高三理科数学复习资料 合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明资格考试公务员考试_中学教育-中学课件.pdf

第十单元第 4 讲 合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明 一基础知识 1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断 3直接证明(1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 框图表示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论)(2)分析法 定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法 框图表示：Q P1 P1 P2 P2 P3 得到一个明显成立的条件.4间接证明 一般地，由证明 pq 转向证明：綈 qrt.t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 二.题型分析 题型 1.归纳推理 题 1.（1）已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3 172 10，7.512.52 10，8 212 22 10，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数 m，n 都成立的条件不等式_ 解析 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20，不等式的右边都是 2 10，因此对正实数 m，n 都成立的条件不等式是：若 m，n R，则当 mn20 时，有 m n2 10.答案 若 m，nR，则当 mn20 时，有 m n2 10（2）如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有 n(nl，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则239a a+349a a+459a a+201220139aa=A20102011 B20112012 C20122013 D20132012【答案】B【解析】由图案的点数可知23453,6,9,12aaaa，所以33,2nann，所以1991113(1)3(1)1nna annn nnn，所以239a a+349a a+459a a+201220139aa 有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示1111120111223201120122012 ，选 B.（3）定义映射:fAB，其中(,),Am n m nR，B R，已知对所有的有序正整数对(,)m n满足下述条件:(,1)1f m；若nm，(,)0f m n；(1,)(,)(,1)f mnn f m nf m n，则(2,2)f ，(,2)f n 【答案】2 22n【解 析】根 据 定 义 得(2,2)(1 1,2)2(1,2)(1,1)2(1,1)2 12fffff 。3(3,2)(21,2)2(2,2)(2,1)2(21)622ffff ，4(4,2)(31,2)2(3,2)(3,1)2(61)1422ffff ，5(5,2)(41,2)2(4,2)(4,1)2(141)3022ffff ，所以根据归纳推理可知(,2)22nf n。题型 2.类比推理 题 2.（1）在平面几何里，有“若ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，则三角形面积为 SABC12(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为_”审题视点 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论 解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径 二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体 ABCD13(S1S2S3S4)r.答案 V四面体ABCD13(S1S2S3S4)r.有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示（2）已知命题：“若数列an为等差数列，且 ama，anb(mn，m，nN*)，则 amnb na mnm”现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且 bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到 bmn_.答案 abannm 题型 3.综合法的应用 题 3.设 a，b，c0，证明：a2bb2cc2aabc.审题视点 用综合法证明，可考虑运用基本不等式 证明 a，b，c0，根据均值不等式，有a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c.三式相加：a2bb2cc2aabc2(abc)当且仅当 abc 时取等号 即a2bb2cc2aabc.题型 4.分析法的应用 题 4.已知 m0，a，bR，求证：amb1m2a2mb21m.审题视点 先去分母，合并同类项，化成积式 证明 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证 题型 5.反证法的应用 题 5.已知 a，b为非零向量，且 a，b不平行，求证：向量 ab与 ab不平行 证明 假设向量 ab与 ab平行，有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示即存在实数 使 ab(ab)成立，则(1)a(1)b0，a，b不平行，1 0，1 0，得 1，1，所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立 题 6.设直线 l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数 k1，k2满足 k1k220.(1)证明 l1与 l2相交；(2)证明 l1与 l2的交点在椭圆 2x2y21 上 第(1)问采用反证法，第(2)问解 l1与 l2的交点坐标，代入椭圆方程验证 解答示范 证明(1)假设 l1与 l2不相交，则 l1与 l2平行或重合，有 k1k2，(2 分)代入 k1k220，得 k2120.(4 分)这与 k1为实数的事实相矛盾，从而 k1k2，即 l1与 l2相交(6 分)(2)由方程组 yk1x1，yk2x1，解得交点 P 的坐标(x，y)为 x2k2k1，yk2k1k2k1.(9 分)从而 2x2y222k2k12k2k1k2k12 8k22k212k1k2k22k212k1k2k21k224k21k2241，此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2y21 上(12 分)1.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为ija（*,Njiji），则53a等于 ，_(3)mnam.有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示AEBDABCE图1【答案】5,16 12nm【解析】由题意可知第一列首项为14，公差111244d ，第二列的首项为14，公差311848d ，所以511154444a ，521153488a ，所以第 5 行的公比为525112aqa，所 以5 35 2515821 6aaq。由 题 意 知111(1)444mmam ，211(2)488mmam ，所 以 第m行 的 公 比 为2112mmaqa，所 以11111(),3.422nnmnmnmmaa qm 2.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A，且法向量为(1,2)n 的直线（点法式）方程为1(3)(2)(4)0 xy ，化简得2110 xy 类比以上方法，在空间直角坐标系 中，经 过 点(1,2,3A，且 法 向 量 为(1,2,1)n 的 平 面（点 法 式）方 程为 【答案】220 xyz 【解析】设(,)B x y z为平面内的任一点，由0AB n 得(1)(1)(2)(2)1(3)0 xyz ，即220 xyz 3.如图 1，平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC 面积所成的比 BCACSSBECAEC，把这个结论类比到空间：在 三棱锥 A-BCD（如图 2）中，平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于 E，则类比的结论是 有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示 【分析及解】利用类比的思想可得结论:BDCACDCDEBCDEASSVV 4.如下图，对大于或等于 2 的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，26的“分裂”中最大的数是 ；32013 的“分裂”中最大的数是 ；答案：11（本空 2 分）；3m（m为奇数）的“分拆”的最大数是21mm，所以2201320124054181（本空 3 分，写成“220132012”或“4054181”都给 3 分）5.无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，以此类推.记该数列为na，若120na，21na，则n 答案：211【解析】将1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,分组成 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,。第1组有1个数，第2组有2个数，以此类推.显然120na在第20组，21na 在第21组。易知，前 20 组共(120)202102 个数.所以，211n。6.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于BA,两点,它们到直线2x的距离之和等于 5,则这样的直线 A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示【答案】本题答案应为 D(试题提供的答案是 B)【解析】抛物线xy42的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x 。若直线 AB的斜率不存在，则横坐标之和等于 6，不适合 故设直线 AB的斜率为 k，则直线 AB为(1)yk x，代入抛物线 y2=4x 得，22222(2)0k xkxk，所以21222(2)kxxk。因为 A,B到 直 线2x的 距 离 之 和 等于 5,即12225xx ，即121xx，所 以21222(2)1kxxk，解得23k ，显然不成立，所以不存在这样的直线，选 D.7.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 尝试解答(1)当 n1 时，a1S12a12，则 a11.又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减得 an112an，所以an是首项为 1，公比为12的等比数列，所以 an12n1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(pqr，且 p，q，rN*)，则 212q12p12r，所以 2 2rq2rp1.又因为 pqr，所以 rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证 8.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12 有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示（4）sin2（-18）+cos248-sin2（-18）cos248（5）sin2（-25）+cos255-sin2（-25）cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。【答案】有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理简言之归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知理和类比推理都是根据已有的事实经过观察分析比较联想再进行归纳类比然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理演绎推理演绎推理从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推根据一般原理对特殊情况作出的判直接证明综合法定义利用已知条件和某些数学定义公理定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法框图表示其中表示已知条件已有的定义公理定理等表示