人教A版选择性必修第三册631二项式定理学案.docx
6.3二项式定理二项式定理新课程标准新学法解读L把握二项式定理及其绽开式的通项公式.2.理解会用二项式定理解决与二项绽开式 有关的简洁问题.1 .通过二项式定理的学习，培育规律推理的 素养.2 .借助二项式定理及绽开式的通项公式解 题，提升数学运算的素养.课前篇自主学习固根底 笔记教材 学问点 二项式定理及相关的概念概念公式(Q +3 =叫做二项式定理二项式 系数各项的系数C与(4=0,1,2,油叫做二项式系数二项式 通项C历一%是绽开式中的第项，可记做A+1=C历一%(其中kWN, 金N*)备注在二项式定理中，假设设=i, b=x,那么得到公式(1+%)=C9+Ch +C 注-|- C F C出( e N*)说明：二项式定理形式上的特点(1)二项绽开式有+1项，而不是项.(2)二项式系数都是C£(Z=0,l,2,，)，它与二项绽开式中某一 项的系数不肯定相等.(3)二项绽开式中的二项式系数的和等于2，即CHCRCH- + CI；= 2".(4)在排列方式上，依据字母的降氟排列，从第一项起，次数 由次逐项削减1次直到。次，同时字母b按升得排列，次数由。次 逐项增加1次直到n次.答案：+Can1b+Can 2b2 4Cnankbk-F Cnbn(n £ N*)k 1重点理解1 .正用：求形式简洁的二项绽开式时可直接由二项式定理绽开, 绽开时留意二项绽开式的特点：前一个字母是降幕，后一个字母是升 幕.形如（一份的绽开式中会消失正负间隔的状况.对较繁杂的式子, 先化简再用二项式定理绽开.2 .逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求 解，要熟识公式的特点、项数、各项幕指数的规律以及各项的系数.3 .求二项绽开式的特定项的常见题型求第左项，/（2）求含好的项（或的项）；（3）求常数项；（4）求有理项.4 .求二项绽开式的特定项的常用方法（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）；（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其全部的字母的指数 恰好都是整数的项.解这类问题必需合并通项公式中同一字母的指 数，依据详细要求，令其属于整数，再依据数的整除性来求解；（3）对于二项绽开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数 应是非负整数，求解方式与求有理项全都.思索：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C9, CL，C3而项的系数是指该项中除了 变量外的常数局部，它不仅与各项的项数有关，而且也与Q, 6的值 有关.自我排查1. （2021 .江苏连云港高二期末）假设*的绽开式中第4项 是常数项，那么的值为（）A. 14B. 16C. 18D. 20答案：c解析：法一1绽开式的通项为n 6k%+i=C«g）r（l）rr=a（iyJ 5 ,n _18令攵=3可得A=G（ 1）3/5为常数项，可得胃一号=0,可得 n18应选C.（n2.（2021 .山东济南一中高三模拟）在2x+:6的绽开式中，含短I K）项的系数为（）A. 160B. 192C. 184D. 186（n答案：B解析：二项式2元+： 6的绽开式的通项为_ m _ 7>+l=C42x)6r =C06一%6-2当厂=1 时，7 = CiX25Xx4=192x4, d项的系数为 192.应选B.3. （2020.北京卷）在（也一2）5的绽开式中，炉的系数为（）A. -5B. 5C. -10D. 10答案：C 解析：（也一2）5绽开式的通项公式为5 -%+1 = 3（也）5%一2丫=（一2丫0尤 2 ,令5'=2,可得r=1,那么 f 的系数为（一2）1。= （一2）X5 = -10.应选C.4. (2021.上海奉贤高二期末)(1+a)i2的二项绽开式中的倒数第5 项是.答案：495解析：(1 + )12的二项绽开式中的倒数第5项，即 绽开式的第9项，为79=CW=495«8,故答案为495酒课堂篇重点难点要突破研习1二项式定理的正用、逆用(3、典例1用二项式定理绽开R一相5；(2)化简：C9Q+ l)n-Ci(x+ 1尸+C桁+ 1)-2卜(一 i)c(x+1)一 TF(1)隈盗思路点拨：(1)二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项 式定理绽开；(3( 3(解：(1) 2x彳 5 = cg(2x)5+Cg(2x)4. 一彳 HPC?(2)可先把1+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理 求解.当2x2J一180 135 . 405 243= 322120/+?一丁+说一百.(2)原式=C跑 +1 )+Ci(x+ 1)"- 1 (- 1)+C=(x + 1)-2( 一 1 )2 HFC±a+1 )r( l)r4卜。(一 1)=©+1)+( 1)=4.巧归纳1 .绽开二项式可以依据二项式定理进行.绽开时留意二项式定 理的结构特征，精确?理解二项式的特点是绽开二项式的前提条 件.2 .对较简单的二项式，有时先化简再绽开会更简便.3 .对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对 于这类问题的求解，要熟识公式的特点、项数、各项累指数的规律以 及各项的系数.练习1化简：(1)(% 1)4+4(j; l)3 + 6(x- l)2+4(x1)+1 ；(2)1+2G+4C%+2CL解：原式=(x1 + 1)4=(2)原式=1 + 2Ci+22 cs 4卜 2y=(1+2)，=3.研习2求二项式的特定项典例2(1)求二项式(2也一的绽开式中第6项的二项式系数 和第6项的系数；(2)求，一J的绽开式中x3的系数.思路点拨：利用二项式定理求绽开式中的某一项，可以通过二项 绽开式的通项公式进行求解.解：(1)由得二项绽开式的通项为G+产C&2也尸.一二33j 2 1= (-l)rCg-26-r-x，第6项的二项式系数为&=6,第6项的系数为-12.(2)由得二项绽开式的通项为7ki = C6x9r.一1=(ly.c"-2"令 9 2厂=3, /.r=3,即绽开式中第4项含3,其系数为(一1)3.0= 一84.巧归纳1 .求二项绽开式特定项的步骤2 .求二项绽开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第厂+1项.刀+1 = 3*3(2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次 项).(3)求有理项.对于有理数，一般是依据通项公式所得到的项， 其全部的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必需合并通项公 式中同一字母的指数，依据详细要求，令其属于整数，再依据数的整 除性来求解._(n练习2 (2021.福建福州高二期中的绽开式中的全部二项式系数之和为32.求n的值；(2)求绽开式中丁2的系数.解：由题意可得,2 = 32,解得=5.(2) %2+-n' X)二项绽开式的通项为7；+1 = 0(尤2)5+ 工.由 103r=-2,得厂=4.绽开式中丁2的系数为c3=5.研习3三项式或三项以上的绽开问题典例3 (1)(2020.高考全国I卷理数)/+口(%+»的绽开式中 I )户/的系数为（A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C解析：: x+(2 + 5x4y + 1 Ox32 +1 Ox23 + 5xy4+y5）,r3的系数为10+5 = 15.的绽开式中，的系数为（）A. 10B. 20C. 30D. 60答案：C 解析：（f + x + y）5为5个r+x+y之积，其中有两个 取y,两个取/, 一个取X即可，所以X5/的系数为C?C?C| = 30.巧归纳三项或三项以上的绽开问题的解题策略应依据式子的特点，转化为二项式来解决（有些题目也可转化为 计数问题解决），转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， 项与项结合时要留意合理性和简捷性.练习3 （2021.湖南长沙高三月考）（多项选择题），+312%一：下 的绽开式中各项系数的和为2,那么其中正确命题的序号是（）B.绽开式中含3项的系数是一32C.绽开式中含项D.绽开式中常数项为40（a（ n答案:AD 解析：由于2x： 5的绽开式中各项系数的和 x八X）为2,令x=l得，1+ = 2,所以=1,故A正确.此时x+n ( 1lx- 5= X绽开式中的通项为 江§(2%)5一一；=0251(一1)%6一21 _( 1 _ _或二 0(2幻51 一=C§25'(-1)%4-2-，令6 2厂=6或4 2r=6,解得厂=0, 所以含3项的系数是32,故B错误.令 62r= 1 或 4 2r= 1,都无解，故绽开式中不含工一1项，故C错误.令6 2r=0或4 2r=0,解得r=3或r=2, 所以绽开式中常数项为40.应选AD.课后篇根底达标延长阅读1 .化简多项式(2%+1户 5(2+ 1尸+ 10(2x+ 10(2x+1>+ 5(2x+1)1的结果是()A. (2x+2>B. 2X5C. (2%1)5D. 322答案：D 解析：原式Qx+D-lpnQxAnSZx5.2. (2021.江西南昌高三开学考试)(2小一/1)6的绽开式中含/3 项的系数为()A. -60B. -240C. 60D. 240答案：C 解析：二项式(2也一工一1)6的绽开式的通项为T+i =6 3一C%(2也)6-”6) = (- 1 产26FC7 2 ,b3 丁令=-3,即=4,此时八=60%一3,可得Q出一一十绽开式中于3项的系数为60,应选C.(3、3.(2021 .浙江丽水高二检测)7的绽开式中，x5的系数为（3、答案:21解析：二项式x十77的绽开式的通项为 X）Tr+i = C5x7"r - r=3rC5x7-2r,令 7 2厂=5,即r=1, 72=3XCjX%5 = 21x5, x5的系数为 21, 故答案为21.课后自读方案误区警示混淆项的系数与二项式系数例如设（X也）（金N*）的绽开式中第2项与第4项的数之比为 1 : 2,那么含f的项为.错因分析此题在求解时易误认为a啦）的绽开式中第2项与 第4项的系数分别为Cl正解由题设，得乃=（2M厂1（一地）=一也加一IT4=C% - 3.（一也 > =-2理（炉一3,曰十一血1于7c有一2/&=5'化简得n23n4=0,解得=4,故原式为（x一地）土（%一地尸的绽开式的第左+1项为Tk+i=（-y2）W-kf令 42,得 k=2,所以含/的项为（/2）2Cix2= 12x2.答案2方法总结K+）的绽开式中的第k+1项的二项式系数是C*k = 0,1,2,），仅与，上有关；第左+1项的系数不是二项式系数 &,但有时这个系数与二项式系数相等.留意二项式系数肯定为正， 而对应项的系数可能为负.
