2|x1x224x1x2 ba2432ba ba222.(12 分)的图象向或向平移个单位得到函数的图象可由函数的图象向或向平移个单位得到知识点对称变换奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于对称与的图象关于直线对称曲线的图象先保留在轴的图象擦去轴左方的图象然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到知识点伸缩变换函数的图象可由的图象沿轴伸长或缩短到原来的倍得到函数的图象可由函数的图象沿轴伸长或缩短为原来的倍得到可以结合三的点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度向右平移个单位长度再向上平移个单位长度向左平移个单位长度再向下平移个单位长度向右平移个单位长度再向下平移个单位长度分析把变形可得题型考察函数图像对称变换的法则例学习好资料 欢迎下载 3ba34，2|x1x2|574.(14 分)综合题 2 函数y2xx2的图象大致是()(1)A 考查函数y2x与yx2的图象可知：当x0时，方程 2xx20 有两个零点2 和 4，且22xx.(2)C 由图象知f(x)为奇函数，排除 D；又 0，2，32为方程f(x)0 的根，故选 C.的图象向或向平移个单位得到函数的图象可由函数的图象向或向平移个单位得到知识点对称变换奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于轴对称与的图象关于对称与的图象关于直线对称曲线的图象先保留在轴的图象擦去轴左方的图象然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到知识点伸缩变换函数的图象可由的图象沿轴伸长或缩短到原来的倍得到函数的图象可由函数的图象沿轴伸长或缩短为原来的倍得到可以结合三的点向左平移个单位长度再向上平移个单位长度向右平移个单位长度再向上平移个单位长度向左平移个单位长度再向下平移个单位长度向右平移个单位长度再向下平移个单位长度分析把变形可得题型考察函数图像对称变换的法则例