2.3.2双曲线的几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1（含答案）.docx

双曲线的几何性质一、单选题1双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD2等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（ ）ABCD3已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）ABCD4设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）A2BC4D5已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）A3条B4条C1条D2条6已知双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），且的面积为，则直线的斜率为（ ）ABCD7P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）A3B4C5D98点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）ABC2D59已知A，B是双曲线：1(a0，b0)的左、右顶点，动点P在上且P在第一象限若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）Ak1k2B|k1k2|Ck1k2D10如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A2B3C2D4二、填空题11双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_12经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B求弦长|AB|=_13已知双曲线与双曲线（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为_14如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、三点，且以、为焦点,双曲线的离心率为_三、解答题15已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.16已知平面内两个定点，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.17已知双曲线实轴端点分别为，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由18已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.（1）求双曲线C：方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.参考答案1D在双曲线中，故双曲线的渐近线方程为.故选：D.2B由题意知，焦点在x轴上，设等轴双曲线方程为，故双曲线方程为.故选：B.3B由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴长的倍，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离.故选：B.4C由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.5D由双曲线方程可知其顶点坐标为当直线斜率不存在时，直线方程为：，满足与曲线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：，联立，整理可得：当，解得， 当时，此时方程没有实数根，当时，此时方程有且仅有一个实数根，直线与曲线有且仅有一个公共点当时，解得：，又因为，此时方程无解.综上所述：满足条件的直线有条故选：D6A设双曲线右焦点为，连接，由图形的对称性知为矩形，则有，在中，故选:A7C如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2， ，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.故选：C.8D设点在双曲线的右支上，则，因为，所以，因为，所以是直角三角形，所以所以，即，所以，解得：或（舍），所以此双曲线的离心率是，故选：D.9C由题意可得A(a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m0，n0)，可得即又k1，所以k1k2，所以k1k2为定值，不为定值；，不为定值；，不为定值故选：C10C该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设 代入双曲线方程可得 ，即，作差可得，解得 ，所以杯身最细处的周长为 .故选：C11双曲线的离心率，则，故答案为：3123双曲线的左焦点为F1（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程可设为，代入方程得，8x24x130，.故答案为：3.13设双曲线的右顶点为，其坐标为，设右焦点为，坐标为，设双曲线的上顶点为，其坐标为，设上焦点为，坐标为，则，当且仅当时等号成立，故的最大值为故答案为：143解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，则轴因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高由定比分点坐标公式，得点的坐标为， 设双曲线的方程为，则离心率由点、在双曲线上，得 解得，化简可得，所以，离心率.故答案为：315（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为（1）解：在双曲线中，则渐近线方程为，双曲线与双曲线有相同的渐近线，方程可化为，又双曲线经过点，代入方程，解得，双曲线的方程为. （2）解；由（1）知双曲线中，实轴长，离心率为，设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，即焦点到渐近线的距离为.16（1）（2）或（1）设点M坐标为，则，即：，点M的轨迹方程为；（2）将直线方程与曲线方程联立，当，即时，直线与曲线E渐近线平行，满足当时，直线与曲线E相切，满足题意，解得综上，的取值范围为或.17（1）；（2）存在，.解：（1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，联立，得：，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为.（2）设，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，联立， 所以点的横坐标为，联立，得：，所以，直线与直线的交点在直线上.18（1）（2）过定点，（0，1）【分析】（1）利用待定系数法求处标准方程；（2）先判断出斜率存在，不妨设直线AB的方程为，代入双曲线方程，利用“设而不求法”，表示出，得到，即可得到直线AB的方程为，经过定点.（1）离心率为，则，即双曲线方程为.又点在双曲线C上，所以，解得，所以双曲线C的方程为.（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.不妨设直线AB的方程为，代入，整理得，设，则，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或.当时，直线AB的方程为，经过定点；当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.综上，直线AB过定点（0，1）.