数列上下极限的不同定义方式及相关性质中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 一、.数列的上极限、下极限的定义 01 1.用数列的聚点”来定义.01 2.用数列的确界”来定义.02 3.数列上、下极限定义的等价性.02 二、.数列的上、下极限的性质及定理 04 参考文献.14 英文摘要.15 数列上下极限的不同定义方式及相关性质-完整版学习资料分享-定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的 重要作用.又成为数学分析中重要的理论部分本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式 及其等价证明和一些相关定理.关键词：数列、上极限、下极限.聚点、函数 一.数列的上极限.下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式：1.用“数列的聚点”来定义 定义1若在数a的任一邻域内都含有数列 兀 的无限多项，则称a为数列 乙 的一个聚点.例1数列(-ir)有聚点-1与1；n+数列抽手有-1,-芈,0,芈和1五个聚点；数列丄只有一个聚点0；n 常数列1,1,丄只有一个聚点1.定义2有界数列 暫 的最大聚点皎与最小聚点、分别称为数列 兀 的上极 限和下极限，记作 ay=lim;a小=limx”例 2 ih(-l)/r=1,nm(-l)=-1“TZ 7?+l 三 n+厂.nrt n7t 11 m sin=1 Jim sin=一1“Tz 4 k 4 lim =lim-=0 Tg n ii 2.用“数列的确界”来定义 定义3任给数列兀,定义 定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减lim xn=lim sup兀;limxM=lim inf 母(1)HT+X”TOC 立”去左”7 炷“定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减分别称为数列兀的上极限和下极限.若定义1中的d可允许是非正常点P或Y0,贝IJ：任一点列 兀 至少有一个聚 点，且存在最大聚点与最小聚点不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为 -HC（-OO）.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限+oc（Y）例 3 lim(-1)+1)/7=-HO,lim(-1)5=Jim(l)nw=s 口 T+*3.数列上.下极限定义的等价性 下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即 a=lim xn=limsupjx；TY 也 a-=limxn=liminfxA)忙忑“TOO kn 证明：如果limsup以=+8,由于supxA关于川单调递减，所以sup兀=+s,T8 k9x kn kn Pn N 于是，可取 nx eN(自然数)sl.x 1，又可取 n2 eN,n2 n,s.t.x 2,-,所以，得到数列暫的子列卜；+00（+00）.这就证明了+S为数列的聚点，且 为最大聚点大山此可得 a t=lim xn=+co=limsiip耳);如果 limsupx,V+cc,则 limsupx.=-s 或实数.i kn”7 kn 设d数列兀的任一聚点，则必有耳的子列，V心饨 叫 SsiipxJ,kn =limxn/supxj,a n 所以，数列儿的最大聚点满足 lim x 易见,y,+oo）中最多含有数列兀中的有限多项因 此，37VeN,当kN时，有忑vy,从而,当nN时，有 定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减完整版学习资料分享一定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减sup“S”kn 由此可得 lira sup兀 n 令ythxS,推岀 limsiipl*n“ty 综合上述，有 a.=lim xn=limsupx).“T+H TH 畑 类似 的可证明或应用上式于-暫可证得 a.=limx,=liminfix.丿 OC如k 如果lim infxj=-oc,山于infjx 关于单调递减，所以infx&=Y,对“TY kn k9i k 5N.于是，可取自然数山使得XnX使得 S-oo,则 lim infx =+oo 或实数.HT-oo kiui/r-x kn 设a数列”的任一聚点，则必有%,的子列，兀”6/(/-HO).任意的n是自 然数当时,有 x infx,*ktin a lim inf 忑 n-4-x k it 所以，数列的最小聚点满足 另一方面，对任意的y limx”易见，(-s,y中最多含有数列 兀 中的有限多项.定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减山此可得 lim infxk y.令 y-limx 1,推出|91 综合上述，有 lim infxk lim a j、=Hm 斗=lim inf 忑)応忑 HTZ k9l 下面二、数 设有数列性质1 性质2 lim xn limx“(2)lim xn=A lim xn=lim xn=A/r-+x“T+x 因此，存在N是自然数当kN时，有兀y，从而，当nN时，有 例4用上下极限理论证明：若耳是有界发散数列，则存在兀的两个子列收 敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是于是存在兀的两个子列 T+30“TOO x妆,心,使lhn f=Yirn x,Inn=lim x”,即存在xtl的两个子列收敛于 不同的极限.性质3（保不等式性质）设有界数列兀,儿满足：存在（0,当nNo时有兀S儿，则 lim xn 4-30 f!”lim.v/r 0,当nN时有aalx0时 0,当yn,川fWC 如此应用阻心（儿再根据（3）,此即 从而*鱼叫 S lim anp 性质4设兀no,儿“5=12），则 lim兀鱼卫片S lim俎儿limx/f-lim片 HTOO TOC“TOC f+X lim x”lim yn lim xnyn 0)TV XT+30 ll-X 证明：分三种情况讨论 1、若linLy/r0,则儿中有无穷多项大于零，作新序列 则儿TO,且匝儿=匝需，对xj y；应用（4）有 因收敛,lim xn=lim x“=lim xn,“T+3C 題V)叮=lhn(xnynr=lhnxnyn(因兀 0)lim暫儿=lim兀lim儿 訂 T+W+X/IW-X 在限制条件下，lim xn 0,因此充分大时有xn 0,这时等式明显成立.3、若 Y v lim yn 0,使得lim（儿+C）0,+x lim xnyn+lim 忑C=lim 忑 lim ytl+lim 兀】C n4-X”J2+-X n4-W”T 0C /*00 lim xnyn=lim xn-lim yn,证毕.”f+x”fhOC HT+00 性质5在不发生（土s）+（q：s）情况下，有如下不等式成立:定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减所以1、lim xf1+lim 儿 lim(xn+yn)lim xn+lim yn X”/rX ”TY+3C r 2、limxn+lim yn-+-X HT+X 事实上，这里的等号可以不发生，如对 片=0,2,0,2,0,2,这时+儿=121,2,12 limxn+limyn=0 口 TOO lim(xn+儿)=2 v lim x/r+lim 儿=3 例6证明：若耳收敛,则对任意儿（“=12），有 lhnc(xn+yn)=lhnxn+lhn 儿 证：我们已有lim兀+lim儿 lim(xn+儿)lim +lim儿“TH 訂 TY”T+X”TTO Hf+X 注意暫收敛,因此萼胞=您和 lim x”+lim yn lim(xn+儿)lim A;,+lim yn B卩成立.訂TOO+X HT+R f+X F1T7O 例 7 证明：(1)limxn+lim ytl lim(xfl+儿)limxl2+lim yn“TOC TOO f X f A f+X(2)lim x,.+lim yn lim(xn+yn)证：先证:(1)设 lim xn=a HT+30 则依上极限定义，V 0,数列兀中至多只有N项大于d+G而有穷项小于 即对,至多有N项小于-a-,而有穷项大于T7+G 所以依下极限定义，有 lim(-xw)=-a,即 lim(-xj=_ lim xn.“TOO;rx n+x 设 limxtl=a,lim yn=b,lim(x/r+y/t)=a+b “TOO fOC TOO 定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减 依下极限定义，Vw0,BN,当”N 时，有暫+儿 vc+不妨设 =*（d+Z?-C）,则当nN时，xn+yH c+a+b-用反证法，设cN时，xna-f当nN2时ynb-f 2 2 由此推出矛盾，故“+b Sc,即 limy+lim 儿 lini（xfr+y”），TOO FC TOO 又令dn=xn+yn,则xn=dn+（-xn）.于是HmJn+lim（-yJoo 由于 lim（-儿）=-lim 儿，所以 lim d”oo x/?f+ac (2)以-儿及-兀分别代替题(1)中的儿与儿，有!lm（-儿）+lim（-兀）S lim-（xn+yn）x“TOC 111 一 lim x”一 lim 儿 一 lim（心+儿）4-X f+9C/r4-X f+3C lim x”+lim yn 0,则 川 f H “TOC lim +3C%=1；（7）定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减证明：若lim%=0,贝归子列绻,lim an=0,于是有 lim=+oc,这；A:4-x u _ _ 1 这样应当有lim色0,然后用上下极限等价定义来证 明.性质8证明：以笫二式为例给出证明 首先=/?0T 其中方为有限数或*0 儿，当儿0；0,当儿“lim zn=lim yn=b 川 fHT+3C lim q=lim耳儿 由 xfl0,zn0W 竺耳 Inn a lim lim xnzn 0,(n=12)且limajlim=1,贝!)数列%收敛.lhnxyn=lhnyn.定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减 WORD 格式可编辑专业资料 其次设 lim yn=b0）,就可得证.最后 lim 儿=-co,口T+3C”这时即y“T_oO,且“H0（否则出现0S型），显然 下面定理指出，对一切数列 3”的上、下极限必存在（包括如）定理1（1）有界数列兀至少有一个聚点，存在最大聚点与最小聚点，且这两个聚点 都为实数，它们分别为上极限丽&与下极限lim暫；TV（2）如果数列兀无上界，则 丽,此时+为数列兀的最大聚点；如果数列有上界b 若fa=lim x”，此时 TOO f 4*X lim xn=YC;若BcKbb中含有数列 兀 的无限项，则数列匕J以实数为最大聚点，它 就是lim兀；J+3C（3）如果数列兀无下界，则11巴心=6,此时YC为数列暫的最小聚点；noo 如果数列兀有下界d 若V/?aci,b中含有数列仪的有限项，则limxn=+aa,b中含有数列 兀 的无限项,则数列陆 以实数为最小聚点，它 就是lim%,.TOO 证明：（1）因数列暫有界，令x“I“w N u-M.M=a，勺.将q,勺两等分,则必有一等分含数列兀的无限多项，记此区间为a2tb2f则q加二必2】,且 対_“2=細_务）=；定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减再将色仇两等分，则必有一等分含数列耳的无限多项，记此区间为心切,则a2,b2aiyb3f 且 6_他=扣2_他）=臂;如此下去得到一个递降闭区间套：4，也=他,优二=%仇=；M%一濟=干 T 伙*）/且每个闭区间咳,仇都含有数列的无限多项.由闭区间套定理知，3lxoeQ,对心的任何开领域立0,7.J1 B(x0;s)=(x0-S.XQ+s)N 时，%如ug-,Xo+)uU,从而（/中含有数列兀的无限多项，所以为数列兀的聚点 至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间的等分 为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为ak.bky 若右边一个含数 列的有限项，则取左边的子区间为血心于是，所选畋磁都含有数列兀的无限 多项，同时在线,仇的右边都至多含有数列的有限项，其中 2 ak=（一 咳“）=科（勺一q）t 伙乜）X 再根据闭区间套定理知，3lx0 V）%$2 下证为数列兀的最大聚点.（反证）若不然，设另有数列兀的聚点尤 兀，令5=扣；-忑）0,则有 3（尤;6=（兀-5兀+莎）内都含有数列暫的无限多项，但当鸟充分大时，B（x；;d）=（x；-&兀+）完全落在绰厶的右边，这与上述血也的右边都至多含有 数列的有限项矛盾 类似可证最小聚点的存在性，或用-兀代替仪(2)如果数列坞无上界，则仪必有子列.%,Mlim心=-HO,因此，+s 为数列占的最大聚点，从而=+eo.如果数列兀有上界b 定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减定理2 若faba,b中含有数列耳的有限项，则根据极限为YO的定义可知,虹1=一8=皿兀；TH Y 若3abayb中含有数列耳的无限项，由的结果,数列xnCa9b有 最大聚点，显然它也是数列暫的最大聚点，即为Jiin AW:(3)类似(2)可证明，或用-xtl代替兀 lim xn=a lim xn=lim xn=a “T+X HT+X TOC 证明：(=)设lim兀则对的任一邻域(/，,当nN时,xneU,从而a为数列x讣的一个聚点.则存在d的开邻域匕，的开邻域匕，wqn匕=0由于 lim xn=a,故mNwN,当n N时,A;e Ua,所以Ub,从而 S 中至多含有数 T+00 列的有限项(如 K，召)因此，“不为数列兀的聚点.综上可知，d为数列乙的唯一聚点，所以 xn=a=hmxn 或者，因lim xn=a 故兀”的任何子列 也必有lim兀=a.因此，数列乙有唯一的聚点，从而 lim xu=a=lim xn.(=max n1,.,l 时,有XGU,这就证明T lim xn=a.定理3设兀为有界数列，则下列结论等价：（1）代为数列兀的上极限；（2）V-0,BN N,s.t.当 n N 时，有 大，数列兀中大于a的项至多有限个；大，数列匕”中大于b 的项有无限多个.证明：（1）=（2）：因代为数列兀的聚点，故（）,在（代；）=（d大-,dX+）内含有数列 兀”的无限多项xH）l/ij n2 大一 乂因代为数列暫的最大聚点，故在如；+的右边至多只含有数列的有限 多项（否则必有数列暫的聚点Ad大+,这与 大为数列兀的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为，则当nN时，有兀 O,H.B（a大;）=（a大-禺a大+）ut/.由于 a=a+a）：,根据（3）,兀”中大于a=a,-有无限多项.因此（竹；-，a.+）中含有数列的无限项，从而U中含有数列”的无限项，这就证明了 大为数列 兀的个聚点.另一方面，“*；,记=丄（a_a大）.由（3）知,数列/”中大于a犬+（a犬）2 的项至多有限个.故d不为数列兀的一个聚点，这就证明了 人一为数列兀的最大聚 点，即为数列兀的上极限.定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减定理4设捡为有界数列，则下列结论等价：（1）小为数列兀”的下极限；（2）V0,3/VeN,5.r.当 nN 时，有叫 小一；且存在子列%,S.I.%Vd小+，以 wN；（3）%小，数列俎中小于b的项至多有限个；W 小，数列兀中小于 的项有无限多个.证明：类似定理3证明，或用-%代替 从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证 明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极 限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献：11华东师范大学数学系编.数学分析（上册）北京:高等教育出版社，2001 2 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）北京:髙等教冇出版，1979 3 李成章，黄玉民编.数学分析（上册）.科学岀版社，1998 4 程其義.实变函数与泛函分析基础M.2版.北京：髙等教冇出版社，2003 5 朱成熹.近世实分析基础M.天津:南开大学出版社，1993 6 匡继昌.实分析与泛函分析M.北京:高等教冇出版社，2002 7 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上M.北京:髙等教育出版社，1997 8 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:髙等教育出版社，1993 9 吴良森，毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）北京:髙等教冇出版社，2004 10 胡适耕，张显文箸.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008 111陈纪修，於崇华著数学分析第二版（下册）北京:高等教育出版社.2004定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减The sequence about limit with gathers the row on lower limit collection Hao Li-jiao 20071115065 2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematics professions 1 class Abstract：Sequence on,under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role,also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of nature Key words:Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function 定义数列上下极限定义的等价性二数列的上下极限的性质及定理参考文献英文摘要数列上下极限的不同定义方式及相关性质完整版学习资料分享摘要数列的上下极限的概念是极限概念的延伸由于它们在正项级数敛散性的判别法中的相关定理关键词数列上极限下极限聚点函数一数列的上极限下极限的定义关于数列的上极限下极限的定义常见的有如下两种形式用数列的聚点来定义定义若在数的任一邻域内都含有数列兀的无限多项则称为数列乙的一个聚点例数列个聚点且存在最大聚点与最小聚点不难证明正上下界点列的最大小聚点为于是无上下界点列有非正常上下极限例口数列上下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上下极限定义的等价性即也忙忑证明如果以由于关于川单调递减