高中数学三角函数知识点与题型总结中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 三角函数典型考题归类 1根据解析式研究函数性质 例 1（天津理）已知函数()2cos(sincos)1f xxxxxR，（）求函数()f x的最小正周期；（）求函数()f x在区间384，上的最小值和最大值【相关高考 1】（湖南文）已知函数2()12sin2sincos888f xxxx 求：（I）函数()f x的最小正周期；（II）函数()f x的单调增区间【相关高考 2】（湖南理）已知函数2()cos12f xx，1()1sin 22g xx （I）设0 xx是函数()yf x图象的一条对称轴，求0()g x的值（II）求函数()()()h xf xg x的单调递增区间 2根据函数性质确定函数解析式 例 2（江西）如图，函数2cos()(0 0)2yxxR，的图象与y轴相交于点(03)，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点02A，点P是该函数图象上一点，点00()Q xy，是PA的中点，当032y，02x，时，求0 x的值【相关高考 1】（辽宁）已知函数2()sinsin2cos662xf xxxxR，（其中0），（I）求函数()f x的值域；（II）（文）若函数()yf x的图象与直线1y 的两个相邻交点间的距离为2，求函数()yf x的单调增区间（理）若对任意的aR，函数()yf x，(xaa，的图象与直线1y 有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数()yf xxR，的单调增区间【相关高考 2】（全国）在ABC中，已知内角A，边2 3BC 设内角Bx，周长为y（1）求函数()yf x的解析式和定义域；（2）求函数()yf x的最大值 3三角函数求值 例 3（四川）已知 cos=71,cos(-)1413，且0 2,()求 tan2 的值；（）求 .yx 3 O A P 学习必备 欢迎下载【相关高考 1】（重庆文）已知函数 f(x)=)2sin(42cos2xx.（）求 f(x)的定义域；（）若角 a 在第一象限，且）。（求afa,53cos【相关高考 2】(重庆理)设 f(x)=xx2sin3cos62（1）求 f(x)的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足323)(f，求 tan54的值.4三角形中的函数求值 例 4（全国）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 sinabA（）求 B 的大小；（文）（）若3 3a，5c，求 b（理）（）求cossinAC的取值范围【相关高考 1】（天津文）在ABC中，已知2AC，3BC，4cos5A （）求sin B的值；（）求sin 26B的值【相关高考 2】（福建）在ABC中，1tan4A，3tan5B （）求角C的大小；文（）若AB边的长为17，求BC边的长理（）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长 5三角与平面向量 例 5（湖北理）已知ABC的面积为3，且满足 0ACAB6，设AB和AC的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数2()2sin3cos 24f的最大值与最小值【相关高考 1】（陕西）设函数 baxf，其中向量Rxxbxma),1,2sin1(),2cos,(，且函数 y=f(x)的图象经过点2,4，（）求实数 m 的值；（）求函数 f(x)的最小值及此时x的值的集合.【相关高考2】（广东）已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)（文）(1)若0 ACAB，求c的值；（理）若A 为钝角，求 c 的取值范围；(2)若5c，求 sin A的值 6三角函数中的实际应用 例 6（山东理）如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D现测北 2B2A120在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 得BCDBDCCDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB 7三角函数与不等式 例 7（湖北文）已知函数2()2sin3cos 24f xxx，4 2x，（I）求()f x的最大值和最小值；（II）若不等式()2f xm 在4 2x，上恒成立，求实数m的取值范围 8三角函数与极值 例 8（安徽文）设函数 Rxtttxxtxxf,4342cos2sin4cos232 其中t1，将 xf的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.三角函数易错题解析 例题 1 已知角的终边上一点的坐标为（32cos,32sin），则角的最小值为（）。A、65 B、32 C、35 D、611 例题 2 A，B，C 是ABC 的三个内角，且BA tan,tan是方程01532 xx的两个实数根，则ABC 是（）A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 例题 3 已知方程01342aaxx（a 为大于 1 的常数）的两根为tan，tan，且、2,2，则2tan的值是_.例题 4 函数f xaxb()sin的最大值为 3，最小值为 2，则a _，b _。例题 5 函数 f(x)=xxxxcossin1cossin的值域为_。例题 6 若 2sin2222sinsin,sin3sin则的取值范围是 例题 7 已知 ，求y cossin6的最小值及最大值。例题 8 求函数22tan()1tanxf xx的最小正周期。例题 9 求函数3)4cos(222sin)(xxxf的值域 例题 10 已知函数0,0)(sin()(xxf)是 R 上的偶函数，其图像关于点 M)0,43(对称，且在区在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 间0，2上是单调函数，求和的值。1.（2011 年北京高考 9）在ABC中，若15,sin43bBA ，则a .【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA 所以55 2,13sin34aa 2.（2011 年浙江高考 5）.在ABC中，角,A B C所对的边分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB(A)-12 (B)12 (C)-1 (D)1【答案】D【解析】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA.3.（2011 年全国卷 1 高考 7）设函数()cos(0)f xx，将()yf x的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）13 （B）3 （C）6 （D）9【解析】由题意将()yf x的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍,得2()3kkZ,解得6k,又0,令1k,得min6.4.（2011 全国卷），设函数（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C）y=f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线 x=4对称（D）y=f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线 x=2对称 解析：解法一：f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x.所以 f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线 x=2对称。故选D。5.（2011 年江西高考 14）已知角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 4,py是角终边上一点，且在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 2 5sin5，则 y=_.答案：8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。斜边对边sin=552162yy8 y 6（2011 年湖南高考 9）【解析】若()()6f xf对xR恒成立，则()sin()163f，所以,32kkZ，,6kkZ.由()()2ff，（kZ），可知sin()sin(2)，即sin0，所 以(21),6kkZ，代 入()s i n(2fxx，得()s i n(2)6fxx，由3222262kxk剟，得263kxk剟，故选 C.7（2011 四川高考 8）解析：由222sinsinsinsinsinABCBC得222abcbc，即222122bcabc，1cos2A，0A，故03A，选 C 1.【解析】：（）因为1)6sin(cos4)(xxxf1)cos21sin23(cos4xxx 1cos22sin32xxxx2cos2sin3)62sin(2x所以)(xf的最小正周期为（）因为.32626,46xx所以于是，当6,262xx即时，)(xf取得最大值 2；当)(,6,662xfxx时即取得最小值1 2.（2011 年浙江高考 18）已知函数()sin()3f xAx，xR，0A，02.()yf x的部分图像，如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,)A.在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载（）求()f x的最小正周期及的值；（）若点R的坐标为(1,0)，23PRQ，求A的值.2.（）解：由题意得，263T因为(1,)PA在sin()3yAx的图像上 所以sin()1.3又因为02，所以6（）解：设点 Q 的坐标为(0,xA).，由题意可知02363x，得04x，所以(4,)QA，连接 PQ,在PRQ 中，PRQ=23,由余弦定理得22222229(9)1cos2.22 3.9RPRQPQAAAPRQRP RPA ，解得 A2=3。又 A0，所以 A=3。3.（2011 年山东高考 17）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos2cos2cosACcaBb，（）求sinsinCA的值；（）若1cos,24Bb，求ABC的面积 S。解：（）在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得，cos2cos2sinsincossinACCABB，即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB 则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCB sin()2sin()ABCB，而ABC ，则sin2 sinCA，即sin2sinCA。另解 1：在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb可得，cos2 cos2 coscosbAbCcBaB 由余弦定理可得22222222222222bcaabcacbacbcaac ，整理可得2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。另解 2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论coscos,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbA由cos2cos2cosACcaBb可得在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 cos2 cos2 coscosbAbCcBaB即coscos2 cos2 cosbAaBcBbC，则2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。（）由2ca及1cos,24Bb可得2222242cos44,caacBaaaa则1a，2c，S21115sin1 21 cos224acBB ，即154S。4.（2011 年安徽高考 16）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高.解：ABC180，所以 BCA，又12cos()0BC，12cos(180)0A，即1 2cos0A，1cos2A，又0 A180 ，所 以A 60 .，在 ABC中，由 正 弦 定 理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又ba，所以 BA，B45，C75，BC 边上的高 ADACsinC2sin752sin(4530)2(sin 45 cos30cos 45 sin30)2321312()22222.5.（2011 年全国卷高考 18）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知sincsin2 sinsinaACaCbB.()求 B；（）若075,2,Abac求，.【解析】(I)由正弦定理得2222acacb 由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，因此45B （II）sinsin(3045)Asin30 cos 45cos30 sin 45264 故 在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 sin2613sin2AabB sinsin6026sinsin45CcbB .6.（2011 年安徽高考 17）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c且满足sincos.cAaC（I）求角C的大小；（II）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角,A B的大小 解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A 所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（I）知3.4BA于是 3sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,46612623ABAAAAAAAAA 从而当即时，2sin()6A取最大值 2 综上所述，3sincos()4AB的最大值为 2，此时5,.312AB 7（2011 年广东高考 16）已知函数1()2sin()36f xx，xR（1）求5()4f的值；（2）设,0,2，10(3)213f，6(32)5f，求cos()的值 16解：（1）515()2sin()2sin243464f（2）110(3)2sin(3)2sin232613f，即5sin13，16(32)2sin(32)2sin()3625f，即3cos5，,0,2，212cos1 sin13，24sin1 cos51235416cos()coscossinsin13513565 8（2011 年广东高考 18）已知函数73()sin()cos()44f xxx，xR（）求()f x的最小正周期和最小值；（）已知4cos()5，4cos()5 ，02 求证：2()20f （）解析：7733()sincoscossincoscossin sin4444f xxxxx2sin2cosxx2sin()4x，()f x的在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求学习必备 欢迎下载 最小正周期2T，最小值min()2f x ）证明：由已知得4coscossinsin5，4coscossinsin5，两式相加得2coscos0，02 ，cos0，则2 22()24sin204f 9.（2011 年江苏高考 17）在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA 求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.解析：（1）sin()2cos,sin3cos,63AAAAA（2）22221cos,3,2cos8,2 23AbcabcbcAcac 由正弦定理得：2 2sinsinccAC，而22 2sin1 cos,3AA1sin3C。（也可以先推出直角三角形）在区间上的最小值和最大值相关高考湖南文已知函数求函数的最小正周期函数的单调增区间相关高考湖南理已知函数设是函数图象的一条对称轴求的值求函数的单调递增区间根据函数性质确定函数解析式例江西如图函数的图象与轴知函数其中求函数的值域文若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为求函数的单调增区间理若对任意的函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点试确定的值不必证明并求函数的单调增区间相关高考全国在中已知内角边设内重庆文已知函数求的定义域若角在第一象限且求相关高考重庆理设求的最大值及最小正周期若锐角满足求的值三角形中的函数求值例全国设锐角三角形的内角的对边分别为求的大小文若求理求的取值范围相关高考天津文在中已知求