数列求通项高考真题分析中学教育高考_中学教育-高考.pdf

数列通项公式的常见求法 数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一.公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式 例 1、（2011 辽宁理）已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列an的通项公式；解：（I）设等差数列na的公差为 d，由已知条件可得110,21210,adad 解得11,1.ad 故数列na的通项公式为2.nan 2、等比数列公式 例 2.（2011 重庆理）设na是公比为正数的等比数列，12a，324aa。（）求na的通项公式 解：I）设 q 为等比数列na的公比，则由21322,4224aaaqq得，即220qq ，解得21qq或（舍去），因此2.q 所以na的通项为1*2 22().nnnanN 3、通用公式 若已知数列的前n项和nS的表达式，求数列na的通项na可用公式 211nSSnSannnn 求解。一般先求出 a1=S1，若计算出的 an 中当 n=1 适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例 3、已知数列na的前 n 项和12nsn，求na的通项公式。解：011sa，当2n时 12 1)1()1(221nnnssannn 由于1a不适合于此等式。)2(12)1(0nnnan 二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：na和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法 一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，且)()2()1(nfff的和比较好求，我们可以采用此方法来求na。即：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n；例 4、（2011 四川理 8）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN 若则32b，1012b，则8a A0 B3 C8 D11 解：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法 21328781()()()642024603aaaaaaaa 例 5、已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公式。解：（1）由题知：121111(1)1nnaannn nnn 112211()()nnnnnaaaaa+(a-aa 1111111()()()121122nnnn 312n 2、叠乘法 一般地对于形如“已知 a1，且n1naa=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：121121nnnnnaaaaaaaa (2)n；例 6、在数列na中，1a=1,(n+1)1na=nna，求na的表达式。为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解解：由(n+1)1na=nna得11nnaann，1aan=12aa23aa34aa1nnaa=nnn11433221 所以nan1 3、构造法 当数列前一项和后一项即na和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法、一般地对于an=kan-1+m(k、m为常数）型，可化为的形式an+=k(an-1+).重新构造出一个以 k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求，然后再求na。例 7、（2011 广东理）设 b0,数列na满足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列na的通项公式；解：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba ，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（）当2b 时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn ，2na （）当2b 时，设12()nnbbb ，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112()()22nnbbbbb，又11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab、对于1()(nnapaf n其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解i、当 f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为CBnAaann 1型，可化为)1(21211naAnann的形式来求通项。例 8.设数列na中，111,321nnaaan，求na的通项公式。解：设1(1)3()nnaA nBaAnB 1322nnaaAnBA 与原式比较系数得：221211AABAB 即1(1)13(1)nnanan 令1,nnban n+1n11则b=3b 且b=a+1+1=3 nb1是b=3 为首项，公比 q=3的等比数列 13 3331nnnnnban 即:ii、当 f(n)为指数幂时，即数列递推关系为BAaann 1nC（A、B、C 为常数，）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求na 例 9.（2003 年全国高考题）设0a为常数，且1123nnnaa（*Nn），证明：对任意 n1，02)1(2)1(351aannnnn 解：证明：设)3(2311nnnntata 用1123nnnaa代入可得51t 53nna 是公比为2，首项为531a的等比数列，10)2()5321(53nnnaa（*Nn），即：012)1(52)1(3aannnnnn 当然对于BAaann 1nC这种形式递推关系求na时，当 A=C 时，我们往往也会采取为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解另一种方法，即左右两边同除以 Cn+1,重新构造数列，来求na。例 10、（2007 天津理）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaan N，其中0（）求数列na的通项公式；解：由11(2)2()nnnnaan N，0，可得111221nnnnnnaa ，所以2nnna 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故21nnnan ，所以数列na的通项公式为(1)2nnnan（2）、倒数法 一般地形如11nnnaakab、nnnnaaaa11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。例 11.已知数列na满足：1111,31nnnaaaa，求na的通项公式。解：原式两边取倒数得：11113113nnnnaaaa 1,1nan nn-11设b=则b-b=3,且b=13nb1是b=为首项，公差d=2的等差数列 1(1)332b nnn 即132nan 例 12、（北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考）在数列na中，311a，并且对任意2,nNn都有nnnnaaaa11成立，令)(1Nnabnn （）求数列nb的通项公式；解：（1）当 n=1 时，3111ab,当2n时，为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解由nnnnaaaa11，等式两边取倒数得：,1111nnaa所以11nnbb 所以数列nb是首项为 3，公差为 1 的等差数列，所以数列nb的通项公式为2nbn（3）、对数法 当数列na和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp=man-1q（其中 m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。例 13、（2006 山东）已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列lg(1+an)是等比数列；解：（1）由已知212nnnaaa，211(1)nnaa 12a 11na，两边取对数得 1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaa lg(1)na是公比为 2 的等比数列.例 14、若数列na中，1a=3 且21nnaa（n 是正整数），则它的通项公式是na=（2002年上海高考题）.解 由题意知na0，将21nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列lgna是以1lg a=3lg为首项，公比为 2 的等比数列，12113lg2lglgnnnaa，即123nna.（4）、特征方程法、一般地对于形如已知1122,am aman+2=A an+1+B an (A、B 是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时，有：12nnnacpcq ，其中 c1与 c2由已知1122,am am确定。（ii）当方程有唯一的实根 p 时，有12()nnac ncp，其中 c1与 c2由已知1122,am am为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解确定。法二：可构造成)(112112nnnnaxaxaxa，则11nnax a为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。例 15、已知 a 1=2，a 2=3，nnnaaa122，求通项公式。解法一：特征方程的根为 1，所以 an=(c1 n+c2)1n 由：1212223cccc 得 c1=c2=1，所以 an=n+1。解法二：设)(112112nnnnaxaxaxa，可得 x 1=x 2=1，于是an+1an 是公比为 1 的等比数列，an+1an=1，所以 an=n+1。例 16已知数列na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列na的通项na。解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc ，由1122122243accacc ，得12112cc，112nna 例 17、（2009 陕西卷文）已知数列na满足，*11212,2nnnaaaaanN2.令1nnnbaa，证明：nb是等比数列；()求na的通项公式。解：（1）证明：1211,baa 当2n 时，1111,11()222nnnnnnnnnaabaaaaab 所以nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列。（2）解由（1）知111(),2nnnnbaa 当2n 时，121321()()()nnnaaaaaaaa 2111 1()()22n 111()2111()2n 22111()32n 1521(),332n 当1n 时，1 11521()1332a。所以1*521()()332nnanN。为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解本题也可以用特征方程来证明,同学们不妨自己试试。、一般地形如：1nnna abac ad （a、b、c、d为常数）可得到相应的特征方程：axbxcxd，再将其变为2()0cxda xb，通过该方程的根的情况来重新构造数列。（i）如果方程2()0cxda xb 有两个相异的实根，则有数列nnapaq是以11apaq为首项，acpacq为公比的等比数列；（ii）如果方程2()0cxda xb 有两个相同的实根，则数列1nap是以11ap为首项，2cad为公差的等差数列。例 18、（2009 江西理 22）各项均为正数的数列na，12,aa ab，且对满足mnpq 的正整数,m n p q都有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa（1）当14,25ab时，求通项;na 解：（1）由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa得 121121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaaa将1214,25aa代入化简得 1121.2nnnaaa 构造方程axbxcxd(a=2,b=1,c=1,d=2)化简得：x2=1 解得 x=1 和-1.所以数列11nnaa为等比数列，所以11111,13 1nnnnaaaa 从而：11,13nnnaa即31.31nnna 为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解可验证，3131nnna满足题设条件.例 19 已知数列na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列na的通项na 解：其特征方程为221xxx，化简得2220 x ，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa 由12,a 得245a，可得13c ，数 列11nnaa是 以111 11 3aa为 首 项，以13为 公 比 的 等 比 数 列，1111133nnnaa，3(1)3(1)nnnnna 三、当题中给出的是 Sn 和na的关系时，我们一般通过作差法结合 an=SnSn1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉 Sn得到na和an+1 的递推关系，或消掉na得到 Sn 和Sn1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。例 20、（2007 湖北理 19）已知数列na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a，1nnarS(nN*，,1)rR r （）求数列na的通项公式；解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得 2111(),nnnnnaar SSr a 即21(1),nnara 又21,arara所以 r=0 时，数列na为：a，0，0，；当0,1rr时，由已知0,0naa所以（*nN），于是由21(1),nnara 可得211()nnarnNa，为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解 23,naaa成等比数列，当n2时，2(1).nnar ra 综上，数列na的通项公式为21,(1),2nnnanar ra n 例 21：（2007 重庆理）已知各项均为正数的数列na的前 n 项和满足1nS，且*),2)(1(6NnaaSnnn（1）求na的通项公式；解：由)2)(1(611111aaSa，解得 a11 或 a12，由假设 a1S11，因此 a12。又由 an+1Sn+1-Sn)2)(1(61)2)(1(6111nnnnaaaa，得 an+1-an-3 0 或 an+1-an 因 an0，故 an+1-an不成立，舍去。因此 an+1-an-3 0。从而an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故an的通项为an3n-2。例 22.（2009 全国卷理）设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列 （II）求数列na的通项公式。解：（I）由11,a 及142nnSa，有12142,aaa 2112132 5,23aabaa 由142nnSa，则当2n 时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa 又12nnnbaa，12nnbbnb是首项13b，公比为的等比数列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa，113224nnnnaa 数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列 1331(1)22444nnann ，2(31)2nnan 四、猜想法 当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时，猜想法不失为一种权宜之计。运用猜想法解题一般涉及到三个步骤：（1）利用所给的递推式求出123,a aa，（2）猜想出为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解满足递推式的一个通项公式na，（3）用数学归纳法证明猜想是正确的。例 23、（2007 天津理）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaan N，其中0（）求数列na的通项公式；解：22222(2)22a ，2232333(2)(2)222a，3343444(22)(2)232a 由此可猜想出数列na的通项公式为(1)2nnnan 以下用数学归纳法证明（1）当1n 时，12a，等式成立（2）假设当nk时等式成立，即(1)2kkkak，那么111(2)2kkkaa 11(1)222kkkkkk 11(1)12kkk 这就是说，当1nk 时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式(1)2nnnan对任何nN都成立 总结：数列通项的求解是高考考查的重点。随着素质教育的推行和新课程改革，近年来高考试题的难度有所降低，所以数列通项的求解也不会太繁杂，同学们谨记：较为简单的试题我们往往直接用等差或等比数列公式就能求出数列的通项公式，稍微复杂的试题往往需要对数列进行变形和重新构造再进行求解，当然实在没办法的话，同学们不妨试试猜想法。为小题和大题两种题型而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点一般常出现在大题的第一小问中因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识更有助于我们在高考中取得好的成绩下面本文将中学数学中有关数当题中已知数列是等差数列或等比数列在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项只需求得首项及公差公比等差数列公式例辽宁理已知等差数列满足求数列的通项公式的公差为由已知条件可得解设等差数比则由得即解得或舍去因此所以的通项为通用公式若已知数列的前项和的表达式求数列的通项可用公式求解一般先求出若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式若不适合则分段表达通项公式例已知数列的前项和求的通项公式解