高一数学直线与圆的方程——直线与圆的位置关系带答案中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

名师精编 欢迎下载 专题二 直线与圆的位置关系 教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾 考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l AxByC 和圆 222C：xaybr0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由222)()(0rbyaxCByAx，消元得到一元二次方程，计算判别式，0 相交；0 相离；0 相切；（2）几何方法 如果直线 l 和圆 C 的方程分别为：0CByAx，222)()(rbyax.可以用圆心),(baC到直线的距离d22|AaBbCAB与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系:dr 相交；dr 相离；dr 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。例 1 直线 xsin ycos 2sin 与圆(x1)2y24 的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 答案 B 解析 圆心到直线的距离 d|sin 2sin|sin2 cos2 所以直线与圆相切 例 2 已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k的取值范围是()A(2 2，2 2)B(2，2)C(24，24)D(18，18)答案 C 设 l 的方程 yk(x2)，即 kxy2k0.圆心为(1,0)由已知有|k2k|k211，24k24.例 3 圆(x3)2+(y3)2=9 上到直线 3x+4y11=0 的距离为 1 的点有几个？解：圆(x3)2+(y3)2=9的圆心为O1(3，3)，半径r=3，设圆心O1(3，3)到直线3x+4y11=0的距离为d，则d=22|3 34 3 11|2334 如图1，在圆心O1的同侧，与直线3x+4y11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题名师精编 欢迎下载 意，又rd=32=1，所以与直线3x+4y11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.所以符合题意的点共有 3 个。例 4 平移直线 xy10 使其与圆(x2)2(y1)21 相切，则平移的最短距离为()A.21 B2 2 C.2 D.21 与 21 答案 A 解析 如图 2，圆心(2,1)到直线 l0：xy10 的距离 d|211|2 2，圆的半径为 1，故直线 l0与 l1的距离为 21，平移的最短距离为 21，故选 A.图 1 图 2 例5 已知曲线5x2y2+5=0与直线2xy+m=0无交点，则m的取值范围是 1m0)相切，则m=（D ）（A）21 （B）22 （C）2 （D）2 例10 由点P(1，2)向圆x2+y2+2x2y2=0引的切线方程是 5x+12y+19=0和x=1 .例11 直线a(x+1)+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是（C ）（A）相离 （B）相切 （C）相交或相切 （D）不能确定 考点三：直线与圆相交的弦长公式（1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有222()2ABdr，即AB=222 rd.（2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是2121212|()4xxxxx x，这样就求得2121221|1|1|ABkxxyyk。例11 直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为45，求l的方程.解：设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，drBAO系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 在RtAHO中，|OA|=5，|AH|=21|AB|=25，所以|OH|=22|5OAAH，即2|5(1)|51kk,解得k=21，k=2，所以直线 l 的方程为 x2y+5=0，或 2xy5=0.例 12 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程 分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁 为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧 解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx 0202022020FyExDyx 得：0)()(21021021FFyEExDD A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD 方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程 又过A、B两点的直线是唯一的 两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛 例13 圆心为(1，2)、半径为25的圆在x轴上截得的弦长为（A ）（A）8 （B）6 （C）62 （D）43 例14 直线x+y=1被圆x2+y22x2y7=0所截得线段的中点是（A ）（A）(21，21)（B）(0，0)（C）1 3(,)4 4 （D）3 1(,)4 4 例15 已知圆C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解法一：假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点。设l的方程为y=x+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OAOB知，kOA kOB=1，即x1x2+y1y2=0.由222440yxbxyxy ，得 2x2+2(b+1)x+b2+4b4=0。系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 x1+x2=(b+1)，x1x2=2222bb，y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=222bb,x1x2+y1y2=0.b2+3b4=0，解得 b=4 或 b=1 故存在这样的直线.，它的方程是y=x4或y=x+1。解法二：圆C化成标准方程为(x1)2+(y+2)2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b)。由于CMl，kCM kl=1，即211ba，b=a1.直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0，|3|2baCM，因为以AB为直径的圆C过原点，所以|MA|=|MB|=|MO|，而|MB|2=|CB|2|CM|2=2(3)92ba，|OM|2=a2+b2，2(3)92ba=a2+b2，代入消元得2a2a3=0，a=23或a=1，当a=23，b25时，此时直线l的方程为xy4=0；当a=1，b=0时，此时直线l的方程为xy+1=0。故这样的直线 l 是存在的，它的方程为 xy4=0 或 xy+1=0。例16 在RtABO中，BOA=90，|OA|=8，|OB|=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值.解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8，0)，B(0，6)，内切圆C的半径r=86 1022，所以圆心坐标为 C(2，2)，所以内切圆C的方程为(x2)2+(y2)2=4，设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则d=(x8)2+y2+x2+(y6)2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3(x2)2+(y2)24x+76，因为点P(x，y)在圆上，所以(x2)2+(y2)2=4，d=884x，因为点P(x，y)是圆C上的任意点，x0，4，当x=0时，dmax=88；当=4时，dmin=72.例17 已知圆C：(x3)2+(y4)2=4和直线l：kxy4k+3=0.（1）求证：不论k取何值，直线和圆总相交.（2）求 k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.答案：（2）k=1，弦长为 22 第二部分 课堂练习 1、直线1yx与圆)0(0222aayyx没有公共点，则a的取值范围是 系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 解：依题意有aa21，解得1212a.0a，120a.2：若直线2kxy与圆1)3()2(22yx有两个不同的交点，则k的取值范围是 .解：依题意有11122kk，解得340k，k的取值范围是)34,0(.3、圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 分析：把034222yxyx化为 82122yx，圆心为21，半径为22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选 C 4、过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆 42122yxC：有公共点，如图所示 分析：观察动画演示，分析思路 解：设直线l的方程为 34xky 即 043kykx 根据rd 有 214322kkk 整理得 0432 kk 解得 340 k 5、已知ABC 的两个顶点 A(-10，2)，B(6，4)，垂心是 H(5，2)，求顶点 C 的坐标 解:26542BHk 21ACk 直线AC的方程为)10(212xy 即x+2y+6=0 (1)又0AHk BC所直线与 x 轴垂直 故直线 BC的方程为 x=6 (2)解(1)(2)得点 C的坐标为 C(6,-6)6、已知方程04222myxyx.（）若此方程表示圆，求m的取值范围；（）若（）中的圆与直线042 yx相交于 M，N 两点，且 OMON（O 为坐标原点）求m的P E O y x 系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 x y O B M A(1,1)P C l 值；（）在（）的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程.解：（）04222myxyx D=-2，E=-4，F=m FED422=20-m40，5m （）04204222myxyxyx yx24代入得 081652myy 51621yy，5821myy OMON 得出：02121 yyxx 016)(852121yyyy 58m （）设圆心为),(ba 582,5421121yybxxa 半径554r 圆的方程516)58()54(22yx 7、已知圆22:(1)5C xy，直线:10l mxym 。（）求证：对mR，直线l与圆 C 总有两个不同交点；（）设l与圆 C 交与不同两点 A、B，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；（）若定点 P（1，1）分弦 AB 为12APPB，求此时直线l的方程。解：（）解法一：圆22:(1)5C xy的圆心为(0,1)C，半径为5。圆心 C 到直线:10l mxym 的距离215221mmdmm 直线l与圆 C 相交，即直线l与圆 C 总有两个不同交点；方法二：直线:10l mxym 过定点(1,1)P，而点(1,1)P在圆22:(1)5C xy内直线l与圆C 相交，即直线l与圆 C 总有两个不同交点；（）当 M 与 P 不重合时，连结 CM、CP，则CMMP，222CMMPCP 设(,)(1)M x y x，则2222(1)(1)(1)1xyxy，化简得：22210(1)xyxyx 当 M 与 P 重合时，1,1xy也满足上式。故弦 AB 中点的轨迹方程是22210 xyxy 。（）设1122(,),(,)A x yB xy，由12APPB得12APPB，1211(1)2xx，化简的2132xx 又由2210(1)5mxymxy 消去y得2222(1)250mxm xm（*）212221mxxm 由解得21231mxm，带入（*）式解得1m ，直线l的方程为0 xy 或20 xy 。系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 第三部分 作业练习 一、选择题：1.已知过aA,1、8,aB两点的直线与直线012yx平行，则a的值为（）A.-10 B.2 C.5 D.17 2.设直线0nmyx的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）.B.2 C.D.2 3.已知过)4,(),2(mBmA 两点的直线与直线xy21垂直，则m的值（）A.4 B.-8 C.2 D.-1 4.若点(,0)P m到点(3,2)A 及(2,8)B的距离之和最小，则m的值为（）A.2 B.1 C.2 D.1 5.不论k为何值，直线0)4()2()12(kykxk恒过的一个定点是（）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)6.圆8)2()1(22yx上与直线01yx的距离等于2的点共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7.在 RtABC 中,A90,B60,AB=1,若圆 O 的圆心在直角边 AC 上,且与 AB 和 BC 所在的直线都相切,则圆 O 的半径是（）A.32 B.21 C.23 D.33 8.圆222210 xyxy 上的点到直线2yx的距离的最大值是（）A.2 B.12 C222 D.12 2 9.过圆0422myxyx上一点)1,1(P的圆的切线方程为（）A.032yx B.012yx C.012 yx D.012 yx 10.已知点),(baP)0(ab是圆O：222ryx内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为2rbyax，则（）Amn且n与圆O相离 Bmn且n与圆O相交 Cm与n重合且n与圆O相离 Dmn且n与圆O相离 二、填空题：11.若直线l沿 x 轴正方向平移 2 个单位，再沿 y 轴负方向平移 1 个单位，又回到原来的位置，则直线l的斜率k=_ 12.斜率为 1 的直线l被圆422yx截得的弦长为，则直线l的方程为 系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 13.已知直线l过点 P(5,10),且原点到它的距离为 5,则直线l的方程为 .14.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 15.已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线1xy对称，直线01143 yx与圆C相交于A、B两点，且6AB，则圆C的方程为 三、解答题：16.求经过直线 l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线方程：()经过原点;()与直线 2x+y+5=0 平行;()与直线 2x+y+5=0 垂直.17.已知圆22:()(2)4(0)Cxaya及直线:30l xy .当直线l被圆C截得的弦长为22时,求（）a的值；（）求过点)5,3(并与圆C相切的切线方程.18、已知圆 C：2219xy内有一点 P（2，2），过点 P 作直线l交圆 C 于 A、B 两点.（）当l经过圆心 C 时，求直线l的方程；（）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线l的方程；（）当直线l的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长.直 线 与 圆 复 习 题 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B C D B D A 11、k=21 12、6xy 13、5x或02543 yx 14、052 yx 15、18)1(22 yx 系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离名师精编 欢迎下载 16、解：()02yx （）02yx （）052 yx 17、解：（）依题意可得圆心2),2,(raC半径，则圆心到直线:30l xy 的距离21)1(13222aad 由勾股定理可知222)222(rd，代入化简得21 a 解得31aa或，又0a，所以1a（）由（1）知圆4)2()1(:22yxC，又)5,3(在圆外 当切线方程的斜率存在时，设方程为)3(5xky 由圆心到切线的距离2 rd可解得125k 切线方程为045125 yx 当过)5,3(斜率不存在直线方程为3x与圆相切 由可知切线方程为045125 yx或3x 18、解：()已知圆 C：2219xy的圆心为 C（1，0），因直线过点 P、C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为)1(2 xy，即 022yx.()当弦 AB 被点 P 平分时，lPC,直线 l 的方程为12(2)2yx ,即062 yx()当直线 l 的倾斜角为 45 时，斜率为 1，直线 l 的方程为22xy,即0yx，圆心 C 到直线 l 的距离为12，圆的半径为 3，弦 AB 的长为34.系的应用教学过程考点一直线与圆的位置关系的判断第一部分知识点回顾直线和圆有相交相离相切可从代数和几何两个方面来判断代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况由相交消元得到一元二次方程计算判别式几何关系相交相切提醒判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷相离例直线与圆的位置关系是相离相切相交以上都有可能答案解析圆心到直线的距离所以直线与圆相切例已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率的取值范围是图在圆心的侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点这两个交点符合题名师精编欢迎下载意又所以与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有个例平移直线使其与圆相切则平移的最短距离