数学立体几何证明方法总结及经典3例高三专题复习立体几何中学教育高考_中学教育-高考.pdf

烟台芝罘区数学立体几何证明方法总结及经典3例 2016 年高三专题复习-立体几何（4）例1：平行类证明【平行类证明方法总结】线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB，在AE、BD 上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ 面BCE.证法一：如图（1），作PM AB交BE 于M，作QN AB交BC 于N,连接MN,因为面ABCD 面ABEF=AB,则AE=DB.又AP=DQ,PE=QB.又PM ABQN,AEPEABPM,BDBQDCQN.DCQNABPM.PM QN.四边形PMNQ 为平行四边形.PQ MN.又MN面BCE，PQ面BCE，PQ 面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC 或BC 的延长线于点K，连结EK.ADBC,QKAQQBDQ.又正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB，且AP=DQ，PEAPQKAQ.则PQ EK.EK面BCE，PQ面BCE.PQ 面BCE.例2：垂直类证明 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等 【例】如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，于EFG，求证：AESB，AGSD 证明：SA平面ABCD，SABC ABBC，BC 平面SAB 又AE 平面SAB，BCAE SC 平面AEFG，SCAE AE 平面SBC 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角AESB 同理证AGSD 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】基本公式 若),(),(222111zyxbzyxa，则 212121zzyyxxba；222222212121|,|zyxbzyxa；212121zzyyxxba 222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba 夹角公式：.|cos2121nnnn 距离公式：|nnABCDd【例】已知两个正四棱锥PABCD 与QABCD的高都为 2，AB4（1）证明：PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到面QAD的距离 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分别以直线CADBQP，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图 1），易得(2 2 02)(0 2 22)AQPBuuu ruuu r，1cos3AQ PBAQ PBAQ PBuuu r uuu ruuu r uuu rguuu r uuu r，所求异面直线所成的角是1arccos3（3）由（2）知，点(02 2 0)(2 22 2 0)(0 04)DADPQuuu ruuu r，设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQADuuu rguuu rg，nn得200 xzxy ，取x1，得(112)，n=点P到平面QAD的距离2 2PQd uuu rgnn 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角立体几何证明经典习题 平行题目 1、P是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA的中点.求证：PC面BDQ.2、如图（1），在直角梯形 P1DCB 中，P1D/BC，CD P1D，且 P1D=8，BC=4，DC=46，A 是 P1D 的中点，沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置（如图（2），使二面角 PCD B 成 45，设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点.求证：AF/平面 PEC；平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角垂直题目 3、如图 2，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC 求证：BC平面PAC 4、如图 2，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于 求证：AH平面 BCD 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角向量法解立体几何题目 5、在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1已知2AB，BB12，BC1，BCC13求二面角AEB1A1的平面角的正切值 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角立体几何证明经典习题答案 1、证明：如图，连结AC交BD 于点O.ABCD 是平行四边形，AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ 内，且OQ是APC 的中位线，PCOQ.PC在平面BDQ 外，PC平面BDQ.2、证明：如图，设 PC 中点为 G，连结 FG，则 FG/CD/AE，且 FG=21CD=AE，四边形 AEGF 是平行四边形 AF/EG，又AF平面 PEC，EG平面 PEC，AF/平面 PEC 3、证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D 平面PAC平面PBC，且两平面交 于PC，AD 平面PAC，且ADPC，AD平面PBC 又BC 平面PBC，ADBC PA平面ABC，BC 平面ABC，平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角PABC ADPA=A，BC平面PAC 4、证明：取AB的中点，连结CF，DF ACBC，CFAB ADBD，（等腰三角形三线合一）DFAB 又CFDFFI，AB 平面CDF CD 平面CDF，CDAB 又CDBE，BEABBI，CD 平面ABE，CDAH AHCD，AHBE，CDBEEI，AH 平面BCD 5、以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系 由于BC1，BB12，AB2，BCC13，平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角 在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，2）、B1（，2，）、31022c，、13 3022C，设302Ea，且1322a ，由EAEB1，得10EA EB uu u r uuurg，即3322022aa g，233(2)2044a aaa ，13022aa g，即12a 或32a（舍去）故3 1022E，由已知有1EAEBuuu ruuur，111B AEBuuuu ruuur，故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量11B Auuuu r与EAuuu r的夹角 因11(0 02)B ABAuuuu ruu u r，31222EA uuu r，故11112cos3EA B AEA B Auuu r uuuu rguuu r uuuu r，即2tan2 平行的证明方法三线间平行的传递性三角形中位线平行四边形对边平行且相等梯形的上下底平行棱柱圆柱的侧棱平行且相等两平行面被第三面所截交线平行成比例相似证平行等等线面平行的证明方法面外线与面内线平行两面平行则形与正方形所在平面相交于在上各有一点且求证面证法一如图作交于作交于连接因为面面则又又四边形为平行四边形又面面面证法二如图连结并延长交或的延长线于点连结又正方形与正方形有公共边且则面面面例垂直类证明垂直类形圆直径对的圆周角平行线射影定理三垂线定理线面垂直面面垂直等例如图所示为正方形平面过且垂直于的平面分别交于求证证明平面平面又平面平面平面同理证例向量法解立体几何类量法解立体几何类公式总结基本公式若则夹角