《概率与统计》习题答案复旦大学出版社研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律.【解】故所求分布律为 X 3 4 5 P 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；(3).【解】故 X的分布律为 X 0 1 2 P （2）当 x0 时，F（x）=P（Xx）=0 当 0 x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当 x2 时，F（x）=P（Xx）=1 故 X的分布函数 (3)3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3.故 X的分布律为 X 0 1 2 3 P 分布函数 4.（1）设随机变量 X的分布律为 PX=k=，其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数 a.（2）设随机变量 X的分布律为 PX=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数 a.【解】（1）由分布律的性质知 故 (2)由分布律的性质知 即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,今各投 3 次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应【解】分别令 X、Y表示甲、乙投中次数，则 Xb（3，）,Yb(3,(1)+(2)=6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设 X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N9.故机场至少应配备9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X满足 PX=1=PX=2，求概率PX=4.为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则 故 所以 .9.设事件 A在每一次试验中发生的概率为，当 A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设 X表示 5 次独立试验中 A发生的次数，则 X6（5，）(2)令 Y表示 7 次独立试验中 A发生的次数，则 Yb（7，）10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】（1）(2)11.设 PX=k=,k=0,1,2 PY=m=,m=0,1,2,3,4 分别为随机变量 X，Y的概率分布，如果已知 PX1=，试求 PY1.【解】因为，故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这 2000册书中恰有 5 册错误的概率.【解】令 X为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,.利用泊松近似计算,为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 得 13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以 X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,，则所求概率为 由于 n 很大，p 很小，=np=5，故用泊松近似，有 (2)P(保险公司获利不少于 10000)即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上 P（保险公司获利不少于 20000）即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量 X的密度函数为 f(x)=Ae|x|,x+,求：（1）A值；（2）P0X1;(3)F(x).【解】（1）由 得 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 故 .(2)(3)当 x0 时，当 x0 时，故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X的密度函数为 f(x)=求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)当 x100 时 F（x）=0 当 x100 时 故 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X表示这质点的坐标，设这质点落在 0，a 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.【解】由题意知 X0,a，密度函数为 故当 xa 时，F（x）=1 即分布函数 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 18.设随机变量 X在2，5 上服从均匀分布.现对 X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5，即 故所求概率为 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求 PY1.【解】依题意知，即其密度函数为 该顾客未等到服务而离开的概率为 ,即其分布律为 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从 N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则 若走第二条路，XN（50，42），则 +故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若 XN（40，102），则 若 XN（50，42），则 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，22），（1）求 P2X5，P4X 10，PX2，PX3;（2）确定 c 使 PXc=PXc.【解】（1）(2)c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（,）,规定长度在内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】23.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，2），若要求P120X200，允许 最大不超过多少？【解】故 24.设随机变量 X分布函数为 F（x）=（1）求常数 A，B；（2）求 PX2，PX3；（3）求分布密度 f（x）.【解】（1）由 得 （2）为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应(3)25.设随机变量 X的概率密度为 f（x）=求 X的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（x）.【解】当 x0 时 F（x）=0 当 0 x1 时 当 1x0;(2)f(x)=试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】（1）由 知 故 即密度函数为 当 x0 时 当 x0 时 故其分布函数 (2)由 得 b=1 即 X的密度函数为 当 x0 时 F（x）=0 当 0 x1 时 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 当 1x0 时，故 (2)当 y1 时 当 y1 时 故 (3)当 y0 时 当 y0 时 故 31.设随机变量 XU（0,1），试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应（2）Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解】（1）故 当 时 当 1ye 时 当 ye 时 即分布函数 故 Y的密度函数为 （2）由 P（0X0 时，即分布函数 故 Z的密度函数为 32.设随机变量 X的密度函数为 f(x)=试求 Y=sinX 的密度函数.【解】当 y0 时，当 0y1 时，为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应当 y1 时，故 Y的密度函数为 33.设随机变量 X的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.【解】由 知填 1。由右连续性 知，故为 0。从而亦为 0。即 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数 X的分布律.【解】设 Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。（i=1,2）,P(Ai)=.且 A1与 A2相互独立。再设 C=每次抛掷出现 6 点。则 故抛掷次数 X服从参数为 的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于?【解】令 X为 0 出现的次数，设数字序列中要包含 n 个数字，则 Xb(n,即 得 n22 即随机数字序列至少要有 22 个数字。36.已知 F（x）=则 F（x）是（）随机变量的分布函数.（A）连续型；（B）离散型；（C）非连续亦非离散型.为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应【解】因为 F（x）在（,+）上单调不减右连续，且 ,所以 F（x）是一个分布函数。但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b 上，随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在a,b 外，f(x)=0，则区间 a,b等于（）(A)0,/2;(B)0,;(C)/2,0;(D)0,.【解】在 上 sinx0，且 .故 f(x)是密度函数。在 上.故 f(x)不是密度函数。在 上，故 f(x)不是密度函数。在 上，当 时，sinx0）=1，故 01e2X1，即 P（0Y1）=1 当 y0 时，FY（y）=0 当 y1 时，FY（y）=1 当 0y1 时，即 Y的密度函数为 即 YU（0，1）41.设随机变量 X的密度函数为 f(x)=若 k 使得 PXk=2/3，求 k 的取值范围.(2000研考)【解】由 P（Xk）=知 P（Xk）=若 k0,P(Xk)=0 若 0k1,P(Xk)=当 k=1 时 P（Xk）=若 1k3 时 P（Xk）=若 3k6，则 P（X6,则 P（Xk）=1 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应故只有当 1k3 时满足 P（Xk）=.42.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=求 X的概率分布.（1991 研考）【解】由离散型随机变量 X分布律与分布函数之间的关系，可知 X的概率分布为 X 1 1 3 P 43.设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等.若已知 A至少出现一次的概率为19/27，求 A在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P（A）=p,则 Xb(3,p)由 P（X1）=知 P（X=0）=（1p）3=故 p=44.若随机变量 X在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】45.若随机变量 XN（2，2），且 P2X4=，则 PX0=.【解】故 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.【解】设 A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则 =能直接出厂，AB=经调试后能出厂 由题意知 B=AB，且 令 X为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X6（n，）,故 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84分之间的概率.【解】设 X为考生的外语成绩，则 XN（72，2）故 查表知 ,即=12 从而 XN（72，122）故 48.在电源电压不超过 200V、200V240V和超过 240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和（假设电源电压 X服从正态分布 N（220，252）.试求：（1）该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200240V 的概率 【解】设 A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V，A3=电压超过 240V，B=元件损坏。由 XN（220，252）知 为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应 由全概率公式有 由贝叶斯公式有 49.设随机变量 X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X的概率密度 fY(y).【解】因为 P（1X2）=1,故 P（e2Ye4）=1 当 ye2 时 FY（y）=P(Yy)=0.当 e2y1 时，即 故 51.设随机变量 X的密度函数为 fX(x)=,为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应求 Y=1 的密度函数 fY(y).【解】故 52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率Q.（1993 研考）【解】（1）当 tt 与N(t)=0 等价，有 即 即间隔时间 T服从参数为 的指数分布。（2）53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出现的条件下，X在1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长 度 成 正 比，试 求X的 分 布 函 数F（x）=PXx.(1997 研考)【解】显然当 x1 时 F（x）=0；而 x1 时 F（x）=1 由题知 当1x1 时，此时 当 x=1 时，故 X的分布函数 54.设随机变量 X服从正态分 N（1,12),Y服从正态分布 N(2,22)，且为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应P|X-1|P|Y-2|1，试 比 较1与2的 大 小.(2006 研考)解：依题意 ，则 ，.因为，即 ，所以有 ，即.为设在只同类型零件中有只为次品在其中取次每次任取只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解故的分布律为当时当时当时当时故的分布函数射手向目标独立地进行了次射击每次击中率为求次射击中击函数设随机变量的分布律为其中为常数试确定常数设随机变量的分布律为试确定常数解由分布律的性质知故由分布律的性质知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概率甲比乙投中次数多的概率解分别令独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于每条跑道只能允许一架飞机降落解设为某一时刻需立即降落的飞机数则设机场需配备条跑道则有即利用泊松近似查表得故机场至少应