广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题含答案.pdf

广东省广州市执信中广东省广州市执信中 2024 届高三开学测试届高三开学测试数学数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分为页，满分为 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1、答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共第一部分选择题（共 60 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2lg,0100,450Ay yxxBxxx，则AB（）A.0,2B.()1,2-C.1,2D.1,52.已知aR，i为虚数单位，若3aii为实数，则 a（）A.-3B.13C.3D.133.已知正项等比数列 na，若355664,28a aaa，则2a（）A.16B.32C.48D.644.已知向量a，b满足7ab，且3a，4b，则abrr（）A.5B.3C.2D.15.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18C.316D.146.函数(sinsin2)yxxx的部分图象大致为（）A.B.C.D.7.已知ln22a，ln3eb，22ec，则（参考数据：ln20.7）（）A.abcB.bacC.bcaD.cab8.已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,F F，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,A B两点，且22F ABF BA，则2BF（）A.54B.2 54C.2 5D.5二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中个选项中，有多项符合有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.有一组样本数据126,x xx，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2345,x x x x的平均数等于126,x xx的平均数B.2345,x x x x的中位数等于126,x xx的中位数C.2345,x x x x的标准差不小于126,x xx的标准差D.2345,x x x x的极差不大于126,x xx的极差10.已知,a b c是两两异面的三条直线，abrr，ca，直线 d 满足da，db，adP，bdQ，则 c 与 d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直11.如图是函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图像，则（）A.f x的最小正周期为B.56x 是的函数 yf x的一条对称轴C.将函数 yf x的图像向右平移3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数 yf tx（0t）在0,上有且仅有两个零点，则5 4,6 3t12.我国古代九章算术里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,A B C D E F为顶点的五面体，四边形ABCD为正方形，EF平面,24,2 3ABCD ABEFAEDEBFCF，则（）A.该几何体的表面积为8 26 11 16B.该几何体的体积为20 73C.该几何体的外接球的表面积为40D.AE与平面FBC所成角的正弦值为4212第二部分非选择题（共第二部分非选择题（共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数()f x的导函数为()fx，且满足3()=(2)f xxx f，则函数()f x在点（2，(2)f）处的切线方程为_14.已知数列 na各项均为正数，若11a，且1lnln1Nnnaan，则 na的通项公式为_15.已知二项式51axy的展开式中含3xy的项的系数为40，则a_16.设 f x为定义在整数集上的函数，11f，20f，10f，对任意的整数,x y均有 11f xyf x fyfx fy则55f_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角 A 的平分线交线段BC于点 D（1）证明ABBDACDC；（2）若6AB，8AC，7BC，求AD18.中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学 A 类试题中有 7 道题会作答，而他答对各道 B 类试题的概率均为25.公众号：全元高考（1）若小明同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率；（2）若小明只作答 A 类试题，设 X 表示小明答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布列和期望.19.已知数列 na的首项135a，且满足1321nnnaaa（1）求证：数列11na为等比数列；（2）设数列 nb满足13,2,2nnnabnnnnn为偶数时为奇数时求最小的实数 m，使得122kbbbm对一切正整数 k 均成立20.如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E 是PB的中点（1）证明：/OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值21.设1F，2F分别为椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知12PFF的面积为2，121cos3FPF（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在与2PF平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由22.已知函数 ln1f xaxax，Ra.（1）若经过点0,0的直线与函数 f x的图像相切于点 22f,，求实数 a 的值；（2）设 2112g xfxx，若 g x有两个极值点为1x，212xxx，且不等式 1212g xg xxx恒成立，求实数的取值范围.2024 届高三开学测试届高三开学测试数学数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分为页，满分为 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1、答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共第一部分选择题（共 60 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2lg,0100,450Ay yxxBxxx，则AB（）A.0,2B.()1,2-C.1,2D.1,5【答案】B【解析】【分析】先求出集合,A B，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg,0100yxx，所以lg1002y，所以2,Ay y245015Bxxxxx，所以AB()1,2-.故选：B.2.已知aR，i为虚数单位，若3aii为实数，则 a（）A.-3B.13C.3D.13【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3aii，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010aiaiiaaiaaiiii 为实数，则(3)010a，即30a，所以3a .故选：A.3.已知正项等比数列 na，若355664,28a aaa，则2a（）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a，然后根据5628aa求出公比，最后求2a【详解】根据等比中项，235464a aa，又 na是正项数列，故48a（负值舍去）设等比数列 na的公比为q，由5628aa，即24428a qa q，解得12q（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232aaq故选：B4.已知向量a，b满足7ab，且3a，4b，则abrr（）A.5B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】2222492499 1624ababa ba b rrrrr rr r，所以22229 16241,1ababa bab rrrrr rrr，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18C.316D.14【答案】C【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输 1 局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C1222123 .故选：C6.函数(sinsin2)yxxx的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除 ABD，即可.【详解】由(sinsin2)yf xxxx，得 sinsin2sinsin2fxxxxxxxfx ，所以 f x为偶函数，故排除 BD.当2x 时，(sinsin)02222yf，排除 A.故选：C.7.已知ln22a，ln3eb，22ec，则（参考数据：ln20.7）（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】由ln22ln2ln4244a，22lneec 考虑构造函数 ln xfxx，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln22ln2ln4244a，22lneec，考虑构造函数 ln xfxx，则 21 ln xfxx，当0ex时，()0fx，函数 f x在0,e上单调递增，当ex时，0fx，函数 f x在e,+上单调递减，因为ln20.7，所以0.7e2，即220.7e e4，所以234e，所以22ln3ln4lne34e，即22ln3ln2lne32e，又ln3ln33e，所以22ln3ln2lnee2e，故bac，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,F F，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,A B两点，且22F ABF BA，则2BF（）A.54B.2 54C.2 5D.5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF即可.【详解】由双曲线22:142xy得出2,2,6abc.因为22F ABF BA，所以22F AF B.作2F CAB于 C，则 C 是 AB 的中点.设22F AF Bx，则由双曲线的定义211222,F AF Aa FBF Ba，可得114,4,8F AxFBxAB.故2124cosCBBFxFBF，又由余弦定理得222221cos42 644244FBFxxxxxxxx，所以24444xxxxx，解得2 5x.故选：C二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中个选项中，有多项符合有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.有一组样本数据126,x xx，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2345,x x x x的平均数等于126,x xx的平均数B.2345,x x x x的中位数等于126,x xx的中位数C.2345,x x x x的标准差不小于126,x xx的标准差D.2345,x x x x的极差不大于126,x xx的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项 A：设2345,x x x x的平均数为m，126,x xx的平均数为n，则 165234123456234526412xxxxxxxxxxxxxxxxnm，因为没有确定1652342,xxxxxx的大小关系，所以无法判断,m n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得3.5mn；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2mn；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6mn；故 A 错误；对于选项 B：不妨设123456xxxxxx，可知2345,x x x x的中位数等于126,x xx的中位数均为342xx，故 B 正确；对于选项 C：因为1x是最小值，6x是最大值，则2345,x x x x的波动性不大于126,x xx的波动性，即2345,x x x x的标准差不大于126,x xx的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数12468 10 1276n ，标准差222222111052747678710712763s，4,6,8,10，则平均数1468 1074m ，标准差22222147678710754s，显然10553，即12ss；故 C 错误；对于选项 D：不妨设123456xxxxxx，则6152xxxx，当且仅当1256,xx xx时，等号成立，故 D 正确；故选：BD.10.已知,a b c是两两异面的三条直线，abrr，ca，直线 d 满足da，db，adP，bdQ，则 c 与 d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB，11BC，1BB所在直线分别为,a b d，符合题意，然后考虑直线 c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 是1AA上一点（异于1A），AB，11BC，1BB所在直线分别为,a b d当1DD所在直线为 c 时，符合题中条件，此时 c 与 d 平行，C 正确；当1D Ef 所在直线为 c 时，符合题中条件，此时 c 与 d 异面，B 正确；若 c 与 d 相交，则 a 垂直于,c d确定的平面，又 a 垂直于,b d确定的平面，则,b c d在同一个平面内，即 b 与 c 共面，与已知矛盾，A 错误；若 c 与 d 垂直，则 c 垂直于a,d确定的平面，而 b 垂直于a,d确定的平面，推出 b 与 c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC11.如图是函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图像，则（）A.f x的最小正周期为B.56x 是的函数 yf x的一条对称轴C.将函数 yf x的图像向右平移3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数 yf tx（0t）在0,上有且仅有两个零点，则5 4,6 3t【答案】AD【解析】【分析】先根据图像可得2,AT，即可判断 A；令2(Z)32xkk解出x即可判断 B，接下来求得,，即可得到()f x的解析式，根据图象平移判断 C；令()2sin(2)03f txtx，解出函数零点，然后根据在0,上有且仅有两个零点列出不等式解t即可判断 D.【详解】由图像可知，2A，=43124T，即T，故 A 正确；22T，此时()2sin(2)f xx，又(,2)12在图像上，22sin(2)12，解得2(Z)3kk，()2sin(22)2sin(2)33f xxkx，()2sin(2)3f xx，2(Z)32xkk，(Z)122kxk，当56x 是函数 yf x的一条对称轴时，此时32k=不符合题意，故 B 错误；将()f x的图象向右平移3个单位后得到的图象对应的解析式为：()2sin2()2sin(2)333g xxx不为奇函数，故 C 错误；令()2sin(2)03f txtx，解得(Z)62kxktt，当0k 时，06xt，不合题意1k 时，3xt；2k 时，56xt；3k 时，43xt；又因为函数(0)yf txt在0,上有且仅有两个零点5643tt，解得5463t，故 D 正确.故选：AD.12.我国古代九章算术里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,A B C D E F为顶点的五面体，四边形ABCD为正方形，EF平面,24,2 3ABCD ABEFAEDEBFCF，则（）A.该几何体的表面积为8 26 11 16B.该几何体的体积为20 73C.该几何体的外接球的表面积为40D.AE与平面FBC所成角的正弦值为4212【答案】ABD【解析】【分析】过 E 作 EKAB 于 K，作 EMDC 于 M，过 F 作 FGAB 于 G，作 FHDC 于 H，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取 AD，BC 的中点 P，Q，则 EPAD，FQBC，然后求出表面积可判断 A；连接 PQ，交 GH 于 T，则 T 为 GH 的中点，可证得 FT面 ABCD，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断 B；连接 AC，BD 交于点 O，可求得 O 为该几何体的外接球的球心，半径 R2 2，求出表面积即可判断 C；取 AB 的中点 N，得 AEFN，则AE与平面FBC所成角等于 FN 与平面FBC所成角，设 N 到面 FBC 的距离为 h，利用等体积法，由N FBCFNBCVV求得h，进而可得AE与平面FBC所成角的正弦值，可判断 D【详解】EF平面 ABCD，EF在平面 ABFE 内，平面 ABFE平面 ABCDAB，EFAB，ABDC，EFDC，24,2 3ABEFAEDEBFCFABFE，DCFE 均为等腰梯形，过 E 作 EKAB 于 K，作 EMDC 于 M，连接 KM，过 F 作 FGAB 于 G，作 FHDC 于 H，连接 GH，EFKGMH，EFKGMH2，AKGBDMHC1，ABDC，FHDC，ABFH，又 ABGF，GF，FH 在平面 FGH 内，GFFHF，AB面 FGH，同理，AB面 EKM，面 FGH面 EKM，该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取 AD，BC 的中点 P，Q，连接 FQ，EP，2 3AEDEBFCF，EPAD，FQBC，FQ22222 3111FBBG，14 2 24 22EADFBCSS，FG22222 322 2FBBQ，124113 112DCFEABFESS，又4 416ABCDS，该几何体的表面积为8 26 11 16EADFBCDCFEABFEABCDSSSSS，故 A 正确；连接 PQ，交 GH 于 T，则 T 为 GH 的中点，连接 FT，AB面 FGH，FT 在面 FGH 内，FTAB，GFFHEKEM，FTGH，又 AB，GH 在面 ABCD 内，ABGHG，FT面 ABCD，FT22222 217FQQT，14 74 1733E AKMDF GBCHVV ，11472 722FGHSGH FT，2 724 7FGHEKMFGHVSGK，该几何体的体积为20 73E AKMDF GBCHFGHEKMVVV，故 B 正确；连接 AC，BD 交于点 O，则 O 也在 PQ 上，连接 OE，OF，EFOQ，EFOQ，EFQO 为平行四边形，EOFQ2 2，同理，FOEP2 2，OAOBOCODOEOF2 2，O 为该几何体的外接球的球心，半径 R2 2，该几何体的外接球的表面积为2432R，故 C 错误；取 AB的中点 N，连接 FN，NC，EFAN，EFAN，EFNA 为平行四边形，AEFN，AE与平面FBC所成角等于 FN 与平面FBC所成角，设为，设 N 到面 FBC 的距离为 h，N FBCFNBCVV，1133FBCNBCShSFT，1114 22 47332h ，142h，14422sin122 3hFN，即AE与平面FBC所成角的正弦值为4212，故 D 正确故选：ABD第二部分非选择题（共第二部分非选择题（共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数()f x的导函数为()fx，且满足3()=(2)f xxx f，则函数()f x在点（2，(2)f）处的切线方程为_【答案】6160 xy【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f xxx f，求导可得 232fxxf，得 223 22ff，因 而 切 线 的 斜 率(2)6kf 而 322228 124ff ，由 点 斜 式 可 得 切 线 方 程 为46(2)yx即6160 xy14.已知数列 na各项均为正数，若11a，且1lnln1Nnnaan，则 na的通项公式为_【答案】1enna#eenna【解析】【分析】推导出数列 na为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 na的通项公式.【详解】由已知可得11lnlnln1nnnnaaaa，所以，1ennaa，所以，数列 na是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e，因此，111 eennna.故答案为：1enna.15.已知二项式51axy的展开式中含3xy的项的系数为40，则a_【答案】2【解析】【分析】51axy表示有 5 个51axy因式相乘，根据3xy的来源分析即可求出答案.【详解】51axy表示有 5 个51axy因式相乘，3xy来源如下：有 1 个51axy提供ay，有 3 个51axy提供x，有 1 个51axy提供常数，此时3xy系数是31354C C140a，即2040a，解得：2a 故答案为：2.16.设 f x为定义在整数集上的函数，11f，20f，10f，对任意的整数,x y均有 11f xyf x fyfx fy则55f_【答案】1【解析】【分析】采用赋值的方式可求得 0,1ff，令1y 和yx可证得 f x的对称轴和奇偶性，由此可推导得到 f x的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1xy，则 21001200ffffff，00f；令2x，1y ，则 22212111ffff，又10f，11f；令1y，则 10111fxfx ffx ffx，()fx关于直线1x 对称；令yx，则 01110ff x fxfx fxf xfxfx，10fx不恒成立，0fxfx恒成立，()fx为奇函数，2fxfxfx，42fxfxfx，()fx是周期为4的周期函数，554 14 111fff.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角 A 的平分线交线段BC于点 D（1）证明ABBDACDC；（2）若6AB，8AC，7BC，求AD【答案】（1）证明见解析；（2）6AD【解析】【分析】（1）由题得ACDABDSACSAB，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD，4CD，求出1cos4B，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD为A的平分线，设1,2,CADBAD 12 1sin12ACDSAC AD1sin22ABDSAB AD故ACDABDSACSAB，设 A 点到BC的距离为 h，则可知1212ACDABDCD hSCDSBDBD h可知ACCDABBD（2）由8463ACCDABBD，又7BDDCBC可知3BD，4CD 在ABC中，2226781cos2 6 74B 在ABD中，2222cos36ADABBDAB BDB即6AD.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学 A 类试题中有 7 道题会作答，而他答对各道 B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率；（2）若小明只作答 A 类试题，设 X 表示小明答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望 21【解析】【分析】（1）分 A 类试题答对和 B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出 X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问 1 详解】小明仅答对 1 题的概率2127332399C1051055250P.【小问 2 详解】X可能的取值为 0，10，20，30，33310C1(0)C120P X，1273310C C7(10)C40P X，2173310C C21(20)C40P X，37310C7(30)C24P X，所以 X 的分布列为X0102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X.19.已知数列 na的首项135a，且满足1321nnnaaa（1）求证：数列11na为等比数列；（2）设数列 nb满足13,2,2nnnabnnnnn为偶数时为奇数时求最小的实数 m，使得122kbbbm对一切正整数 k 均成立【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122kbbb，由不等式的性质即可求解.【小问 1 详解】由已知得，112133nnaa，所以1111113nnaa 因为112103a，所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列【小问 2 详解】证明：（2）由（1），当 n 为偶数时，12323nnnba，当 n 为奇数时，222222nnnbnnnn，故1221321242kkkbbbbbbbbb24222222222222222213352121333kkk242222222221333kkkk222211233212113kk29214214 3kk，由292194214 34kk所以 m 的最小值为9420.如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E 是PB的中点（1）证明：/OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OAOB，再根据直角三角形的性质得到AODO，即可得到O为BD的中点从而得到/OE PD，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问 1 详解】证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC，,AO BO 平面ABC，所以POAO、POBO，又PAPB，所以POAPOB，即OAOB，所以OABOBA，又ABAC，即90BAC，所以90OABOAD，90OBAODA，所以ODAOAD 所以AODO，即AODOOB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以/OE PD，又OE 平面PAC，PD 平面PAC，所以/OE平面PAC【小问 2 详解】解：过点A作/Az OP，如图建立空间直角坐标系，因为3PO，5AP，所以224OAAPPO，又30OBAOBC，所以28BDOA，则4AD，4 3AB，所以12AC，所以2 3,2,0O，4 3,0,0B，2 3,2,3P，0,12,0C，所以33 3,1,2E，则33 3,1,2AE，4 3,0,0AB ，0,12,0AC，设平面AEB的法向量为,nx y z，则33 3024 30n AExyzn ABx ，令2z，则=3y，0 x，所以0,3,2n；设平面AEC的法向量为,ma b c，则33 302120m AEabcm ACb，令3a，则6c ，0b，所以3,0,6m；所以124 3cos,131339n mn mn m .设二面角CAEB的大小为，则4 3coscos,=13n m，所以211sin1 cos13，即二面角CAEB的正弦值为1113.21.设1F，2F分别为椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知12PFF的面积为2，121cos3FPF（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在与2PF平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】（）2213xy；（）存在满足条件的直线l，方程为23 224yx或23 224yx【解析】【分析】（）由12PFF的面积得2cb，又根据121cos3FPF 得33ba，结合,a b c关系即可求得椭圆C的标准方程；公众号：全元高考（）可设直线l的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则0OM ON ，代入坐标化简求取m值，即可求得直线方程【详解】解：（）设122F Fc，则12PFF的面积等于1212FF OPcb，所以2cb 由2121cos2cos3OPFFPF，即2212cos13OPF ，得23cos3OPF因为在直角2OPF中，OPb，2OFc，222222PFOPOFbca，所以2cosbOPFa，所以33ba由及222abc，得3a，1b，2c，所以椭圆C的标准方程为2213xy（）因为直线2PF的斜率为22，所以可设直线l的方程为22yxm，代入2213xy，整理得2252106xmxm 由22524106mm ，得252m 设112,2Mxxm，222,2N xxm，则126 25mxx，212615mx x若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则0OM ON ，即121222022x xxmxm，得2121232022x xm xxm，所以2261326 202525mmmm，得298m 因为9582，所以3 24m 公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为23 224yx或23 224yx【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22.已知函数 ln1f xaxax，Ra.（1）若经过点0,0的直线与函数 f x的图像相切于点 22f,，求实数 a 的值；（2）设 2112g xfxx，若 g x有两个极值点为1x，212xxx，且不等式 1212g xg xxx恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）11 ln2a（2）2ln23,)【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将 g x有两个极值点为1x，212xxx，转化为方程20 xaxa在(0,)上有两个不同的根，根 据 根 的 判 别 式 求 出a的 取 值 范 围，将 不 等 式 1212g xg xxx恒 成 立，转 化 为 1212g xg xxx恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问 1 详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)，由 ln1f xaxax，得 afxax，则 222aafa，因为经过点0,0的直线与函数 f x的图像相切于点 22f,，所以(2)22fak ，所以ln221aaa ，解得11 ln2a，【小问 2 详解】22111ln22g xfxxaxaxx，则 2(0)axaxagxaxxxx，因为 g x有两个极值点为1x，212xxx，所以 20 xaxagxx在(0,)上有两个不同的根，此时方程20 xaxa在(0,)上有两个不同的根，则240aa，且12120,0 xxax xa，解得4a，若不等式 1212g xg xxx恒成立，则 1212g xg xxx恒成立，因为221211122211()()(ln)(ln)22g xg xaxxxaxxx221212121ln()()()2ax xa xxxx2121212121ln()()()22ax xa xxxxx x21ln2aaaa不妨设212121ln12()ln1(4)2aaaag xg xh aaaaxxa，则112()22ah aaa，因为4a，所以()0h a，所以()h a在(4,)上递减，所以()(4)2ln23h ah，所以2ln23，即实数的取值范围为2ln23,).【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的