概率论第三章题库高等教育统计学_高等教育-统计学.pdf

1 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X，Y）的两个边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)，则以 下结论正确的是（）A.1)(dxxfX B.21)(dxyfY C.0)(dxxfX D.0)(dxyfY 2、（易）设二维随机变量221212(,)(,)X YN ,则X（）A.211(,)N B.221(,)N C.212(,)N D.222(,)N 3、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域D：x2+y21 上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度为（）A.f(x，y)=1 B.1(,)0,x yDf x y，（,）,其他 C.f(x，y)=1 D.1(,)0,x yDf x y，（,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（）.A.1,0.8,(,)0,.xyF x y 其他 B.,0,0,0,),(0 0其他yxdsdteyxFy xts C.yxtsdsdteyxF),(D.,0,0,0,),(其他yxeyxFyx 5、（易）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=,0;20,20,41其他yx 则 P0X1，0Y0 时,X的边缘分布函数FX(x)=_.14、（易）已知当 0 x 1,0 y 1时，二维随机变量(X,Y）的分布函数 F(x,y)=22x y，记（x,y）的概率密度为f(x,y)，则f(1 14 8，）=_.15、（中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为 则2,1 YXP_.16、（易）设 二 维 随 机 变 量(X，Y)的 概 率 密 度f(x,y)=，yx，其他,0,10,101则PX+Y1=_.17、（中等）设随机变量X的分布律为 ，且Y=X2，记 随机变量Y的分布函数为FY（y），则FY（3）=_.18、（易）设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为 ，则1YXP_.19、（易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为 Y X 1 2 3 0 1 Y X 0 5 0 41 61 X-1 0 1 2 P 81 83 161 167 X-1 0 1 P 31 123 125 Y-1 0 P 41 43 的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否4 则 PXY=0=_.三、计算题 20、（中等）.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码 为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）求关于X和关于Y的边缘分布；（3）X与Y是否相互独立 【解】（1）X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 iP Xx 1 3511C10 3522C10 3533C10 610 2 0 3511C10 3522C10 310 3 0 0 2511C10 110 iP Yy 110 310 610 (2)因6161131,3,101010010P XP YP XY 故X与Y不独立 21、（中等）某高校学生会有 8 名委员，其中来自理科的 2 名，来自工科和文科的各 3 名，现从 8 名委员中随机指定 3 名担任学生会主席，设 X，Y分别为主席来自理科、工科的人数，求：（1）（X,Y）的联合分布律；（2）X,Y的边缘分布.2 31 41 Y X 的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否5 P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56 P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56 P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56 P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 X边缘分布 Y Y Y Y P(X=i)0 1 2 3 X 0 1/56 9/56 9/56 1/56 5/14 X 1 3/28 9/28 3/28 0 15/28 X 2 3/56 3/56 0 0 3/28 Y边缘分布 P(Y=j)5/28 15/28 15/56 1/56 1 22、（中等）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 求：（1）常数c;f(x,y)dxdy=cxydxdy=c xdxydy=c(1/2*x2|从 0 到 2)(1/2*y2|从 0 到 1)=c(1/2*22-0)(1/2*12-0)=c*2*1/2=c 并且f(x,y)dxdy=1.,0;20,20,),(其他yxcxyyxf的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否6 所以 c=1 （2）求（X，Y）分别关于X，Y的边缘密度);(),(yfxfYX （3）判定X与Y的独立性，并说明理由；（4）求 P1,1 YX.23、（较难）设随机变量(,)X Y的分布函数为(,)(arctan)(arctan)23xyF x yA BC，试求：（1）常数 A、B、C （2）试问X与Y是否独立 （3）求X与Y的联合概率密度函数 F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-,-)=A(B-/2)(C-/2)=0 F(-,+)=A(B-/2)(C+/2)=0 F(+,-)=A(B+/2)(C-/2)=0 F(+,+)=A(B+/2)(C+/2)=1 解得：A=1/2,B=/2,C=/2 F(+,y)=1/2+1/*arctan（y/3)F(x,+)=1/2+1/*arctan（x/2)F(x,y)=F(+,y)F(x,+)X和 Y相互独立.(X,Y)的联合概率密度：6/(11)(/2+arctan x/2)(/2+arctan Y/3)的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否7 24、（中等）设二维随机变量(,)X Y的概率密度为 602,24,0kxyxyf x y 求：（1）常数k；（2）(,)X Y关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy；（3）4P XY.【解】（1）由性质有 2402(,)d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk 故 18R (3)244(,)d d(,)d dX YDP XYf x yx yf x yx y 如图b 240212d(6)d.83xxxyy 题 5 图 25、(中等）设二维随机变量(,)X Y的概率密度为 其他 的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否8 2360,0,0 xyexyfx y 求：（1）(,)X Y关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy；（2）判断随机变量 X与 Y是否独立 26、（中等）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0，4 上服从均匀分布，Y的概率密 度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye 求X和Y的联合概率密度(,)f x y.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx 其他;21e,1,()20,yYyfy其他.其他 的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否9 故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyf x y X Yfxfy 独立其他 题 14 图 完整版 1 的是易设二维随机变量则易设二维随机变量服从区域上的均匀分布则的概率密度为其他其他中等下列函数可以作为二维分布函数的是其他其他其他易设二维随机变量的概率密度为其他则中等设随机变量相互独立其联合分布为则有中且则易设二维随机变量的分布函数为则二填空题易设随机变量相互独立且则易设二维随机变量的分布函数为则中等设二维随机变量的分布函数为其他则当时的边缘分布函数易已知当时二维随机变量的分布函数的概率密度为则中等设布函数为则易设随机变量和相互独立它们的分布律分别为则易设二维随机变量的分布律为三计算题则中等袋中有五个号码从中任取三个记这三个号码中最小的号码为最大的号码为求与的联合概率分布求关于和关于的边缘分布与是否