高考理科数学试题分类汇编个人整理 五解析几何中学教育高考_中学教育-高考.pdf
学习好资料 欢迎下载 五、解析几何（重庆理）8在圆06222yxyx内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC和 BD，则四边形 ABCD的面积为 B A25 B210 C15 2 D220（浙江理）8 已知椭圆22122:1(0)xyCabab 与双曲线221:14yCx 有公共的焦点，1C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,A B两点，若1C恰好将线段AB三等分，则 C A2132a B213a C212b D22b （四川理）10在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为 A(2,9)B(0,5)C(2,9)D(1,6)10解析：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2aaKa,设 直 线 方 程 为(2)yaxb，则223651(2)ba 又2564(2,9)(2)yxaxbayaxb （陕西理）2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是 B A28yx B28yx C24yx D24yx（山东理）8已知双曲线22221(0b0)xyaab，的两条渐近线均和圆 C:22650 xyx 相切,且双曲线的右焦点为圆 C的圆心,则该双曲线的方程为 A A22154xy B22145xy C22136xy D22163xy（全国新课标理）（7）已知直线 l 过双曲线 C的一个焦点，且与 C的对称轴垂直，l 与 C交于 A，B 两点，|AB为C的实轴长的 2 倍，C的离心率为 B（A）2 （B）3 （C）2 （D）3（全国大纲理）10已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，直线24yx与 C 交于 A，B 两点则cosAFB=D A45B35C35D45 学习好资料 欢迎下载 （江西理）9若曲线1C：2220 xyx与曲线2C：()0y ymxm有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 B A（33，33）B（33，0）（0，33）C33，33 D（，33）（33，+）（湖南理）5设双曲线222109xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为 C A4 B3 C2 D1（湖北理）4将两个顶点在抛物线22(0)ypx p上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 C An=0 Bn=1 C n=2 Dn3（福建理）7设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P满足1122:PFF FPF=4:3:2，则曲线r 的离心率等于 A A1322或 B23或 2 C12或2 D2332或（北京理）8设 0,0A,4,0B，4,4C t,4D ttR.记 N t为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N t的值域为 C A9,10,11 B9,10,12 C9,11,12 D10,11,12（安徽理）（2）双曲线8222yx的实轴长是 C （A）2 （B）22 （C）4 （D）42（湖北理）14如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y 轴重合）所在的平面为，45xOx。（）已知平面内有一点(2 2,2)P，则点P在平面内的射影P的 坐标为（2，2）；（）已知平面内的曲线C的方程是22(2)220 xy，则曲线C在平面内的射影C的方程是22(1)1xy。（浙江理）17设12,F F分别为椭圆2213xy的左、右焦点，点,A B在椭圆上，若125F AF B;则点A的坐标是与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 (0,1)（上海理）3设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m 16 。（江西理）14若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点（1，12）作圆22+=1xy的切线，切点分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22154xy（北京理）14曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F 2（1，0）的距离的积等于常数)1(2aa的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积大于21a2。其中，所有正确结论的序号是。（四川理）14双曲线22xy=1P46436上一点 到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 14答案：565 解析：8,6,10abc，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为 14，所以1455645cdda （全国大纲理）15已知 F1、F2分别为双曲线 C:29x-227y=1 的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线则|AF2|=6（辽宁理）（13）已知点（2，3）在双曲线 C：)0,0(12222babyax上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 2（重庆理）15设圆 C位于抛物线22yx与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 C的半径能取到的最大值为_61_（全国新课标理）（14）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C的中心为原点，焦点12,F F在 x 轴上，离心率为22过点1F的直线 l交 C于 A，B两点，且2ABF的周长为 16，那么 C的方程为_221168xy_（辽宁理）（3）已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段 AB 的中点到 y轴的距离为 C（A）34 （B）1 （C）54 （D）74 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 （安徽理）（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)x y为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.，存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点 直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线（江苏）18如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线PA 的斜率为 k（1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3）对任意 k0，求证：PAPB 18本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22,1(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k（2）直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得 解得).34,32(),34,32(,32APx因此 于是),0,32(C直线 AC 的斜率为.032,13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此（3）解法一：将直线 PA 的方程kxy 代入2222221,421212xyxkk解得记 则)0,(),(),(CkAkP于是 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 故直线 AB 的斜率为,20kk 其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得 解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此.于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk 因此.,11PBPAkk所以 解法二：设)0,(),(,0,0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则.设直线 PB，AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上，所以.22)()(0111112kxyxxyk 从而 1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy 因此.,11PBPAkk所以（安徽理）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。（21）（本小题满分 13 分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由MPQM知 Q，M，P三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设.)1(),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则 再设),1,1().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由 解得.)1(,)1(011yyxx 将 式代入 式，消去0y，得.)1()1(,)1(2211yxyxx 又点 B在抛物线2xy 上，所以211xy，再将 式代入211xy，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,)1()1()1(22222222yxyxxxyxxyx得两边同除以因 故所求点 P的轨迹方程为.12 xy （北京理）19（本小题共 14 分）已知椭圆22:14xGy.过点（m,0）作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值.（19）（共 14 分）解：（）由已知得,1,2 ba 所以.322bac 所以椭圆 G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(离心率为.23ace（）由题意知，1|m.当1m时，切线 l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 此时3|AB 当 m=1 时，同理可得3|AB 当1|m时，设切线 l 的方程为),(mxky 由0448)41(.14),(2222222mkmxkxkyxmxky得 设 A、B 两点的坐标分别为),)(,(2211yxyx，则 2222122214144,418kmkxxkmkxx 又由 l 与圆.1,11|,1222222kkmkkmyx即得相切 所以212212)()(|yyxxAB 41)44(4)41(64)1(2222242kmkkmkk.3|342mm 由于当3m时，,3|AB 所以),1 1,(,3|34|2mmmAB.因为,2|3|343|34|2mmmmAB 且当3m时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.（福建理）17（本小题满分 13 分）已知直线 l：y=x+m，mR。（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；（II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。17本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。解法一：（I）依题意，点 P 的坐标为（0，m）因为MPl，所以01120m ，与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 解得 m=2，即点 P 的坐标为（0，2）从而圆的半径 22|(20)(02)2 2,rMP 故所求圆的方程为22(2)8.xy（II）因为直线l的方程为,yxm 所以直线 l的方程为.yxm 由22,4404yxmxxmxy 得 244416(1)mm （1）当1,0m 即时，直线 l与抛物线 C相切（2）当1m，那0时，直线 l与抛物线 C不相切。综上，当 m=1 时，直线 l与抛物线 C相切；当1m 时，直线 l与抛物线 C不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为22(2).xyr 依题意，所求圆与直线:0l xym 相切于点 P（0，m），则224,|20|,2mrmr 解得2,2 2.mr 所以所求圆的方程为22(2)8.xy（II）同解法一。（广东理）19（本小题满分 14 分）设圆 C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求 C的圆心轨迹 L的方程;（2）已知点 M3 5 4 5(,),(5,0)55F，且 P 为 L上动点，求MPFP的最大值及此时点 P的坐标 19（本小题满分 14 分）（1）解：设 C的圆心的坐标为(,)x y，由题设条件知 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 2222|(5)(5)|4,xyxy 化简得 L的方程为221.4xy （2）解：过 M，F的直线l方程为2(5)yx，将其代入 L的方程得 21532 5840.xx 解得12126 514 56 52 514 5 2 5,(,),(,).515551515xxlLTT故 与 交点为 因 T1在线段 MF 外，T2在线段 MF 内，故11|2,MTFTMF 22|2.MTFTMF，若 P不在直线 MF 上，在MFP中有|2.MPFPMF 故|MPFP只在 T1点取得最大值 2。（湖北理）20（本小题满分 14 分）平面内与两定点1(,0)Aa，2(,0)A a(0)a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（）当1m 时，对应的曲线为1C；对给定的(1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。若存在，求tan1FN2F的值；若不存在，请说明理由。20本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解：（I）设动点为 M，其坐标为(,)x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 即222()mxymaxa，又12(,0),(,0)AaA A的坐标满足222,mxyma 故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma 当1,m 时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在 x 轴上的双曲线。（II）由（I）知，当 m=-1时，C1的方程为222;xya 当(1,0)(0,)m时，C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am 对于给定的(1,0)(0,)m，C1上存在点000(,)(0)N xyy 使得2|Sm a的充要条件是 22200020,0,121|.2xyayam ym a 由得00|,ya由得0|.1m aym 当|150,0,21m aamm 即 或1502m 时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m 或152m时，与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 不存在满足条件的点 N，当1515,00,22m 时，由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy ，可得22221200(1),NFNFxm ayma 令112212|,|,NFrNFrF NF，则由22121 21 2cos,cosmaNFNFrrmarr 可得，从而221 21sin1sintan22cos2maSrrma ，于是由2|Sm a，可得2212|tan|,tan.2mmam am 即 综上可得：当15,02m时，在 C1上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aF NF且 当150,2m时，在 C1上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aF NF 且 当1515(1,)(,)22m时，在 C1上，不存在满足条件的点 N。（湖南理）21（本小题满分 13 分）如图 7，椭圆22122:1(0)xyCabab 的离心率为32，x 轴被曲线22:Cyxb 截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求 C1，C2的方程；（）设 C2与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线l与 C2相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1相交与 D,E（i）证明：MDME;（ii）记MAB,MDE的面积分别是12,S S问：是否存在直线 l,使得121732SS?请说明理 由。与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 21（）由题意知.1,2,2,2,23baabbaace解得又从而 故 C1，C2的方程分别为.1,14222xyyx（）（i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为kxy.由12xykxy得 012 kxx.设212211,),(),(xxyxByxA则是上述方程的两个实根，于是.1,2121xxkxx 又点 M 的坐标为（0，1），所以 2121212212122111)()1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA.11122kk 故 MAMB，即 MDME.（ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为1,1,1211xyxkyxky由解得 1,1021kykxyx或 则点 A的坐标为)1,(211kk.与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 又直线 MB 的斜率为11k，同理可得点 B的坐标为).11,1(211kk 于是221111111111111|1|1|222|kSMAMBkkkkk 由044,1221yxxky得.08)41(1221xkxk 解得12121218,140,14114kxkxykyk 或 则点 D的坐标为2112211841(,).1 41 4kkkk 又直线 ME的斜率为k1，同理可得点 E的坐标为).44,48(2121211kkkk 于是)4)(1(|)1(32|2121211212kkkkMEMDS.因此21122114(417).64SkSk 由题意知，2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或 又由点 A、B的坐标可知，21211111113,.12kkkkkkkk 所以 故满足条件的直线 l存在，且有两条，其方程分别为.2323xyxy和（辽宁理）（20）（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点M，N 在 x 轴上，椭圆C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D （I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 20解：（I）因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设 22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa 设直线:(|)l xtta，分别与 C1，C2的方程联立，求得 2222(,),(,).abA tatB tatba 4 分 当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知 222|3|:|.2|4BAybBCADya 6 分 （II）t=0 时的 l 不符合题意.0t 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即 2222,baatatabtta 解得222221.abetaabe 因为2212|,01,1,1.2etaeee 又所以解得 所以当202e 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；当212e 时，存在直线 l 使得 BO/AN.12 分（全国大纲理）21（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yC x 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为-2的直线l与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足0.OAOBOP（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 21解：（I）F（0，1），l的方程为21yx，代入2212yx 并化简得 242 210.xx 2 分 设112233(,),(,),(,),A x yB xyP xy 则122626,44xx 1212122,2()21,2xxyyxx 由题意得3123122(),()1.2xxxyyy 所以点 P 的坐标为2(,1).2 经验证，点 P 的坐标为2(,1)2满足方程 221,2yx 故点 P 在椭圆 C 上。6 分 （II）由2(,1)2P 和题设知，2(,1)2Q PQ 的垂直平分线1l的方程为 2.2yx 设 AB 的中点为 M，则2 1(,)42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为 21.24yx 由、得12,l l的交点为2 1(,)88N。9 分 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 2222122222213 11|()(1),28883 2|1(2)|,23 2|,422113 3|()(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN 故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 12 分（全国新课标理）（20）（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，-1），B点在直线3y 上，M 点满足/MBOA，MA ABMB BA，M 点的轨迹为曲线 C（I）求 C的方程；（II）P 为 C上动点，l为 C在点 P处的切线，求 O 点到l距离的最小值 (20）解：()设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1).所以MAuuu r=（-x，-1-y），MBuuu r=(0，-3-y)，ABuuu r=(x，-2).再由题意可知（MAuuu r+MBuuu r）ABuuu r=0，即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲线 C的方程式为 y=14x2-2.()设 P(x0，y0)为曲线 C：y=14x2-2上一点，因为 y=12x，所以l的斜率为12x0 因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2000220 x xyyx 则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以 2020220014142(4)2,244xdxxx 当20 x=0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为 2.（山东理）22（本小题满分 14 分）与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 已知动直线l与椭圆 C:22132xy交于 P11,x y、Q22,xy两不同点，且OPQ 的面积OPQS=62,其中 O 为坐标原点.（）证明2212xx和2212yy均为定值;（）设线段 PQ 的中点为 M，求|OMPQ的最大值；（）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.22（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，所以2121,.xx yy 因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132xy 又因为6,2OPQS 所以116|.2xy 由、得116|,|1.2xy 此时222212123,2,xxyy （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为,ykxm 由题意知 m0，将其代入22132xy，得 222(23)63(2)0kxkmxm，其中22223612(23)(2)0,k mkm 即2232km（*）又212122263(2),2323kmmxxx xkk 与双曲线有公共的焦点的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点若恰好将线段三等分则四川理在抛物线上取横坐标为的两点过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切则抛物线顶点的坐标为解析由线的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心则该双曲线的方程为全国新课标理已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于两点为的实轴长的倍的离心率为全国大纲理已知抛物线的焦点为直线与交于两点则学的值为湖北理将两个顶点在抛物线上另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则福建理设圆锥曲线的两个焦点分别为若曲线上存在点满足则曲线的离心率等于或或或或北京理设记为平行四边形内部不含边界的整点的个数其中学习好资料 欢迎下载 所以22222121222 6 32|1()41,23kmPQkxxx xkk 因为点 O 到直线l的距离为2|1,mdk 所以1|2OPQSPQd 2222212 6 32|12231kmmkkk 2226|3223mkmk 又6,2OPQS 整理得22322,km 且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323kmmxxxxx xkk 222222121212222(3)(3)4()2.333yyxxxx 综上所述，222212123
