高三数学理科二轮复习不等式中学教育高考_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 20XX届高三数学第二轮复习 第 3 讲 不等式 一、本章知识结构：实数的性质 二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4）掌握某些简单不等式的解法。（5）理解不等式|a|b|a+b|a|+|b|。三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。不等式的性质 均值不等式 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 比较法 综合法 分析法 其它方法 一元一次不等式 一元二次不等式 分式高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 最值的计算与讨论 实际应用问题 学习必备 欢迎下载（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。四、典型例题 不等式的解法【例1】解不等式：axa12 解：原不等式可化为：2)2()1(xaxa0，即(a1)x+(2a)(x2)0.当 a1 时，原不等式与(x12aa)(x2)0 同解.若12aa2，即 0a1 时，原不等式无解；若12aa2，即 a0 或 a1，于是 a1 时原不等式的解为(，12aa)(2，+).当 a1 时，若 a0，解集为(12aa，2)；若 0a1，解集为(2，12aa)综上所述：当 a1 时解集为(，12aa)(2，+)；当 0a1 时，解集为(2，12aa)；当 a=0 时，解集为；当 a0 时，解集为(12aa，2).【例2】设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M1，4，求实数 a 的取值 范围.解：M1，4有 n 种情况：其一是 M=，此时0；其二是 M，此时0，分三种情况计算 a 的取值范围.设 f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0 时，1a2，M=1，4(2)当=0 时，a=1 或 2.当 a=1 时 M=11，4；当 a=2 时，m=21，4.(3)当0 时，a1 或 a2.设方程 f(x)=0 的两根 x1，x2，且 x1x2，那么 M=x1，x2，M1，41x1x240,410)4(,0)1(且且aff即210071803aaaaa或，解得：2a718，M1，4时，a 的取值范围是(1，718).不等式的证明【例1】已知2a，求证：1loglog1aaaa 解 1：1log1log11loglog1aaaaaaaa 1log1log1log1aaaaaa 因为2a，所以，01log,01logaaaa，所以，的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的算与讨论实际应用问题二高考要求理解不等式的性质及其证明掌握两个不扩展到些简单不等式的解法理解不等式三热点分析重视对基础知识的考查设问方式不断创新重点考查四种题型解不等式证明不等式涉及不等式应用题涉及不等式的综合题所占比例远远高于在课时和知识点中的比例重视基础知识的考查常考注突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设命题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想不等式又为研究函数提供了重要的工具不等式与函数既是知识的结合点又是数学知识与数学方法的交汇点因而在历年高考题中始终是重中之学习必备 欢迎下载 14log41log21log1log1log1log22222aaaaaaaaaaaa 所以，01loglog1aaaa，命题得证【例2】已知 a0，b0，且 a+b=1。求证：(a+a1)(b+b1)425.证：(分析综合法)：欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab41或 ab8.a0，b0，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2ab，ab41，从而得证.【例3】证明不等式nn2131211(nN*)证法一：(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立；(2)假设 n=k(k1)时，不等式成立，即 1+k131212k，,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则 当 n=k+1 时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当 nN*时，都有 1+n131212n.另从 k到 k+1 时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk又如.12112kkk 证法二：对任意 kN*，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221nnnnkkkkkkk因此 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,ab cd，则acbd （若,ab cd，则acbd ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd ，则acbd（若0,0abcd ，则abcd）；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的算与讨论实际应用问题二高考要求理解不等式的性质及其证明掌握两个不扩展到些简单不等式的解法理解不等式三热点分析重视对基础知识的考查设问方式不断创新重点考查四种题型解不等式证明不等式涉及不等式应用题涉及不等式的综合题所占比例远远高于在课时和知识点中的比例重视基础知识的考查常考注突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设命题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想不等式又为研究函数提供了重要的工具不等式与函数既是知识的结合点又是数学知识与数学方法的交汇点因而在历年高考题中始终是重中之学习必备 欢迎下载 4若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如（1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba 则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_（答：）；（2）已知11xy ，13xy ，则3xy的取值范围是_（答：137xy）；（3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是_（答：12,2）二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小（答：当1a 时，11loglog22aatt（1t 时取等号）；当01a 时，11loglog22aatt（1t 时取等号）；（2）设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答：pq）；（3）比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小（答：当01x 或43x 时，1+3logx2log 2x；当413x 时，1+3logx2log 2x；当43x 时，1+3logx2log 2x）三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17字方针。如（1）下列命题中正确的 A、1yxx 的最小值是 2 B、2232xyx的最小值是 2 C、423(0)yxxx 的最大值是24 3 D、423(0)yxxx 的最小值是24 3（答：C）；（2）若21xy，则24xy的最小值是_（答：2 2）；（3）正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为_（答：32 2）；4.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc 时，取等号）；（3）若0,0abm，则的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的算与讨论实际应用问题二高考要求理解不等式的性质及其证明掌握两个不扩展到些简单不等式的解法理解不等式三热点分析重视对基础知识的考查设问方式不断创新重点考查四种题型解不等式证明不等式涉及不等式应用题涉及不等式的综合题所占比例远远高于在课时和知识点中的比例重视基础知识的考查常考注突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设命题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想不等式又为研究函数提供了重要的工具不等式与函数既是知识的结合点又是数学知识与数学方法的交汇点因而在历年高考题中始终是重中之学习必备 欢迎下载 bbmaam（糖水的浓度问题）。如 如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_（答：9,）五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn 11111121kkkkkkkkk 如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2)已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3）已知,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc；（5）已知Rcba,，求证：2222a bb c22()c aabc abc；(6)若*nN，求证：2(1)1(1)nn 21nn；(7)已知|ab，求证：|abababab；（8）求证：2221111223n。六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：|1x x 或2x ）；（2）不等式2(2)230 xxx 的解集是_（答：|3x x 或1x ）；（3）设函数()f x、()g x的定义域都是 R，且()0f x 的解集为|12xx，()0g x 的解集为，则不等式()()0f x g x 的解集为_（答：(,1)2,)）；（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是_.（答：817,)8）七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式25123xxx（答：(1,1)(2,3)）；（2）关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_（答：),2()1,(）.八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（答：xR）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|1|3xx （答：(,1)(2,)）（4）两边平方：如 若不等式|32|2|xxa 对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。（答：4 3）的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的算与讨论实际应用问题二高考要求理解不等式的性质及其证明掌握两个不扩展到些简单不等式的解法理解不等式三热点分析重视对基础知识的考查设问方式不断创新重点考查四种题型解不等式证明不等式涉及不等式应用题涉及不等式的综合题所占比例远远高于在课时和知识点中的比例重视基础知识的考查常考注突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设命题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想不等式又为研究函数提供了重要的工具不等式与函数既是知识的结合点又是数学知识与数学方法的交汇点因而在历年高考题中始终是重中之学习必备 欢迎下载 九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log13a，则a的取值范围是_（答：1a 或203a）；（2）解不等式2()1axx aRax（答：0a 时，|x0 x；0a 时，1|x xa或0 x；0a 时，1|0 xxa 或0 x）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0 bax 的解集为)1,(，则不等式02baxx的解集为_（答：（1,2）十一含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0|abab|abab；ab、异号或有0|abab|abab.如设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa 十二不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 如（1）设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc 时，c的取值范围是_（答：21,）；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_（答：1a）；（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围（答：（712,312）；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（答：3 2,)2）；（5）若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：12m ）2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.如 已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_（答：1a）3).恰成立问题 若不等式 Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论最值的算与讨论实际应用问题二高考要求理解不等式的性质及其证明掌握两个不扩展到些简单不等式的解法理解不等式三热点分析重视对基础知识的考查设问方式不断创新重点考查四种题型解不等式证明不等式涉及不等式应用题涉及不等式的综合题所占比例远远高于在课时和知识点中的比例重视基础知识的考查常考注突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设命题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想不等式又为研究函数提供了重要的工具不等式与函数既是知识的结合点又是数学知识与数学方法的交汇点因而在历年高考题中始终是重中之