辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三上学期第一次质量监测数学试题含解析.pdf

沈阳市第沈阳市第 120 中学中学 2023-2024 学年度上学期学年度上学期高三年级第一次质量监测高三年级第一次质量监测数学试题数学试题满分：满分：150 分分时间：时间：120 分钟分钟命题人：董贵臣命题人：董贵臣佟艳丽佟艳丽校对人：高越校对人：高越一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.设集合20,201xMxNx xxx，则MN为（）A.01xxB.01xxC.02xxD.02xx2.已知2:0p xx，那么命题 p 的一个必要条件是（）A.01xB.11x C.1223xD.122x3.给定函数 1 eRxfxxa a，若函数 f x恰有两个零点，则a的取值范围是（）A.21ea B.0a C.210eaD.21ea 4.若函数()sin(2)6f xx的图像向左平移（0）个单位，所得的图像关于y轴对称，则当最小时，tanA.33B.3C.33D.35.函数 f x是定义在R上的偶函数，其导函数为 fx，若对任意的正实数x，都有 2()0 xfxf x恒成立，且21f，则使 22x f x 成立的实数x的集合为（）A.2,2B.,2C.2,D.,22,6.已知14cos()46(0)，则3cos(2)2sincos（）A.2 721B.2 1133C.2 1133D.2 7217.已知()f x是定义在R上的偶函数，且当0 x 时2()1xf xx，若对任意实数1,22t，都有()(1)0f taf t恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(,3)(0,)B.(1,0)C.(0,1)D.(,1)(2,)8.已知函数()f x在定义域上是单调函数，且()2020 2021xf f x，当()sin3cosg xxxkx在,2 2 上与()f x在 R 上的单调性相同时，实数k的取值范围是（）A.(,1 B.(,3 C.1,3D.3,)二二、多选题多选题（本题共本题共 4 小题小题，共共 20 分分，每题选项全对给每题选项全对给 5 分分，少选或漏选给少选或漏选给 2 分分，错选错选、多多选和不选给选和不选给 0 分）分）9.已知函数 f(x)1x3x，则（）A.f(x)的定义域为3，1B.f(x)为非奇非偶函数C.f(x)的最大值为 8D.f(x)的最小值为 210.已知函数()cos()(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()2cos 23f xxB.函数()f x的图象关于点,06对称C.x R，5()6f xfxD.函数()f x在0,2上无最小值11.已知正实数,x y满足23xy，则（）A.98xy B.424 2xyC.22948yx D.122 333xyx12.已知直线2yx 分别与函数xye和lnyx的图象交于点1122,A x yB xy，则下列结论正确的是A.122xxB.122xxeeeC.1221lnln0 xxxxD.122ex x 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若命题：“0 xR，使20010mxmx”是假命题，则实数 m 的取值范围为_14.已知函数2212,1()4,1xaxxf xxa xx，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的取值范围是_.15.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 f xfx的实数根x叫做函数 f x的“躺平点”.若函数 xg xex，h xlnx，20232023xx的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为_ 16.对于给定的区间D，如果存在一个正的常数T，使得xD 都有xTD，且 f xTf x对xD 恒成立，那么称函数 f x为D上的“T增函数”.已知函数 2ln1g xxx，若函数 2h xg xm x是1,上的“3 增函数”，则实数m的取值范围是_.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分）分）17.数列 na的前n项和为nS，14a，143nnaS.（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列1nnbna，求数列 nb的前n项和nT.18.已知函数()elnxf xx（1）求曲线()yf x在点(1(1)f，处的切线方程；（2）设()()g xfx，讨论函数()g x在1,)上的单调性；19.在ABC中，已知1cos2coscosBAB4sinsinBA（1）求tantanAB的值；（2）求1tan A1tan B1tanC的最小值20.已知函数21()sin3sincos(0)2f xxxx，()yf x的图象与直线2y 相交，且两相邻交点之间的距离为.（1）求()f x的解析式，并求()f x的单调区间；（2）已知函数()cos()23g xmxm，若对任意12,0,x x，均有12()()f xg x，求m的取值范围.21.近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒 1 个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：小时）变化的关系如下：当04x时，816yx；当410 x时，152yx.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用.（1）若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？（2）若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 a（14a）个单位的消毒剂，要使接下来的 4小时中能够持续有效消毒，试求 a 的最小值.22.已知函数 esinxf xax，aR（1）研究函数()f x在区间 1,)上的单调性；（2）若对于0,)x，恒有()(1)1f xa x，求a的取值范围沈阳市第沈阳市第 120 中学中学 2023-2024 学年度上学期学年度上学期高三年级第一次质量监测高三年级第一次质量监测数学试题数学试题满分：满分：150 分分时间：时间：120 分钟分钟命题人：董贵臣命题人：董贵臣佟艳丽佟艳丽校对人：高越校对人：高越一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.设集合20,201xMxNx xxx，则MN为（）A.01xxB.01xxC.02xxD.02xx【答案】A【解析】【分析】化简集合 A，B，根据交集计算即可.【详解】因为200,1),20(0,2)1xMxNx xxx，所以0,1MN，故选：A2.已知2:0p xx，那么命题 p 的一个必要条件是（）A.01xB.11x C.1223xD.122x【答案】B【解析】【分析】首先解不等式20 xx，得到不等式的解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到结果.【详解】2001xxx，运用集合的知识易知，A 中01x是 p 的充要条件；B 中11x 是 p 的必要条件；C 中1223x是 p 的充分条件；D 中122x是 p 的既不充分也不必要条件.故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判段，正确解题的关键是理解充分必要条件的定义.3.给定函数 1 eRxfxxa a，若函数 f x恰有两个零点，则a的取值范围是（）A.21ea B.0a C.210eaD.21ea 【答案】C【解析】【分析】由函数与方程的思想将函数 f x恰有两个零点转化成函数 1 exg xx与函数ya图象有两个交点，画出图像数形结合即可得210ea.【详解】若函数 f x恰有两个零点，即方程1 exxa有两个不相等的实数根，即函数 1 exg xx与函数ya图象有两个交点，易知 e1 e2 exxxgxxx，令 0gx，解得2x ，所以当,2x 时，0gx，函数 g x在,2 上单调递减，当2,x 时，0gx，函数 g x在,2 上单调递增，所以 g x在2x 取得最小值212eg ，易知当=1x时，0g x，且1x 时 0g x，在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：由图可知当210ea时，函数 1 exg xx与函数ya图象有两个交点.故选：C4.若函数()sin(2)6f xx的图像向左平移（0）个单位，所得的图像关于y轴对称，则当最小时，tanA.33B.3C.33D.3【答案】B【解析】【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y轴对称列式,再求最小值.【详 解】将 函 数()sin(2)6f xx的 图 像 向 左 平 移（0）个 单 位 后,得 到 函 数sin2()sin(22)66yxx,因为其图像关于y轴对称,所以262k,Zk,即23k,Zk,因为0,所以0k 时,取得最小值3,此时tantan33.故选 B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.5.函数 f x是定义在R上的偶函数，其导函数为 fx，若对任意的正实数x，都有 2()0 xfxf x恒成立，且21f，则使 22x f x 成立的实数x的集合为（）A.2,2B.,2C.2,D.,22,【答案】A【解析】【分析】根据 2()0 xfxf x的特征，构造 2h xx f x，研究其单性与奇偶性，又21f，得到2222hf，将 22x f x，转化为 2h xh，利用单调性与奇偶性求解.【详解】设 2h xx f x，所以 222h xx fxxf xx xfxf x，因为0 x 时，都有 x fx+2f（x）0 恒成立，所以 0h x，所以 2h xx f x在0，上是增函数，又因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数所以 2h xx f x也是定义在 R 上的偶函数所以 2h xx f x在0，上是减函数，又因为21f，所以2222hf，又因为 22x f x，即 2h xh.所以222xx 故选：A6.已知14cos()46(0)，则3cos(2)2sincos（）A.2 721B.2 1133C.2 1133D.2 721【答案】C【解析】【分析】先求出1sincos9，再求出sincos0，再求sincos的值即得解.【详解】14cos()46，7sincos3，将两边同时平方得：227sincos2sincos9，则1sincos09，0，sin0，cos0，211sincos(sincos)12sincos3，23cos(2)sin22sincos2 1192sincossincossincos33113，故选：C【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知灵活选用方法求解.7.已知()f x是定义在R上的偶函数，且当0 x 时2()1xf xx，若对任意实数1,22t，都有()(1)0f taf t恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(,3)(0,)B.(1,0)C.(0,1)D.(,1)(2,)【答案】A【解析】【分析】探讨给定函数在0,上的单调性，结合偶函数的性质脱去法则“f”，再借助一次函数的性质求解作答.【详解】依题意，当0 x 时，23111xf xxx，f x在0,上单调递增，又()f x是定义在R上的偶函数，即有 f x在0，上单调递减，且它的图像关于y轴对称，对1,22t，(11)1)0f taf tftaffafttt，于是得1tat，两边平方整理得22210ata，令2()221g tata，因此2211()221022(2)2 2210gaagaa ，解得3a 或0a，所以实数a的取值范围是(,3)(0,).故选：A8.已知函数()f x在定义域上是单调函数，且()2020 2021xf f x，当()sin3cosg xxxkx在,2 2 上与()f x在 R 上的单调性相同时，实数k的取值范围是（）A.(,1 B.(,3 C.1,3D.3,)【答案】B【解析】【分析】依题意可得，()2020 xf x 为定值，设()2020 xf xt，则()2020 xf xt，不难得到()f x在R上为增函数，再对()g x求导，利用三角恒等变换将()g x化简为()2sin6g xxk，又 g x在,2 2 上与()f x在R上单调性相同，所以,2 2x 时，()0g x恒成立，即2sin06xk恒成立，最后根据三角函数的性质求出参数k的取值范围；【详解】解：因为函数()f x在定义域上是单调函数，则 yfx没有零点，所以 0yfx或 0yfx恒成立，又x R，()2020 2021xf f x，所以()2020 xf x 为定值，设()2020 xf xt，则()2020 xf xt，不难得到()f x在R上为增函数，因为()sin3cosg xxxkx，所以()cos3sin2sin6g xxxkxk，又 g x在,2 2 上与()f x在R上单调性相同，所以,2 2x 时，()0g x恒成立，即2sin06xk恒成立，因为2,633x 则3sin,162x，2sin3,26x 所以3k 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，三角函数的性质的应用，属于中档题.二二、多选题多选题（本题共本题共 4 小题小题，共共 20 分分，每题选项全对给每题选项全对给 5 分分，少选或漏选给少选或漏选给 2 分分，错选错选、多多选和不选给选和不选给 0 分）分）9.已知函数 f(x)1x3x，则（）A.f(x)的定义域为3，1B.f(x)为非奇非偶函数C.f(x)的最大值为 8D.f(x)的最小值为 2【答案】ABD【解析】【分析】先求得函数定义域为3,1，AB 对，对表达式同时平方，求得 2fx的范围，进一步判断 f x范围即可【详解】由题设可得函数的定义域为3,1，则选项 AB 正确；f2(x)42223xx4224(1)x，而 024(1)x2，即 4f2(x)8，f(x)0，2f(x)22，f(x)的最大值为 22，最小值为 2，则选项 C 错误，D 正确.故选：ABD10.已知函数()cos()(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()2cos 23f xxB.函数()f x的图象关于点,06对称C.x R，5()6f xfxD.函数()f x在0,2上无最小值【答案】BC【解析】【分析】由图可知2A，2，进而结合,212待定系数得()2cos 26f xx，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由图可知，2A，5212122T，所以2T，即2，所以()2cos(2)f xx，再将,212代入得22cos 212，即1cos6，所以2,6kkZ，即2,6kkZ，因为0，所以6，即()2cos 26f xx，故 A 选项错误；令2,62xkkZ，解得,62kxkZ，即函数的对称中心为,062kkZ，所以当0k 时，函数()f x的图象关于点,06对称，故 B 正确；因为x R，5()6f xfx，即函数()f x关于512x对称，由函数图像易知正确，故 C 正确；当0,2x时，72,666x，所以当26x，即512x时函数()f x取得最小值2，故 D错误.故选：BC11.已知正实数,x y满足23xy，则（）A.98xy B.424 2xyC.22948yx D.122 333xyx【答案】ABD【解析】【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解.【详 解】因 为23xy，且,x y均 为 正 实 数，所 以 由 基 本 不 等 式 得232 2xyxy，即29,422 422 24 28xyxyx yxy，当且仅当2xy时等号成立，A,B正确；由不等式2222abab，得224222xyxy，所以222242xyxy，即22948yx，当且仅当2xy时等号成立，C错误（或22222221113994324444228yxxyyyy）；因为23xy，所以112222 3223333333xxxyxyxyyxyxyxyx，当且仅当3yx时等号成立，D 正确故选：ABD12.已知直线2yx 分别与函数xye和lnyx的图象交于点1122,A x yB xy，则下列结论正确的是A.122xxB.122xxeeeC.1221lnln0 xxxxD.122ex x【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得1122,A x yB xy的中点坐标为1,1，从而可判断 A；利用基本不等式可判断 B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断 C.【详解】函数xye与lnyx互为反函数，则xye与lnyx的图象关于yx对称，将2yx 与yx联立，则1,1xy，由直线2yx 分别与函数xye和lnyx的图象交于点1122,A x yB xy，作出函数图像：则1122,A x yB xy的中点坐标为1,1，对于 A，由1212xx，解得122xx，故 A 正确；对于 B，12121222222xxxxxxeeeeeee，因为12xx，即等号不成立，所以122xxeee，故 B 正确；对于 C，将2yx 与xye联立可得2xxe，即20 xex，设 2xf xex，且函数为单调递增函数，01 0210f ，112211320222fee，故函数的零点在10,2上，即110 x2，由122xx，则212x，122112211lnlnlnlnxxxxxxxx1222122lnlnln0 xxxxxxx，故 C 正确；对于 D，由12122xxx x，解得121x x，由于12xx，则121x x，故 D 错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若命题：“0 xR，使20010mxmx”是假命题，则实数 m 的取值范围为_【答案】0,4【解析】【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意可知：命题：Rx，210mxmx.是真命题，当0m 时，结论显然成立；当0m时，则2040mmm，解得04m；故答案为：0,4.14.已知函数2212,1()4,1xaxxf xxa xx，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的取值范围是_.【答案】3,)【解析】【分析】分别讨论1x 和1x 时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得 f x的最小值，解不等式可得所求范围.【详解】函数2212,1()4,1xaxxf xxa xx，可得1x 时，4424f xxaxaaxx，当且仅当2x 时，f x取得最小值4a，由1x 时，2212f xxaa，若1a 时，f x在1，递减，可得 1132f xfa，由于 f x的最小值为 1f，所以1324aa，解得3a；若1a时，f x在xa处取得最小值与题意矛盾，故舍去；综上得实数 a 的取值范围是3,，故答案为：3,.【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.15.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 f xfx的实数根x叫做函数 f x的“躺平点”.若函数 xg xex，h xlnx，20232023xx的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为_【答案】bac【解析】【分析】根据“躺平点”新定义，可解得1a,0c=，利用零点存在定理可得1,eb,即可得出结论.【详解】根据“躺平点”定义可得 g aag，又 e1xgx；所以ee1aaa，解得1a；同理 1h xx，即1lnbb；令1()lnm xxx，则211()0 xxm x，即()m x为0,上的单调递增函数，又1(1)10,(e)10emm ，所以()m x在1,e有唯一零点，即1,eb；易知 2023x，即 202320232023ccc，解得0c=；因此可得bac.故答案为：bac.16.对于给定的区间D，如果存在一个正的常数T，使得xD 都有xTD，且 f xTf x对xD 恒成立，那么称函数 f x为D上的“T增函数”.已知函数 2ln1g xxx，若函数 2h xg xm x是1,上的“3 增函数”，则实数m的取值范围是_.【答案】3,【解析】【分析】先分析出 2u xxm x为偶函数，2ln1g xxx 为奇函数，所以 2h xg xm x为偶函数，且 2ln1g xxx 在 R 上单调递增，分0m，20m 与2m 三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数m的取值范围.【详解】设 2u xxm x，则 2u xxm x定义域为 R，且 22uxxmxxm xu x，故 2u xxm x为偶函数，2ln1g xxx 定义域为 R，且 22ln1ln1gxxxxxg x ，故 2ln1g xxx 为奇函数，所以 2h xg xm x为偶函数，且 2ln1g xxx 在0,上单调递增，故 2ln1g xxx 在 R 上单调递增，若0m，则画出 2u xxm x的图象如下：即 2u xxm x在1,0上单调递减，在0,上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：2h xg xm x在1,0单调递减，在0,上单调递增，因为 2h xg xm x为偶函数，所以有 3h xh x，满足 3 增函数，若20m，画出 2u xxm x的图象如下：则 2u xxm x在1,2m上单调递减，在,02m上单调递增，在0,2m上单调递减，在,2m上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：2h xg xm x在1,2m单调递减，在,02m上单调递增，在0,2m上单调递减，在,2m上单调递增，因为 2h xg xm x为偶函数，所以只需任取11,2mx，使得 113h xh x，由对称性可知，存在21,12mxx ，使得 21h xh x，且212xx，故满足 113h xh x，故满足 3 增函数，若2m 时，画出 2u xxm x的图象如下：则 2u xxm x在1,0上单调递增，在0,2m上单调递减，在,2m上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：2h xg xm x在1,0上单调递增，在0,2m上单调递减，在,2m上单调递增，因为 2h xg xm x为偶函数，故只需满足任取11,0 x ，使得 113h xh x，由对称性可知：存在21xxm，使得 21h xh x，所以要满足1213xxxm，结合2m ，解得：32m ，综上：实数m的取值范围是3,.故答案为：3,.【点睛】复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分）分）17.数列 na的前n项和为nS，14a，143nnaS.（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列1nnbna，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）4nna；（2）132489nnnT.【解析】【分析】（1）利用递推关系可求得214nnaa，再得到12,a a关系后即可证得数列 na为等比数列，由此可得通项公式；（2）由（1）可得nb，利用错位相减法可求得结果.【小问 1 详解】由143nnaS得：2143nnaS，两式相减得：2113nnnaaa即214nnaa由14a，2143aS得：216a，故0na，且，故214nnaa且214aa，数列 na是以4为首项，4为公比的等比数列，14 44nnna；【小问 2 详解】由（1）可得：1 4nnbn，12312 43 44 441 4nnnTnn ，234142 43 44 441 4nnnTnn ，两式作差得：21123141 4381 444481 41 4nnnnnTnn1141681 433nnn183243nn，132489nnnT.18.已知函数()elnxf xx（1）求曲线()yf x在点(1(1)f，处的切线方程；（2）设()()g xfx，讨论函数()g x在1,)上的单调性；【答案】（1）ee0 xy-=；（2）()g x在1,)上单调递增.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即得；（2）利用函数的单调性与导数符号之间的关系可得出结论.【小问 1 详解】因为()elnxf xx，所以(1)0f，即切点坐标为(1)0，又e()e lnxxfxxx，切线斜率(1)efk 切线方程为e(1)yx，即ee0 xy-=；【小问 2 详解】因为 e()e lnxxg xfxxx所以 211elnxxgxxxx，令 211lnxh xxxx，则 22233311112220 xxxxh xxxxxx，()h x在1,)上单调递增，()(1)1h xh，()0g x在1,)上恒成立，()g x在1,)上单调递增.19.在ABC中，已知1cos2coscosBAB4sinsinBA（1）求tantanAB的值；（2）求1tan A1tan B1tanC的最小值【答案】（1）2（2）2 73【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式和同角三角函数关系对题给条件化简即可得到tantanAB的值；（2）利用（1）的结论和均值定理即可求得1tan A1tan B1tanC的最小值【小问 1 详解】在ABC中，因为1cos2coscosBAB4sinsinBA，所以22coscoscosBAB4sinsinBA，即2coscosBA4sinsinBA，即2cossin4cossinBAAB，即tantanAB2；【小问 2 详解】在ABC中，tan2tanAB，则 A、B 均为锐角，则tan0B；因为CAB，所以tantan tanCABAB tantan1tantanABAB23tan12tanBB；故1tan A1tan B1tanC12tan B1tan B212tan3tanBB274tan6tanBB76tanB2tan3B272tan6tan3BB2 73，（当且仅当tanB 72时取等号）所以1tan A1tan B1tanC的最小值为2 7320.已知函数21()sin3sincos(0)2f xxxx，()yf x的图象与直线2y 相交，且两相邻交点之间的距离为.（1）求()f x的解析式，并求()f x的单调区间；（2）已知函数()cos()23g xmxm，若对任意12,0,x x，均有12()()f xg x，求m的取值范围.【答案】（1）12sin(2)6yx，2,()63kkkZ（2）4k【解析】【详解】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 f x化为12sin 26x，利用正弦函数的周期公式可得的值，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 f x的递增区间；（2）对任意12,0,x x，均有 12f xg x，等价于 f x的最小值不小于 g x的最大值，即1022m 或022m，由此求得m的取值范围.详解：（1）与直线 y=2 的图象的两相邻交点之间的距离为.则 T=.所以单调增区间(2)由，得，当时，要使恒成立，只需，解得当时，要使恒成立，只需，矛盾.综上的取值范围是点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数恒等变换，进行考查三角函数的图象与性质是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒 1 个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：小时）变化的关系如下：当04x时，816yx；当410 x时，152yx.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用.（1）若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？（2）若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 a（14a）个单位的消毒剂，要使接下来的 4小时中能够持续有效消毒，试求 a 的最小值.【答案】（1）6 小时（2）2【解析】【分析】（1）根据题意得到()4f xy，再分类讨论04x与410 x两种情况下，4f x 的解集情况，从而得解；（2）根据题意得到从第一次喷洒起，经过 x（610 x）小时后，浓度为 g x，从而利用基本不等式求得 4 22g xaa，进而解不等式4 224aa即可得解.【小问 1 详解】因为一次喷洒 4 个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为324,04()46202,410 xf xyxxx，当04x时，32446x，解得24x；当410 x时，2024x，解得48x；综上求得28x，所以一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达 6 小时.【小问 2 详解】设从第一次喷洒起，经过 x（610 x）小时后，浓度为18()2 5126(6)g xxax88101221212aaxaxaxx，因为610 x，所以120 x，所以81224 2212axaaax，即 4 22g xaa，当且仅当81212axx，即122 2xa时，等号成立，又14a，则6124 2122 2122 210a，满足610 x，等号成立，所以当接下来的 4 小时中能够持续有效消毒时，可得4 224aa，解得218a，又14a，24a，所以 a 的最小值为 2.【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误22.已知函数 esinxf xax，aR（1）研究函数()f x在区间 1,)上的单调性；（2）若对于0,)x，恒有()(1)1f xa x，求a的取值范围【答案】（1）在 1,)上单调递增（2）(,2【解析】【分析】（1）()f x求导后对x的范围进行讨论，研究其单调性；（2）构造函数()esin1xh xxax，根据(0)0h对a的范围进行讨论进而求出结果.【小问 1 详解】函数()f x的定义域为R()ecosxfxx，当1,2x 时，cos0,1x，而21e,eex，所以()0fx，当,2x时，cos 1,1x，而02eee1x，所以()0fx所以当 1,)x 时，ecos0 xx，即()0fx综上，()f x在 1,)上单调递增【小问 2 详解】()(1)1f xa x即esin10 xxax，设()esin1xh xxax，当0a 时，结合（1）知，()h x在0,)上是增函数，则()(0)0h xh，所以当0a 时，不等式显然成立当0a 时，ecosxh xxa，令()ecosxg xx，则()esinxg xx，当0,)x时，e1x，sin 1,1x，所以()esin0 xg xx，所以()g x为增函数，()ecos(0)2xg xxg当02a时，()0h x，从而有()(0)0h xh，此时不等式恒成立当2a 时，令()0h x，即ecos0 xxa，由前面分析知，函数()ecosxh xxa在0,)上是增函数，且(0)20ha，1(1)ecos(1)(1)10ahaaaaa 故存在唯一的0(0,1)xa，使得00h x当00,xx时，()0h x，()h x为减函数且(0)0h所以0(0)0h xh与()0h x 恒成立矛盾综上所述，a的取值范围为(,2