2015湖南考研数学二真题及答案.docx

2015湖南考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，则.(2) 函数 在内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点(D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】，故有可去间断点.(3)设函数,若在处连续则:( )(A) (B)(C) (D)【答案】(A)【解析】时，时，在处连续则：得得：，答案选择A(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。 (5) 设函数满足 ，则与 依次是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令，则，从而变为.故，因而.故选（D）.(6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B)(C) (D) 【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以故选B. (7) 设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为： ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】，由，故或，同时或。故选（D）(8) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为： ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。选（A）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 则 【答案】48【解析】 . (10)函数在处的阶导数_【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得：(11) 设连续，若，则【答案】【解析】 已知，求导得，故有则. (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则=。【答案】【解析】由题意知：，由特征方程：解得所以微分方程的通解为：代入，解得：解得：(13)若函数由方程确定，则=。【答案】【解析】当时，则对该式两边求偏导可得。将（0,0,0）点值代入即有则可得(14) 若阶矩阵的特征值为，其中为阶单位阵，则行列式.【答案】21【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以。三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分）设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值. 【答案】【解析】方法一：因为，那么，可得：，所以，方法二：由题意得由分母，得分子，求得c；于是由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式，求得(16) (本题满分10分)设A>0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值。【答案】【解析】由旋转体的体积公式，得 由题求得(17) (本题满分11分)已知函数满足，求 的极值。【答案】极小值【解析】两边对y积分，得，故，求得，故，两边关于x积分，得由，求得所以.令，求得.又，当时，为极小值.(18) (本题满分10分)计算二重积分，其中【答案】【解析】(19)(本题满分 11 分)已知函数，求零点的个数？【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递增故为唯一的极小值,也是最小值.而在,故从而有考虑，所以.所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？【答案】【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则，从而，所以，即又所以，所以当时，所以还需要冷却min.(21) (本题满分10分) 已知函数在区间上具有2阶导数，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明。【证明】根据题意得点处的切线方程为令，得因为所以单调递增，又因为所以，又因为所以又因为，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递增所以所以，即，所以，结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵且.(1) 求的值；(2) 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知，(23) (本题满分11 分)设矩阵相似于矩阵.（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角阵.【答案】（1）；（2）【解析】(I)(II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，