数列通项公式的求法还有例题详解中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

一 观察法 例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21 解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：110 nna （2）;122nnnan （3）;12nan （4）1)1(1nnann.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。二、公式法：当已知条件中有 an和 sn的递推关系时，往往利用公式：an1*1(1)(2,)nns nssnnN来求数列的通项公式。例 1：已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f(d1)=(d2)2，a 3=f(d+1)=d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，2213)2(qqbb=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1 例 2.等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（）(A)122 nan (B)42 nan(C)122 nan (D)102 nan 解析：设等差数列的公差位 d，由已知12348)()(3333adaada，解 得243da，又na是 递 减 数 列，2d，81a，)2)(1(8nan102 n，故选(D)。例 3.已 知 等 比 数 列na的 首 项11a，公 比10q，设 数 列nb的 通 项 为21nnnaab，求数列nb的通项公式。解析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，)1()1(1qqqqqbnnn 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例 4:已知无穷数列na的前n项和为nS，并且*1()nnaSnN，求na的通项公式？【解析】：Q 1nnSa，111nnnnnaSSaa，112nnaa，又112a，12nna .反思：利用相关数列na与nS的关系：11aS,1nnnaSS(2)n 与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列na的前n项和nS，满足关系1lgnSn(1,2)n.试证数列na是等比数列.例 5：已知数列na前 n 项的和为 sn23an3，求这个数列的通项公式。分析：用 an替换 sn-s1n(n2)得到数列项与项的递推关系来求。解：a1=23a1-3,a1=6 sn23an3 （nN）s1n23a1n3 (n2 且 nN)得：an23an23a1n 21 an23a1n，即1nnaa3(n2 且 nN)数列na是以 a1=6，公比 q 为 3 的等比数列.ana1q1n631n23n。例 6：已知正项数列na中，sn21（an+na1），求数列na的通项公式.法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当分析：用 sn-s1n(n2)替换 an得到数列ns与1ns的递推关系来求较易。解 sn21（an+na1），a1=21(a1+11a)a1=1 又 an sns1n(n2 且 nN)sn21（sns1n1ns1ns）2snsns1n1ns1ns sns1n1ns1ns sn2s1n21 (n2 且 nN)数列 2ns是以 a21=1 为首项，公差为 1 的等差数列。sn21（n1）1n，即 snn，当 n2 时，sns1nann1n 将 n1 代入上式得 ann1n 练习：数列na前 n 项和为nS，已知na5nS3（*nN）,求na 三.累加法：求形如1na=naf(n)的递推数列的通项公式的基本方法。（其中 f(n)能求前 n 项和即可）利用1211()()nnnaaaaaa 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()nnaaf n的递推数列通项公式的基本方法（()f n可求前n项和）.例 1.已知数列na中，1129,21,(2,*)nnaaannnN,求这个数列的通项公式。分析：由已知121nnaan，得121nnaan，注意到数列na的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列na中，1129,21,(2,*)nnaaannnN，可得：2132431221231241.21(2,*)nnaaaaaaaannnN 以上各式相加，112*(22 12(234.)(1)282nnnaaaanannnN ）（2 3-1)+.+2n-1整理得且 将 n1 代入上式得228nan 法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当练习：已知数列na中，113,2,(*)nnnaaanN，求na 例 2：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易 知,121naann,312 aa,523 aa,734 aa,121naann 各式相加得)12(7531naan)(52Nnnan 点评：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，只要)()2()1(nfff能进行求和，则宜采用此方法求解。例 3.若在数列na中，31a，naann 1，求通项na。解析：由naann 1得naann 1，所以11naann，221naann，112 aa，将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a所以 na=32)1(nn 例 4 已知无穷数列na的的通项公式是12nna ，若数列nb满足11b，(1)n，求数列nb的通项公式.【解析】：11b,112nnnbb (1)n,1211()()nnnbbbbbb =1+12+112n =1122n .反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()nnaaf n.跟踪训练 3.已知112a,112nnnaa *()nN,求数列na通项公式.3.累乘法：求形如1na=g(n)na的递推数列通项公式的基本方法。（其中g(n)可求前 n 项 积即可）。利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaana aa求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:1()nnag n a的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n可求前n项积).法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当 例 1.若满足111,(*),1nnananNan求这个数列的通项公式。分析：由11nnanan知数列na不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：111,(*),1nnananNanQ 2132*1122 3 .1 2 nnaaaaannNan且 以上各式相乘得：11231.234nanan 1nan(2)n*且nN 将 n1 代入上式得1nan 变式练习：设na是首项为 1 的正数组成的数列，且2211(1)0(12)nnnnnanaaan，则它的通项公式为na 例 2：在数列na中，1a=1,(n+1)1na=nna，求na的表达式。解：由(n+1)1na=nna得11nnaann，1aan=12aa23aa34aa1nnaa=nnn11433221 所以nan1 例 3 已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是 nnannS)12(，试求通项公式na。解析：首先由nnannS)12(易求的递推公式：1232,)32()12(11nnaaanannnnn 5112521221aannaann将上面 n1 个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1nnannnnnnnnaann 点评：一般地，对于型如1na=f(n)na类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当宜采用此方法。例四 已知11a,1()nnnan aa*()nN,求数列na通项公式.【解析】：Q1()nnnan aa,11nnanan,又有321121(0,2)nnnnaaaaaana aa=123n 12n-1=n,当1n 时11a，满足nan，nan.反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()nnag n a.跟踪训练 4.已知数列na满足11a,123123(1)(2)nnaaaanan .则na的通项公式是.4.构造新数列：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例题 5：已知数列na中满足11a，*123()nnaanN,求数列na的通项公式。分析：将一阶线性递推关系形如1(0,1)nnaAaB ABAB、为常数，可转化为 111(),111nnnnBaBBAaA aABAAaA即的一个新的等比数列或消常数项转化为212111()nnnnnnnnaaaaA aaAaa，即的一个等比数列。解法 1：数列na中11a，321nnaa（n1）)3(231nnaa 2331nnaa 数列331nnaa是以首项231a，公比为 2 的等比数列 11223nna *23nnanN 解法 2：数列na中11a，321nnaa 3212nnaa 得）（nnnnaaaa122 法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当 2112nnnnaaaa 又 21231aa 数列1nnaa是以首项212,aa 公比为 2 的等比数列 11122,2nnnnnnaaaa 即，（再利用累加法可求数列的通项公式，以下解法略）可求得*23nnanN （倒数法）例题 6:已知数列na中满足11a，131nnnaaa，求数列的通项na.分析：可将形如一阶分式递推公式1nnnCaaAaB,(A、B、C为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：111.nnBAaC aC,又可利用求形如1nnaA aB(A、B为常数)的方法来求数列的通项。解：Q数列 na中，11a，131nnnaaa 1113nnaa，即1113nnaa 数列1na 是以111,a公差为 3 的等差数列.111(1)3,32nnnnaa 即 132nan()nN 变式练习：知数列na中满足11a，1231nnnaaa，求数列的通项.例题 7：已知数列na中满足11a，122(nnnaanN）,求数列na的通项公式。分析：形如递推公式1.(1,1)nnnaq adqdd、为非零常数，q可转化为111.nnnnaaqdd dd，若令nnnabd，则转化为形如1.(nnaAaB AB、为常数）的方法来求数列的通项。(提示：将122(nnnaanN）转化为111222nnnnaa，解法略。)另外，数列通项求法还有数学归纳猜想法，可以先求出数列的前 n 项，然后观察前 n 项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明，例如：数列na满足 a1=4，na=414na（n2），求 na（理科要求，解略）；还有对数变换法，例如：形如1(0,0,01)pnnnaCaaCppfff且可转化为1lglglgnnapaC问题解决；当然还有特征方程法等等。六、待定系数法：例 10：设数列nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式 cn 法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当解：设1)1(nnbqdnac 132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba 例 11.已知数列nc中，bbc11，bbcbcnn11，其中 b 是与 n 无关的常数，且1b。求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。解析：递推公式一定可表示为)(1nncbc的形式。由待定系数法知：bbb1 )1(1,1,12122bbcbbbcbbbnn 故 数 列21bbcn是 首 项 为112221bbbbc，公 比 为b的 等 比 数 列，故111121211222bbbcbbbbbbbcnnnnn 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列na为等差数列：则cbnan，cnbnsn2（b、为常数），若数列na为等比数列，则1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn。七、辅助数列法 例 12：已知数na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na。解：121nnaa )1(211nnaa令1nnab则辅助数列nb是公比为 2 的等比数列 11nnqbb即nnnqaa2)1(111 12 nna 例 13：在数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。解析：在nnnaaa313212两边减去1na，得)(31112nnnnaaaa nnaa 1是 以112 aa为 首 项，以31为 公 比 的 等 比 数 列，法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当11)31(nnnaa，由累加法得 na=112211)()()(aaaaaaannnn=2)31(n 3)31(n11)31(=311)31(11n=1)31(1 431n=1)31(4347n 例 14：已知数列na中11a且11nnnaaa（Nn），求数列的通项公式。解：11nnnaaa 11111nnnnaaaa，设nnab1，则11nnbb 故nb是以1111ab为首项，1 为公差的等差数列 nnbn)1(1 nbann11 点评：这种方法类似于换元法,主要用于已知递推关系式求通项公式。五 构造新数列:类型 1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例 1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,3,2,1nn，代 入 上 式 得)1(n个 等 式 累 加 之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn 所以naan111 211a，nnan1231121 类型 2 nnanfa)(1 法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例 2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11 又321a，nan32 例 3:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan 34 375 26331 348 531nnnnnL。变式:（2004，全国 I,）已知数列an，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n2)，则an的通项1_na 12nn 解：由已知，得nnnnaanaaaa13211)1(32，用此式减去已知式，得 当2n时，nnnnaaa 1，即nnana)1(1，又112 aa，naaaaaaaaann 13423121,4,3,1,1，将以上 n 个式子相乘，得2!nan)2(n 类型 3 qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311 ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.变式:（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_（key:321nna）类型4 nnnqpaa 1（其中p，q均为常数，)0)1)(1(qppq）。（或1nnnaparq,其中 p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例 5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa 令nnnab 2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32 类型 5 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx 时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于 A、B的方程组）；当21xx 时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于 A、B的方程组）。法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当例 6:数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,求na 解（特征根法）：的特征方程是：02532 xx。32,121 xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa 故1)32)(323nnbaaba 练习:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1731:()443nnkey a。变式:（2006，福建,文,22）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN求数列na的通项公式；（I）解：112211()().()nnnnnaaaaaaaa 12*22.2 121().nnnnN 类型 6 递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSf a)解 法：利 用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消 去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例 7：数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.解：（1）由2214nnnaS得：111214nnnaS 于是)2121()(1211nnnnnnaaSS 所以11121nnnnaaannnaa21211.（2）应用类型 4（nnnqpaa 1（其中p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq）的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa 由1214121111aaSa.于是数列 nna2是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna 法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当 归纳法：法当已知条件中有和的递推关系时往往利用公式来求数列的通项公式例已知数列是公差为的等差数列数列数且是公比为的且的等比数列若函求数列和的通项公式解又由且得例等差数列是递减数列且则数列的通项公式是解析设等差数意又是等比数列公比为故数列是等比数列点评当已知数列为等差或等比数列时可直接利用等差或等比数列的通项公式只需求得首项及公差公比例已知无穷数列的前项和为并且求的通项公式解析又反思利用相关数列与的关系与提设条为得到数列项与项的递推关系来求求这个数列的通项公式分析用替换解且得即且数列是以中公比为的等比数列例已知正项数列求数列的通项公式分析用替换得到数列与的递推关系来求较易解又且且是以为首项公差为的等差数列即当