数列求和及求通项方法总结中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前 n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312nnna，求前n项和nS 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 形如)(1knnan，可裂项成)11(1knnkan，列出前n项求和消去一些项 形如knnan1，可裂项成)(1nknkan，列出前n项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11annnan，求前n项和nS 4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列122nann，求前n项和nS 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法 7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法 累加法和累乘法最基本求通项公式的方法 求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例通过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析 1、关系法：适用于)(nfsn型 求解过程：)2()1(111nssnsaannn 例：已知数列na的前n项和为12nnSn，求数列na的通项公式 2、累加法：适用于)(1nfaann广义上的等差数列 求解过程：若)(1nfaann 则)1(12faa )2(23faa )1(1nfaann 所有等式两边分别相加得：111)(nknkfaa 则111)(nknkfaa 例：已知数列na满足递推式)2(121nnaann，的通项公式，求naa11.累加 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例3、累乘法：适用于nnanfa)(1广义上的等比数列 求解过程：若nnanfa)(1，则)(1nfaann 则)1().2()1(12312nfaafaafaann，所有等式两边分别相乘得：111)(nknkfaa 则111)(nknkfaa 例：已知数列na满足递推式)2(21naannn，其中的通项公式，求naa31 4、待定系数法：适用于)(1nfpaann 形如)1,0,;,(1pbpbpbpaann为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1kapkann，展开得kpkpaann 1，因为系数相等，所以解方程bkpk得1pbk，所以有：)1(11pbappbann，这样就构造出了一个以11pba为首项，公比为p的等比数列1pban。从而求得na的通项公式为积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例1)1(11pbppbaann 例：已知数列na满足递推式)2(121naann，其中的通项公式求naa,21 形如)1,0,;,(1pbpcbpcbnpaann为常数型 形如)1,0,;,(21pbpdcbpdcnbnpaann为常数型 形如)1,;0,;,(1qpqpmdqpmdqmpaannn为常数型 形如)1,;0,;,(12qpqpqpqapaannn为常数型 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 5、逐差法：形如)1,0,(1pbpbpbpaann为常数，可以把n换成1n有bpaann 1，两式相减得)(11nnnnaapaa，这样就构造出了一个以12aa 为首项，公比为p的等比数列nnaa 1，再运用累加法求出na的通项公式 例：已知数列na满足递推式)2(121naann，其中的通项公式求naa,21 6、对数变换法：适用于)1(1qpaaqnn型 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例求解过程：当1p时，)1(1qaaqnn，等式两边取对数有：)ln()ln(1qnnaa，根据对数的运算法则有：)ln()ln(1nnaqa，这样就构造了一个以)ln(1a为首项，公比为q的等比数列)ln(na。从而求得na的通项公式为11nqnaa 例：已知数列na满足递推式21nnaa，21a，求数列na的通项公式 当1p时，)1(1qpaaqnn，等式两边取对数有：)ln()ln(1qnnpaa，根据对数的运算法则有：)ln(ln)ln(1nnaqpa，再运用待定系数法求出通项。例：已知数列na满足递推式312nnaa，21a，求数列na的通项公式 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：已知数列na满足递推式421nnnaaa，21a，求数列na的通项公式 8、换元法：适用于含根式的递推公式 例：已知数列na满足递推式nnnaaa1211，21a，求数列na的通项公式 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前 n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明 例：已知数列na满足递推式98)32()12()1(8121annnaann，求数列na的通项公式 积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 综合练习：1、已知数列na满足递推式)2(121naann，其中154a（1）求1a，2a，3a；（2）求数列na的通项公式；（3）求数列na的前n项和nS；变式：若)2(21nnaann？若)2(221nnaann？若)2(23221naannn？思考：若)2(231nnaann？2、设在数列na中，21a，nnnaaa2221，求数列na的通项公式；积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 3、数列na的前n项和为nS，1a=1，)(21NnSann（1）求数列na的通项公式；（2）求数列 nna的前n项和nT；4、已知nS是数列na的前n项和，231a，22a，),2(012311NnnSSSnnn。（1）求证1na时等比数列；（2）求数列na的前n项和nS；积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例 5、已知11a，)2(111nnaaannn，求na的通项公式及前n项和nS 6、已知数列na满足31a，21211naaannn（1）求2a，3a，4a；（2）求数列na的通项公式；积的通项的前项和均可用错位相减法例已知数列求前项和裂项相消法将通项分解然后重新组合使之能消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项形如可裂项成列出前项求和消去一些项例已知数列求前项和分组求和法把一类由对应相加等差数列求和公式的推广一数列求通项公式的常见方法有关系法累加法累乘法待定系数法逐差法对数变换法倒数变换法换元法数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是把所求数列已知数列的前项和为求数列的通项公式累加法适用于广义上的等差数列求解过程若则累加所有等式两边分别相加得则例已知数列满足递推式求的通项公式累乘法适用于广义上的等比数列求解过程若则则所有等式两边分别相乘得则例