数值分析课后习题部分参考的答案.docx
数值分析课后习题局部参考答案(P10) 5.求血的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。设x*有位有效数字,则| e(x) |< 0.5 x 10 x 10一位从而，|/(x)区jo故，假设0.5xl0 VCU%,则满足要求。解之得，n>4o x* =1.414。(P10) 7.正方形的边长约100a%,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2 o解：设边长为则aalOOcm。设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：p2xl00xe。按测量要求，12x100x6区1解得,|e区0.5*10-2。(P47) 5.用三角分解法求以下矩阵的逆矩阵：,1 1 -TA= 210 oJ -1解：设A-=(a B7)。分别求如下线性方程组:TAa = 06Ay = 0J先求A的LU分解利用分解的紧凑格式),'1(1)1(-1)-1、(2)2 (1)-1(0)2 o.(1)1 (-D2 (0)-3,1 1即，L =0 -10 012-3Ly - 0 和 Ua = y , loj得,"00-1,0、Ly = 1 和 U/3 = y ,得,1-31-32-3 o o-1r I-A-以所得，；3；_、3 _2 - 3"3>经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,(P47) 6.分别用平方根法和改良平方根法求解方程组：解：平方根法：先求系数矩阵A的Cholesky分解(利用分解的紧凑格式),(1)1(2)2(1)1(-3)- 3(5)1(0)-2 (14)3(-5)1(1)2，即,21-301-2100320、0，其中，A = LxL! o经平方根法的回代程，分别求解方程组Ly =216改良平方根法: 先求系数矩阵A的形如A = LDlJ的分解，其中L = &)4x4为单位下三角矩阵，D = diagd,d2,d3,d4为对角矩阵。利用计算公式，得4=1；241 = 3,% = L *43= 6,，41 = 3,，42 = 1，43 = £，“4 =1。分别求解方程组,L'y 2168,和 DlJx= y，得,(P48) 12.方程组x. + 0.99x? = 1,12 的解为 M =100,X, =-100 o0.992+0.98%=1-(1) 计算系数矩阵的条件数;(2) 取光；=(1,0儿月=(100.5,99.5)、分别计算残量=b Ax：« = 1,2)。此题的计算结果说明了什么解：(1)设4 =10.99、0.99 0.987A-1"-98009900、9900 10000,从而，Cod(A) =39601。2)计算得，八=(0,0.。1)7, |同1=0.01；=(0.995,0.985)/, |同= 1.98。这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的上下。(P72) 3.用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组取初值/。)=(0,0,0)、迭代4次，并对比它们的计算结果。解：由方程组得，从而，Jacobi迭代格式为：铲)=2球)+ 2岩)+1X" = -xk) - xf+1 , k =0,1,2,.%£+d=-2%，-2靖 +1Gauss-Seidel迭代格式为：守)=2%产+ 2靖+1%)+】)=_婕+1)_ 球)+1 , k =0,1,2,.岩钊=一2守一 2铲+i整理得,丫(女+ 1) 人(A+1) _ Q (k) _q 丫伏)424人2J43)一2” -1/Vo=八q1k 0,1,2, .Jacobi 迭代:x(0) = (00,0)7 f X=(111)7 T /2)=3)，f工=(3,3,1)7 f x(4) = (331)7Gauss-Seidel 迭代：x(0) =(0,0,0)7 - x=(1,0-1)7 -.=(-1,3-3)7 - x=(_11,15,_7)7 .= (-43,51,-15,Jacobi迭代中x已经是方程组的准确解，而从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它是发散的。(P73) 9.设有方程组(1) 分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，(2) 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的。的取值范围。解：由方程组得，从而，Jacobi迭代格式为：2"+ 1)= 一 琮)a1?) +伉k = 0,1,2,铲)=4x'+% V = -竭")+4(0-CL-CLB =一4。00-a00迭代矩阵为:设|一3|=0,求得，丸尸。,<=二-7|。|，故(B) = L|q|。另由Jacobi迭代格式，得Gauss-Seidel迭代格式为：端+1) = _ax(k) _ ax(k)+4以+1)= 4/x' + 4/婢)_4叫 +b2, k =0,1,2,.= a1+ a2xk) -ab +b3 Cl - Q、迭代矩阵为：G= 0、0 a2 a2?设| G|=0,求得，4=0,4 =0,4 =56?,故夕(G) = 5/。75另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得,。土W。由迭代收敛的充要条件得,75V5Jacobi 迭代收敛 o| a|< ；Gauss-Seidel 迭代收敛 o| a |<。V5故，使得两种迭代法都收敛的。的取值范围是一样的：I。|< J。5a 4)(P74) 12 .证明对称矩阵A = aJacobi迭代解Ax = Z?才收敛。1 a当时为正定矩阵，且只有当|。|<，时,22a1解：A为正定当且仅当以下三个不等式同时成立:>0,1>0,解之得，-< < 1 o此时解方程组的Gauss-Seidel迭代收敛。 2另外，可得解方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为解得，p(B) = 2a.由收敛的充要条件，Jacobi迭代收敛当且仅当| |<,。Chapter 5(P140) 7.设x(),X,x为"十 1个互异节点，为这组节点上的n次Lagrange插值基函数，试证：xkJj(x) = xk= 0,1,；六o(2) 一x)k lj(x) = 0,k = 0,Lo j=0证：(1)对于固定的攵£12,川，设P(x) = £4/(x),则P(x)为次数不超过的多 7=0项式，且Pxi) = x：, i = 0,1,而对于多项式函数/当然也满足如上的等式条件以及次数<，由Lagrange插值问题的适对于固定的左£1,2,一，k= ZG(T)FJ£ = (x-x)k= 0 ,证完。i=0
