高一数学竞赛试题及答案中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf
高一数学竞赛试题及答案 时间：2016/3/18 注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分 150 分,考试时间 120 分钟.1.（本小题满分 15分）设集合 222320,2150,Ax xxBx xaxaaR ，（1）若 2AB 求a的值；（2）若ABA,求a的取值范围；（3）若,UUR AC BA,求a的取值范围.2.（本小题满分 15分）设,)(|,)(|xxffxNxxfxM（1）求证：;NM （2）)(xf为单调函数时，是否有NM 请说明理由.3（本小题满分 15分）已知函数444)cos(sin)cos(sin2)(xxmxxxf在2,0 x有最大值 5，求实数m的值 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次4（本小题满分 15分）已知函数 f(x)在 R上满足 f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有 f(1)f(3)0，(1)试判断函数 yf(x)的奇偶性；(2)试求方程 f(x)0 在闭区间2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次5（本小题满分 15分）已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；（2）如果21x，212 xx，求b的取值范围.钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次6（本小题满分 15分）如图，直三棱柱111CBAABC 中，121AABCAC，D是棱1AA的中点，BDDC 1。（1）证明：BCDC 1；（2）求二面角11CBDA的大小。ABCD1A1B1C钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次7（本小题满分 15分）在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb(x R)的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为 C.(1)求实数 b的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b无关)请证明你的结论 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次8（本小题满分 20分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意 x1,x20，21都有).()()(2121xfxfxxf且 f（1）=a0 （）);41(),21(ff求 （）证明)(xf是周期函数；（）记),212(nnfan求).(lnlimnna 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次9（本小题满分 20分）设)(xf是 R上的奇函数，且当0 x时，)10lg()(2axxxf，Ra.（1）若5lg)1(f，求)(xf的解析式；（2）若0a，不等式0)14()2(kfkfxx恒成立，求实数k的取值范围；（3）若)(xf的值域为R，求a的取值范围.钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次高一数学竞赛试题参考答案 1、解：2,1A （1）2AB B2 即，0)5(2)12222aa（，解得13aa或 当3a时，2044|2xxxB 当1a时，2,204|2xxB 综上3,1a（2）ABA AB 当B时，则该一元二次方程无解，即0，0)5(41222aa，即3a 当B时，则该一元二次方程有解，即0，即3a 1.当3a时，2B 2.当3a时，该一元二次方程有两个不同实数根 1 和 2 )1(221a，即25a 5212a，即7a （舍）,综上3,a（3）,UUR AC BA BA 当0 时，即3a，所以只需BB21且 将 1代入方程中得31a;将 2代入方程中得13aa或 所以3113aaa和、综上，a的取值范围为 ,3131,11,3131,33，钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次2、3、解：422222)cos(sincossin4)cos(sin2)(xxmxxxxxf 42)cos(sin)cossin2(2xxmxx 令2,1)4sin(2cossinxxxt，则1cossin22 txx，从而12)1()1(2)(24422ttmmttxf 令 2,1 2 tu，由题意知12)1()(2uumug在 2,1 u有最大值 5.当01m时，12)(uug在2u时有最大值 5，故1m符合条件；当01m时，5122)2()(maxgug，矛盾！当01m时，512)(uug，矛盾！综上所述，所求的实数1m 4、解(1)若 yf(x)为偶函数，则 f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与 f(x)在闭区间0,7上，证明：（1）若M，显然有;MN 若M，则存在0 xM，满足00fxx，所以000ffxfxx，故0 xN，所以;MN（2）.MN用反证法证明 假设MN，由于MN，必存在1,xN 但1xM，因此11fxx，若 11f xx，由于 f x为单调增函数，所以 11f f xf x，即 11xf x，矛盾；若11f xx，由于 f x为单调增函数，所以 11ff xf x，即11xf x，矛盾。综合、可知11f xx，因此1,xM与假设矛盾，所以假设不能成立，即.MN 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次只有 f(1)f(3)0矛盾；因此 f(x)不是偶函数 若 yf(x)为奇函数，则 f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这些 f(x)在闭区间0,7上，只有 f(1)f(3)0矛盾；因此 f(x)不是奇函数 综上可知：函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即 f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函数 f(x)的周期为 10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即 x110n和 x310n(nZ)均是方程 f(x)0的根 由2 0111 10n2 011 及 nZ 可得 n0，1，2，3，201，共 403个；由2 0113 10n2 011 及 nZ 可得 n0，1，2，3，200，201，共 402 个；所以方程 f(x)0在闭区间2 011,2 011 上的根共有 805个 5、解：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x.（1）由0a及4221xx，可得 0)4(0)2(gg，即034160124baba，即 ,043224,043233aabaab 两式相加得12ab，所以，10 x;（2）由aabxx4)1()(2221,可得 1)1(122ba.又0121axx，所以21,xx同号.21x，212 xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即 1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次解之得 41b或47b.6、【解析】（1）在Rt DAC中，ADAC 得：45ADC 同理：1114590ADCCDC 得：111,DCDC DCBDDC面1BCDDCBC （2）11,DCBC CCBCBC面11ACC ABCAC 取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H 1111111ACBCC OAB，面111ABC 面1ABD1C O面1ABD 1OHBDC HBD 得：点H与点D重合 且1C DO是二面角11CBDA的平面角 设ACa，则122aC O，1112230C DaC OC DO 既二面角11CBDA的大小为30 7、【解答】(1)令 x0，得抛物线与 y轴交点是(0，b)；令 f(x)x22xb0，由题意 b0且 0，解得 b1且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0.令 y0得 x2DxF0，这与 x22xb0是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0得 y2Eyb0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1.所以圆 C的方程为 x2y22x(b1)yb0.(3)圆 C必过定点，证明如下：假设圆 C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C的方程，并变形为 x20y202x0y0b(1y0)0.(*)为使(*)式对所有满足 b1(b0)的 b都成立，必须有 1y00，结合(*)式得 x20y202x0y00，解得 x00，y01或 x02，y01，经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆 C上，因此，圆 C过定点 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次 钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次 9、解：（1）6,5lg)11lg()(,5lg)1(aaxff所以则因为 所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02fxxxfxfx 0),106lg(0,00),106lg()(22xxxxxxxxf (2)0)14()2()(0kfkfRxfaxx上单调递增，故在，则若等价于 恒成立，在于是，另),0(01),0(201422kkttttkkxxx 1)(2kktttg设 （1）0时，解得：222222k；（2）时0，0)0(02gk，解的0k 综上，222k （3）设10)(2axxxh,由题意知，若函数)(xf的值域为 R，只需 1026,1)(00minaxhx解得：时，钟本小题满分分设集合若求的值若求的取值范围若求的取值范围本小题满分分设求证为单调函数时是否有请说明理由本小题满分分已知函数在求实数的值有最大值本小题满分分已知函数在上满足且在闭区间上只有试判断函数的奇偶的对称轴为如果求的取值范围求证本小题满分分如图直三棱柱中是棱的中点证明求二面角的大小本小题满分分在平面直角坐标系中设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经明是周期函数记求本小题满分分设是上的奇函数且当时若求的解析式若不等式恒成立求实数的取值范围若的值域为求的取值范围高一数学竞赛试题参考答案解即解得或当当时时综上当时则该一元二次方程无解即即当时则该一元二次
