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2022年高中课件教案说课计划 (2) 第6讲 数列（一）下好，有了这两道题的铺垫之后呢，下面这两道题呢我信任大家应当就能很快地做出来了。例1:(1)已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满意，则。(2)已知数列的前项和，则其通项；满意的最大正整数为。这个地方应当是啊。这两个题目呢就像我们刚才那样，啊，我们刚才用的是和来算的的通项形式，是不是应当这样的？诶，当然假如我们的的形式发生了改变，我们能不能把通项的形式求出来，对吧？这刚才都是做过的小问题，对不对？抓紧填填、填填。方法跟我们刚才所说的方法是一样的，啊，当我们要求这个通项的时候，我们要用，这是讲义上的例4。假如算得比较快的同学，其实我看到有同学你可以口算，诶也挺好的。你要是觉得自己做这种题，啊，跟你的水平不匹配，当然这个不匹配有两种，有的同学呢是觉得自己水平比较高，有的同学呢是觉得题的水平比较高。学生：其次问满意，是指还是啊？，你觉得是还是？你觉得是还是小于？对吧，看到什么就是什么，理解不要有偏颇。来，好，来看看。第一题通项是什么呀？诶，第一题通项是什么呀？什么呀，等于几呀？等于几？应当等于，是不是应当这样的？然后呢，呢应当等于的时候，应当等于，就应当等于什么呀？，是不是应当等于这个东西？诶，这个没错吧？所以说这个结果应当等于什么？怎么呀，。既然等于的话，你发觉也是符合要求的，是不是应当这样的？符合要求吧？是不是同样满意这个要求，所以这个通项呢是。某一项在到之间，那么这一项是多少，这一项是哪一项？第几项？明显，的时候应当刚好在到之间，是不是应当这样的？所以说，应当等于什么啊？。是这么一回事儿吧？其次个问题。假如一个数列的前项和等于，来，它后面的每一项应当是什么呀？的通项应当是什么？还是一样，等于几啊？诶，等于几？应当等于。是等于吧？等于什么呢？，是不是应当这样的？等于减去什么呀？，所以说等于什么啊？等于。是不是应当这样的？等于。既然它等于，看看符合不符合这个要求，符合。所以说它的通项就应当是。那么，符合的最大整数应当是多少？的多少次方是小于的呀？应当是还是小于的，是不是应当这样的？就等于什么呀？是不是就大于了，是不是应当这样的？所以说这个上面的指数是，但是留意，指数是，应当是多少？几等于啊，几等于？是不是应当是是不是应当这样的？诶，是这么一回事儿吧？。这种时候就是在初学数列的时候最简单出错的就是这种下角标的转换，最简单出错的就是这种下角标的转换，是不是应当这样的？你留意，你是，因为是，是不是应当这样的？没错吧？所以是。所以说这个最大正整数呢应当是，应当是。好，那么我们再来往后看，啊，再往后看。这个后面呢有一道易错门诊的题，看到没有？我们看看易错门诊的第一个题，我们来看看易错门诊的第一题。，来我们快速求一下的通项，给大家一分钟的时间快速求一下。下面看一下第一题， 先看一下第一题。一分钟啊，速度，动作快点。······算出来了吗？好，OK,这里算出等于什么啊？应当等于什么？哎，这道题留意=··· ，···，1？，是不是应当这样的？当时，我们有 算出来应当等于，那么符合不符合这个要求？符合不符合？符合不符合？符合不符合这个通项？不符合。所以说，最终的通项应当写成这个形式好，我们来探讨一下，为什么会出现这个状态，好吧！？好，我们再来看一下，假设我把这个改掉，,我们再来算一下这个时候的通项，你会发觉这里的和这里的是不是只差一个常数项。差的这个常数是不是在的过程中肯定会抵消掉。哎，是不是这么一回事？是不是差的这个常数在的过程中肯定会被抵消掉，所以，这个数列的一般通项是不是还是？它的是几？它的是，是不是就符合这个要求了？那么，假如我来将再换一下，,它的一般的通项应当是什么？它的一般的通项应当是什么？它的一般的通项是不是还应当是,哎，这个能理解是这么回事吧！也就是说，之间假如只相差一个常数，那么他的通项的最一般的形式会不会发生变更？会不会发生变更？它的最一般的一般的通项是不是不会发生变更啊？它只会在哪一项上有调整？只会在第一项上是不是有相应的调整？是不是这样的？所以说，这个题目啊。同学们，大家肯定要留意一下，就是后面的这个常数啊，基本上是可以无视这个常数的。能明白我这个意思吧？你在算一般的通项的时候，这个常数有没有都是一回事。它主要影响的是数列的第一项。能理解我的意思吗？它主要影响的是我们这个数列的第一项。它不会对它的一般的通项产生影响。好，其次道题也一样。好了，这个地方呢我们就说到这，我们就说到这。已知要求的方式，千万别忘了步骤，第一步写，其次步求一般的，第三步看它们是不是可以用同一个式子表达。假如可以，那么就把它写下来。假如不行以，就分段写。是不是应当这样的？好，下面呢？我们起先讲两个重要的数列。第一个数列呢，我们把它叫做等差数列。等差数列也有一个名字叫做“算数序列”。等差数列还有一个名字叫做算术序列。在后面提到等差序列的时候，我会用字母来代替。我会用字母来代替等差数列。我们后面要学的其次个数列叫做等比数列，等比数列在许多地方也被叫做几何序列。我们会用表示。我们会用表示。包括我们以后学不等式学到的算数平均和几何平均，也会和这个东西有着关系。算术平均其实某种意义上你可以理解为等差中项，几何平均某种意义上你可以理解为等比中项。它其实就是从算数序列和几何序列这两个名词中获得的。好，序列就是数列，你可以理解为叫数列。只不过无限的状况下一般我们会把它叫做序列。这是因为你高校学数学之后一般都会把它叫做序列。好吧。那么，什么叫做等差，什么叫做等比呢？这个比较简洁，它的名字呢，都源自于这个东西叫做等差。是不是应当这样的？所谓等差数列和等比数列，都是由递推形式定义的，留意：它都是由递推形式，什么叫做等差数列？假如一个数列全部的后一项减去它的前一项都是一个常数，假如这个关系对于随意的属于正整数成立，那么我们就把这个数列称为等差数列。肯定是它的后一项减前一项是一个常数，不能说相邻两项的差是一个常数。能明白我的意思吗？不能说它的相邻两项的差是常数，肯定是它的后一项减前一项是一个确定的常数。我们把这个数列称之为等差数列。换而言之，等差数列就是一个什么数列呢？它相当于两项之间都会相隔相同的距离。是不是这样的？是不是这么回事？我们可以这样理解吧？所以等差数列是一个匀称改变的数列。所以等差数列许多的性质都依靠于它的改变是匀称改变的。能理解是怎么回事吧？那么，等比数列是一个什么样的数列呢？等比数列是会等于一个常数。当然这个。假如这个式子对于随意的成立，那么这个数列是一个等比数列。等比数列是后一项和前一项的比值是一个常数。这个能理解是怎么回事吧！？它是后一项与前一项的比值是一个常数。这种数列我们把它称之为等比数列。那么，很明显，一个匀称改变的数列，那么它所对应的函数应当也许是一个什么样的函数？同学们想一想，它也许是个什么样的函数？明显，它最基本的模型应当是一个一次函数的模型。是不是应当这样的？因为 一次函数是线性函数最能体现匀称改变的特点。那么，下面这个函数模型应当差不多是个什么样的模型？···二次？后一项和前一项的比值是一个常数，最简洁的、····，这体现出什么样的规律？···明显，它是一个什么函数？明显这个函数的模型是一个指数函数。所以说，我们去探讨这些函数的许多的特征的时候肯定要有一个思路，就是这个数列大致改变的方向、改变的方式究竟是什么？你会和这些函数有一些很亲密的关联。好，首先我们以等差数列为例先来进行探讨。等差数列呢，我信任大家在小学奥数中学习过，当时学过好多等差数列的模型。我们来看看，从数学的角度来说，等差数列相邻两项，后一项和前一项的差，因为这个差一般是常数，所以我们把这个差叫做公差，就是相邻两项都会有这个差，公共的，这个d将是一个常数，叫做公差。那么一般状况下，许多时候，我们会把等差数列第一项a，叫做首项。那么，这里给出的是等差数列什么形式，这是一个等差数列的递推形式，由递推形式我们要求出等差数列的通项形式。好，等差数列通项形式怎么求，我们简洁的来看一看，我们知道,好，那我们一般认为,好，假如我们把这些式子都加在一起之后会变成什么结果？这个 和消掉， 和消掉， 和消掉，始终到和消掉，左边剩下,，右边剩个（n-1）d,这个形式就是我们等差数列的通项形式，这种求的方式我们把它叫做叠加法，但是其实这个式子有着特别直观的含义。我就问大家，我们都知道， 和之间是不是差一个d，和之间差几个d，明显应当差两个，是不是这样的。和差几个d，4个，那么和差几个d,n-1个，其实他们之间的规律特别直观，甚至我们可以这样讲， 和之间差几个d,5个d。这样我们可以得到一般性的结论.这是很一般的结论，代表的是等差数列之间真的是等距离的。这个没问题吧。这个d有影响，这个d 大于0的话，这个数列会一步一步往上走，这个d小于0，这个数列会往下减。假如我们把写成的形式，,所以说这个函数其实是关于n的一次函数，这个d就是这个函数的斜率。现在对大家有个基本的训练。已知等差数列第一项和这个数列的公差d，请你快速说出这个等差数列的通项公式。这个东西基本上要能在你们的直觉中，第一项是5，首项是5，公差是2，它的通项是什么，应当是什么，是不是应当是2n+3，首先告知你公差，这个里面的d是不是就知道了？比如说告知你公差是7，确定是7n加多少，是-2确定是-2n加多少，假如一个数列首项是1，公差是-2，那么通项公式是什么，-2n+3,我们看下面一个数列，第5项是5，公差是-2，通项是什么？加多少，确定是15，把n等于5代进去，=-10加多少，加15才能等于5.不要去求首项什么的，要算就拿这一项算就行了。这个肯定是你做数学的基本功，做多快都不为过，好，下一个数列，它的第七项是-3，公差是4，=-3，d=4 , 确定要写成4n-,4,7,28,4乘以7减多少等于-3，是31.数学考察基本功，基本功肯定娴熟。下面一个=-2，d=-1，它的通项是什么，首先是-n,6代入得,有了公差，就有了n前面的系数，有了这个系数就可以求出通项。这个东西我要求大家口算。好，下面我们看一下讲义上的。例5的第一题，这种题干脆说，不用看讲义，第一个是不是等差数列，公差是几，4，其次个是不是等差数列，公差是几，0.第三个是不是等差数列，不是，为什么不是，前面差是-2，后面的差是-1，所以第三个确定不是。其次个，什么叫做等差中项，我们来说一下什么等差中项。等差中项你可以理解成平均数，我们这么说，假如a、b、c三个数成等差数列，留意这是一种题目的说法，a、b、c三个数成等差数列，指的是根据他们这个依次成等差数列。假如题目当中给的是a、b、c这三个数成等差数列，指的就是a、b、c按这个依次成等差数列。这时候，作为一个等差数列。假如这三个数成等差数列，那我们有，因此有,得,我们把b叫做数列的等差中项。220，a，180成等差数列，指的是按这个依次成等差数列，不是指这三个数的组合，那这道题a是多少，明显a就是200.对于等差数列，我们有, 正好是和中间那项。我们来看，看上面的题，口算，已知等差数列的通项，公差是不是n前面的系数，是-3，那么首项是n等于几的时候，n=1的时候，所以等于4.等差数列9,5,1，第四项是几，-3.第20项是几，它的公差d等于多少，-4.20项相当于9+19x(-4)，是不是这个结果。那等于多少，-67，这个数列什么意思，3,7,11，公差是几，是4，103-3是101那么他们之间差25个公差，所以项数应当是多少，26第五项为19 ，数一数就出来了。好，大家看下面这个=-2，=10,告知我d等于几。它们两之间是不是差3个d,所以d等于几，d=4，那么它的通项是，这种题就得口算，来看看，这个给你们5分钟时间。第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页