八年级证明题辅助线典型做法训练中学教育高考_中学教育-初中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 八年级数学培优训练题 补形法的应用 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形 1.补成三角形 例 1.如图 1，已知 E 为梯形 ABCD 的腰 CD 的中点；证明：ABE 的面积等于梯形 ABCD 面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形 例 2 如图 2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现 CF2CE，再证 BDCF 即可。略证：3.补成直角三角形 例 3.如图 3，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC90，F、G 分别是 AD、BC 的中点，若 BC18，AD8，求 FG 的长。分析：从B、C 互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长 BA、CD，要求 FG，需求 PF、PG。略解：图 3 学习必备 欢迎下载 4.补成等边三角形 例 4.图 4，ABC 是等边三角形，延长 BC 至 D，延长 BA 至 E，使 AEBD，连结 CE、ED。证明：ECED 分析：要证明 ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长 BD 到 F，使 BFBE，连结 EF。略证：二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形 例 5.如图 5，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，并且 E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF 和 GH 互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形 GEHF 是平行四边形。略证：2.补成矩形 例 6.如图 6，四边形 ABCD 中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求 AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：3.补成菱形 图 6 繁难若通过适当的补形来进行即添置适当的辅助线将原图形填补成一个完整的特殊的简单的新图形则能使原问题的本质得到充分的显示通过对新图形的分析使原问题顺利获解这种方法我们称之为补形法它能培养思维能力和解题技巧补成三角形例如图已知为梯形的腰的中点证明的面等于梯形面的一半分析过一顶点和一腰中点作直线交底的延长线于一点构造等面的三角形这也是梯形中常用的辅助线添法之一略证补成等腰三角形例如图已知求证分析因为角是轴对的中点若求的长分析从互余考虑将它们变为直角三角形的角故延长要求需求略解图学习必备欢迎下载补成等边三角形例图是等边三角形延长至延长至使连结证明分析要证明通常要证但难以实现这样可采用补形法即延长到使连结略证学习必备 欢迎下载 例 7.如图 7，凸五边形 ABCDE 中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积 分析：延长 EA、CB 交于 P，根据题意易证四边形 PCDE 为菱形。略解：4.补成正方形 例 8.如图 8，在ABC 中，ADBC 于 D，BAC45，BD3，DC2。求ABC 的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。略解：5.补成梯形 例 9如图 9，已知：G 是ABC 中 BC 边上的中线的中点，L 是ABC 外的一条直线，自 A、B、C、G 向 L 作垂线，垂足分别为 A1、B1、C1、G1。求证：GG141(2AA1BB1CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过 D 作 DD1L 于 D1，则 DD1既是梯形 BB1C1C 的中位线，又是梯形 DD1A1A 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：三、练习 1、在ABC 中，AC=BC，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E，又 AE=12BD，图 7 图 8 图 9 繁难若通过适当的补形来进行即添置适当的辅助线将原图形填补成一个完整的特殊的简单的新图形则能使原问题的本质得到充分的显示通过对新图形的分析使原问题顺利获解这种方法我们称之为补形法它能培养思维能力和解题技巧补成三角形例如图已知为梯形的腰的中点证明的面等于梯形面的一半分析过一顶点和一腰中点作直线交底的延长线于一点构造等面的三角形这也是梯形中常用的辅助线添法之一略证补成等腰三角形例如图已知求证分析因为角是轴对的中点若求的长分析从互余考虑将它们变为直角三角形的角故延长要求需求略解图学习必备欢迎下载补成等边三角形例图是等边三角形延长至延长至使连结证明分析要证明通常要证但难以实现这样可采用补形法即延长到使连结略证学习必备 欢迎下载 求证：BE 平分ABC。2、如图，已知：在ABC 内，BAC=60，ACB=40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 分别是BAC、ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP 3、已知：BAC=90，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=CDE 4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为 S 和，求：S2t2的值。A B Q C P A B C D E A B C P M 繁难若通过适当的补形来进行即添置适当的辅助线将原图形填补成一个完整的特殊的简单的新图形则能使原问题的本质得到充分的显示通过对新图形的分析使原问题顺利获解这种方法我们称之为补形法它能培养思维能力和解题技巧补成三角形例如图已知为梯形的腰的中点证明的面等于梯形面的一半分析过一顶点和一腰中点作直线交底的延长线于一点构造等面的三角形这也是梯形中常用的辅助线添法之一略证补成等腰三角形例如图已知求证分析因为角是轴对的中点若求的长分析从互余考虑将它们变为直角三角形的角故延长要求需求略解图学习必备欢迎下载补成等边三角形例图是等边三角形延长至延长至使连结证明分析要证明通常要证但难以实现这样可采用补形法即延长到使连结略证