2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版含解析）.docx
第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义基础过关练题组一向量数量积的运算1.若a·b<0,则a与b的夹角的取值范围是()A.0°<90°B.90°<180°C.90°<180°D.90°<<180°2.(黑龙江双鸭山一中高一期末)若|a|=2,|b|=12,a与b的夹角为60°,则a·b=()A.2B.12C.1D.143.(吉林长春外国语学校高一期中)已知下列四个式子:0·a=0;0·a=0;0-AB=BA;|a·b|=|a|b|.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1题组二向量的投影4.(江西玉山一中高一期中)已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=11,则向量a在b方向上的投影是()A.2B.13C.43D.15.设单位向量e1、e2的夹角为23,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则向量b在a方向上的投影为()A.-332B.-3C.3D.3326.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a-b)a,求向量b在向量a方向上的投影.题组三向量的模7.(安徽高一期末)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a-b|=()A.5B.3C.23D.78.已知向量a,b满足a·b=0, |a+b|=m|a|,若a+b与a-b的夹角为23,则m的值为()A.2B.3C.1D.129.(河南高考模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=2,向量a在向量b方向上的投影为1,则|a-2b|=. 题组四向量夹角的计算与向量垂直10.(广西高二期末)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(2018广西南宁三中高一下期末)已知向量OAAB,|OA|=3,则OA·OB=()A.9B.8C.7D.1012.(四川高一期末)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,则a与b的夹角为()A.56B.6C.23D.313.(山东枣庄八中高三月考)已知向量|a-b|=|b|,|a-2b|=|b|,则向量a,b的夹角为. 14.正方形ABCD中,E为BC边的中点,向量AE,BD的夹角为,则cos =. 题组五数量积的简单应用15.(内蒙古高一期末)在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60°,E是BC的中点,则AC·AE=()A.3+33B.92C.3D.916.(黑龙江省实验中学高三月考)如图所示,等边ABC的边长为2,D为AC边上的一点,且AD=AC,ADE也是等边三角形,若BE·BD=449,则的值是()A.23B.33C.34D.1317.(浙江诸暨中学高一期中)已知正三角形ABC的边长为2,设AB=2a,BC=b,则()A.|a+b|=1B.abC.(4a+b)bD.a·b=118.(上海金山中学高一下期末)如图,边长为1的正方形ABCD的边BC上有一个动点P,问AB·AP是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.能力提升练一、选择题1.()若AB·BC+AB2=0,则ABC为() A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(黑龙江哈尔滨三中高三期中,)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是()A.若a·c=b·c,则c=0B.若ab,则a·b=(a·b)2C.若ab,则a在b方向上的投影为|a|D.若1a+2b=0(1,2R),则1=2=03.(辽宁高一期末,)已知a,b是非零向量,若3|a|=2|b|,且(a+b)b,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°4.()在ABC中,若|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=3,E,F分别为BC边上的三等分点,则AE·AF=()A.269B.83C.2D.1095.(江西高三月考,)已知ABC的垂心为H,且AB=3,AC=5,M是BC边的中点,则HM·BC=()A.5B.6C.7D.86.(辽宁高一期末,)在ABC中,AB=2,AC=2,点E是BC边的中点.O为ABC所在平面内一点,且|OA|2=|OB|2=|OC|2,则AE·AO的值为()A.12B.1C.22D.327.(黑龙江高三月考,)在ABC中,|AB|=2,|AC|=22,BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则PB·PC的取值范围是()A.-14,1B.-14,0C.-12,4D.-12,28.(安徽芜湖高三模拟,)如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则OA·AB=()A.4B.-4C.8D.-8二、填空题9.(2018四川绵阳南山中学高一下期末,)长为2a的线段PQ以直角ABC的直角顶点A为中点,且BC边长为a,则BP·CQ的最大值为. 10.(云南师大附中月考,)在边长为23的等边ABC中,点O为ABC外接圆的圆心,则OA·(OB+OC)=. 三、解答题11.(湖南长郡中学高一上期中,)已知ABC为等边三角形,AB=2,点N、M满足AN=AB,AM=(1-)AC,R,设AC=a,AB=b.(1)试用向量a和b表示BM,CN;(2)若BM·CN=-32,求的值.12.(辽宁沈阳高一下期中,)如图,在OAB中,点P为直线AB上的一个动点,且满足AP=AB.(1)若=13,用向量OA,OB表示OP;(2)若|OA|=4,|OB|=3,且AOB=60°,请问取何值时OPAB?答案全解全析第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义基础过关练1.C由a·b=|a|b|cos <0知cos <0,故夹角的取值范围是90°<180°.2.B|a|=2,|b|=12,a与b的夹角为60°,a·b=|a|b|cos 60°=2×12×12=12,故选B.3.C由向量乘以实数仍然为向量,得0·a=0,故正确,错误;因为AB+BA=0,所以0-AB=BA,故正确;由|a·b|=|a|b|cos |,得|a·b|=|a|·|b|不一定成立,故错误.故选C.4.B由(a-b)2=4+9-2a·b=11,得a·b=1,则向量a在b方向上的投影是a·b|b|=13.故选B.5.A依题意得e1·e2=1×1×cos 23=-12,|a|=(e1+2e2)2=e12+4e22+4e1·e2=3,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e12-6e22+e1·e2=-92,因此向量b在a方向上的投影为a·b|a|=-923=-332.故选A.6.解析设向量a,b的夹角为,(a-b)a,(a-b)·a=a2-a·b=0,a·b=a2=1,向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos =a·b|a|=1.7.B向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×12+12=3.故选B.8.A|a+b|=m|a|>0,m>0.又a·b=0,ab,|a-b|=|a+b|=m|a|,|a|2+2a·b+|b|2=m2|a|2,|b|2=(m2-1)|a|2,(a+b)·(a-b)=|a+b|a-b|×cos 23,a2-b2=|a+b|a-b|×cos 23,1-(m2-1)|a|2=m|a|×m|a|×-12,即-12m2=2-m2, 解得m=2或m=-2(舍去),故m的值为2.故选A.9.答案23解析因为向量a在向量b方向上的投影为1,所以|a|cos<a,b>=a·b|b|=1,所以a·b=2,所以|a-2b|=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=4-4×2+16 =23.10.A以a,b为邻边作平行四边形ABCD,如图.由|a|=|b|=|a-b|知,a,b与a-b形成一个等边三角形,所以此平行四边形为菱形.由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为30°.故选A. 11.A因为OAAB,所以OA·AB=0,OA·OB=OA·(OA+AB)=OA2+OA·AB=OA2=9.12.C因为(a+b)a,故(a+b)·a=a2+a·b=1+2cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=-12,所以<a,b>=23.故选C.13.答案6解析根据题意,设向量|a|=m,向量|b|=n,向量a,b的夹角为,因为向量|a-b|=|b|,所以(a-b)2=b2,所以m2+n2-2mncos =n2,整理得m2=2mncos ,即m=2ncos .又|a-2b|=|b|,所以(a-2b)2=b2,所以m2+4n2-4mncos =n2,整理得m2+3n2-4mncos =0.将联立可得4cos2-8cos2+3=0,解得cos =±32.又由m=2ncos ,得cos >0,所以cos =32,所以=6.14.答案-1010解析设正方形的边长为a,则|AE|=52a,|BD|=2a,又AE·BD=AB+12AD·(AD-AB)=12AD2-AB2+12AD·AB=-12a2,所以cos =AE·BD|AE|·|BD|=-12a25a2·2a=-1010.15.D由题意得ABC=120°,BA·BC=2×2×cos 120°=-2,AC·AE=(BC-BA)·(BE-BA)=(BC-BA)·12BC-BA=12BC2-32BA·BC+BA2=12×22-32×(-2)+22=9.故选D.16.A由题意得BE·BD=(BA+AE)·(BA+AE+ED)=BA2+BA·AE+BA·ED+AE·BA+AE2+AE·ED=22+2·2cos 3-2·2+2·2·cos 3+42+42cos 23=22+4=449,所以2=49,因为>0,所以=23.故选A.17.C如图,取AB的中点D,BE=AD=a,AD=BD=BE=1,EBC=120°,|a+b|=12+22+2×1×2×(-12)=3,故A错误;a,b的夹角为120°,故B错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,(4a+b)b,故C正确;a·b=1×2×cos 120°=-1,故D错误.故选C.18.解析是定值1.根据题意,可知AB·AP=AB·(AB+BP)=AB2+AB·BP=1+0=1,是定值,为1.能力提升练一、选择题1.AAB·BC+AB2=AB·(BC+AB)=AB·AC=0,ABAC,BAC=90°,ABC为直角三角形.2.B对于选项A,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,则a-b=0或c=0或a-b与c垂直,故A错误;对于选项B,若ab,则a·b=0,则a·b=(a·b)2,故B正确;对于选项C,若ab,则a在b方向上的投影为±|a|,故C错误;对于选项D,由1a+2b=0,不能推出1=2=0,例如1=0,20,b=0时,1a+2b=0也成立,故D错误.故选B.3.D(a+b)b,(a+b)·b=a·b+b2=a·b+|b|2=0,a·b=-|b|2,cos<a,b>=a·b|a|b|=-|b|223|b|·|b|=-32,<a,b>=150°.故选D.4.A|AB+AC|=|AB-AC|,两边平方并整理得AB·AC=0,ABAC,|BC|2=|AB|2+|AC|2=13.又E,F为BC边上的三等分点,所以不妨设点E靠近点C,则AE·AF=(AC+CE)·(AB+BF)=AC+13CB·AB+13BC=AC-13BC·AB+13BC=AC·AB+13AC·BC-13AB·BC-19BC2=13(AC-AB)·BC-19BC2=13BC·BC-19BC2=29BC2=269.5.D因为H是ABC的垂心,所以AHBC,而HM=HA+AM,所以HM·BC=(HA+AM)·BC=AM·BC.又因为点M是BC边的中点,所以AM·BC=12(AB+AC)·(AC-AB)=12(AC2-AB2)=12×(25-9)=8.6.DE为BC边的中点,AE=12(AB+AC),AE·AO=12(AB+AC)·AO=12AB·AO+12AC·AO.又|OA|2=|OB|2=|OC|2,AOB和AOC为等腰三角形,AB·AO=|AB|AO|cosOAB=|AB|·12|AB|=12|AB|2,同理可得AC·AO=12|AC|2,AE·AO=14|AB|2+14|AC|2=12+1=32.故选D.7.C在ABC中,设PA=x,x0,22,则PB·PC=(PA+AB)·PC=PA·PC+AB·PC=x(22-x)×cos 180°+2(22-x)×cos 45°=x2-32x+4=x-3222-12,x0,22,由二次函数的性质可知,当x=322时,有最小值-12;当x=0时,有最大值4.故PB·PC的取值范围是-12,4.故选C.8.D设AB的中点为M,连接OM,则OMAB,则OA·AB=2AM·OA=2|AM|OA|cos(-OAB)=-2×2×|AO|×cosOAB=-4|AM|=-8.故选D.二、填空题9.答案0解析因为BP·CQ=(BA+AP)·(CA+AQ)=(BA+AP)·(CA-AP)=AP·(CA-BA)-AP2=AP·CB-a2|AP|·|CB|-a2=a2-a2=0,所以BP·CQ的最大值为0.10.答案-4解析如图,在等边ABC中,O是正ABC外接圆的圆心,则O也是正ABC的重心.设AO的延长线交BC于点D,则AD垂直平分BC,因为三角形ABC的边长为23,所以AD=3,圆的半径OA=2,故OB+OC=2OD=-OA,所以OA·(OB+OC)=-OA2=-4.三、解答题11.解析(1)BM=AM-AB=(1-)AC-AB=(1-)a-b,CN=AN-AC=AB-AC=b-a.(2)BM·CN=-32,即BM·CN=(1-)a-b·(b-a)=(1-)+1a·b-b2-(1-)a2=(-2+1)×2×2×12-4-4(1-)=-22+2-2=-32,整理得42+1-4=0,解得=12.12.解析(1)由题意得AP=13AB,OP-OA=13(OB-OA),OP=23OA+13OB.(2)由题意知OA·OB=4×3×cos 60°=6.AP=AB,OP-OA=(OB-OA),OP=(1-)OA+OB.OPAB,OP·AB=(1-)OA+OB·(OB-OA)=(1-2)OA·OB-(1-)OA2+OB2=6(1-2)-16(1-)+9=0,解得=1013.
