高一数学联赛选拔赛奥赛班入学试卷含参考答案中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf
第4题图 班级：姓名：班级座位号：考场号：密封线内不要答题 *中学高一数学联赛选拔赛试卷 命题人：吴铭 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1在下列实数中：-5、5、2、0，最大的数是（）A5 B5 C2 D0 2抛物线224yxx与x轴分别交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A2 B4 C5 D2 5 3下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图l）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A36 B42 C45 D48 4花园小径旁有一个圆柱状果皮垃圾筒，圆柱体的底面半径为18cm，圆柱形的侧面由20块大小相同的小木条均匀围成一圈，垃圾入口处是一个切除了高为20cm 的5块小木条的柱面方孔，则这个垃圾筒切除的侧面面积是（）A2120cm B2144cm C2180cm D2240cm 5已知RyRx,集合,1,12xxxxA 1,2,yyyB.若BA,则22yx 的值是()A.5 B.4 C.25 D.10 6设是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意abA，有abA，则称A 对运算封闭 下列数集对加法减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A自然数集 B有理数集 C整数集 D无理数集 7设xxxf11)(，记 1fxf x，若，xffxfnn)()(1 则xf)(2006（）A、x B、-x1 C、xx11 D、11xx 8 设 在xO y平 面 上，20 xy，10 x所 围 成 图 形 的 面 积 为31，则 集 合,1),(xyyxM 1),(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为（）A31 B32 C1 D34 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9在矩形ABCD中，6BC，8CD，以A为圆心画圆，且点D在 A内，点B在A外，则A半径r的取值范围是 10如图，已知弦ABCD，请用无刻度的直尺，准确作出该圆的直径（保留作图痕迹）11定义M 与P的差集为M-P=x|xM 且x 不P，若A=y|y=x2，B=x|-3x3，再 定义 MN=（M-N）（N-M），则AB=12若非空集合 S 满足，且若，则，那么符合要求的集合 S 有_个 13映射f:a,b,c,d1，2，3满足1f(a)f(b)f(c)f(d)5，这样的映射f有_个.14.设函数f：RR满足f(0)=1，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=_.三、计算题（17-19题每题8分，20-23题10分，共64分）15根据如图所示的程序计算（1）选取一个你喜欢的x的值，输入计算，试求输出的y值是多少？（2）是否存在这样的x的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y的值？如果存在，第10题图 DCBA 第3题图 第9题图 请求出x的值；如果不存在，请说明理由 16已知集合Ax|ax23x40，xR（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围 17抛物线2yx在直角坐标系中向下平移4个单位得到抛物线1y，1y与x轴的交点为1A、1B，与y轴的交点为1O，1A、1B、1O对应2yx上的点依次为A、B、O （1）写出1y的解析式及A、B两点的坐标；（2）求抛物线y和1y及线段1AA和1BB围成的图形的面积；（3）若平行于x轴的一条直线ym与抛物线y交于P、Q 两点，与抛物线1y交于R、S两点，且P、Q 两点三等分线段RS，求m的值；18已知集合,4321aaaaA，,24232221aaaaB，其中4321aaaa，并且都是正整数 若,41aaBA，1041 aa 且BA中的所有元素之和为124，求集合A、B 19我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG，它们共顶点 A（如图1），可以绕顶点A旋转，CD，EF相交于点P（1）连接BE、DG（如图2），求证：BEDG，BEDG；图1 输入x 输出y 平方 乘以2 减去4 若结果大于0 否则 小题每小题分共分在下列实数中最大的数是抛物线与轴分别交于两点则两点间的距离等于下图是由把相同的折扇组成的蝶恋花图和梅花图案图图中的折扇无重叠则梅花图案中的五角星的五个锐角均为花园小径旁有一个圆柱状果皮垃木条的柱面方孔则这个垃圾筒切除的侧面面积是已集合若则的值是设是上的一个运算是的非空子集若对任意有对运算封闭下列数集对加法减法乘法和除法除数不等于零四则运算都封闭的是则称自然数集有理数集整数集无理数集设记形中以为圆心画圆且点在内点在外则半径的取值范围是如图已弦请用无刻度的直尺准确作出该圆的直径保留作图痕迹定义与的差集为且不若再定义则若非空集合满足且若则那么符合要求的集合有个映射满足这样的映射有个设函数满 图2 （2）连接BG、CF（如图3），有三个结论：BGCF；ABGPCF；ABG与PCF相似 请证明；图3 （3）连接BE、CF（如图4），求BECF的值 20.已知2()2,f xxbxxR.（1）若函数()()()F xf f xf xxR与在时有相同的值域，求b的取值范围；（2）若方程2()|1|2f xx 在（0，2）上有两个不同的根 x1、x2，求 b 的取值范围，并证明12114.xx 小题每小题分共分在下列实数中最大的数是抛物线与轴分别交于两点则两点间的距离等于下图是由把相同的折扇组成的蝶恋花图和梅花图案图图中的折扇无重叠则梅花图案中的五角星的五个锐角均为花园小径旁有一个圆柱状果皮垃木条的柱面方孔则这个垃圾筒切除的侧面面积是已集合若则的值是设是上的一个运算是的非空子集若对任意有对运算封闭下列数集对加法减法乘法和除法除数不等于零四则运算都封闭的是则称自然数集有理数集整数集无理数集设记形中以为圆心画圆且点在内点在外则半径的取值范围是如图已弦请用无刻度的直尺准确作出该圆的直径保留作图痕迹定义与的差集为且不若再定义则若非空集合满足且若则那么符合要求的集合有个映射满足这样的映射有个设函数满*中学高一数学联赛选拔赛试卷参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1B 2D 3D 4C 5A 6B 7D 8B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）968r 10如图，线段MN 即为圆的直径 11 x|-3x 0或x3 127 13.14 14.x+1 三、计算题（15-18题每题8分，19-20题10分，共52分）15解：（1）略2分（2）当yx，且0y 时，输入x计算后始终输不出y的值 此时224xx，5分 2240 xx ，21,2(1)(1)4 2(4)1332 24x 13304，13304 1334x为所求的x的值，输入计算后始终输不出y的值8分 16.（1）A 中有两个元素，方程ax23x40有两个不等的实数根，09 160aa，即a916，a916，且a0 4分（2）当a0时，A43；5分 当a0 时，若关于x的方程ax23x40有两个相等的实数根，916a0，即a916；6分 若关于x的方程无实数根，则 916a0，即a916；7分 所求的a 的取值范围是a 916或a0 8分 17.（1）214yx，A（-2，4）、B（2，4）；2分（2）连接AB，则抛物线1y和11AB围成的图形的面积等于抛物线y和AB围成的图形的面积，抛物线1y和2y及1AA和1BB围成的图形的面积等于正方形11AAB B的面积=16；5分（3）如图，RPPQQS，3RSPQ 246mm，解得 12m 8分 18【解】4321aaaa，且,41aaBA，211aa，又Na 1，所以.11a1分 又1041 aa，可得94a，并且422aa或.423aa 3分 若922a，即32a，则有,12481931233aa解得53a或63a（舍）此时有.81,25,9,1,9,5,3,1BA5分 若923a，即33a，此时应有22a，则BA中的所有元素之和为100124不合题意7分 综上可得，.81,25,9,1,9,5,3,1BA8分 19解：（1）证明：ABAD，90BAEEADDAG ，AEAG ABEADG，即BEDG1分 分别延长GD，BE交于点M 交EF 于点N，MENENMMENAGDBEANEM 90 BEGD（ABEADG，ABAD，AEAG，ADG可以看成由ABE绕顶点A旋转 90，即BEDG）2分（2）证明：ABAG，ABG=AGB，CBG=FGB 同理：BCF=GFC 又CBG+FGB+BCF+GFC=360 小题每小题分共分在下列实数中最大的数是抛物线与轴分别交于两点则两点间的距离等于下图是由把相同的折扇组成的蝶恋花图和梅花图案图图中的折扇无重叠则梅花图案中的五角星的五个锐角均为花园小径旁有一个圆柱状果皮垃木条的柱面方孔则这个垃圾筒切除的侧面面积是已集合若则的值是设是上的一个运算是的非空子集若对任意有对运算封闭下列数集对加法减法乘法和除法除数不等于零四则运算都封闭的是则称自然数集有理数集整数集无理数集设记形中以为圆心画圆且点在内点在外则半径的取值范围是如图已弦请用无刻度的直尺准确作出该圆的直径保留作图痕迹定义与的差集为且不若再定义则若非空集合满足且若则那么符合要求的集合有个映射满足这样的映射有个设函数满CBG+BCF=180，即BGCF；5分 续 又ABPC，AGPF ABG=PCF，AGB=PFC 即ABGPCF6分 续 连接AP交GF 的延长线于1Q，交BC 的延长线于2Q，则11Q PPFQ AAG，22Q PPCQ AAB，而AB=AG，PC=PF 11Q PQ A22Q PQ A，亦有12Q PQ PAPAP，12Q PQ P 1Q，2Q重合，即BC，AP，GF 相交于点Q，ABG与PCF位似8分（3）连接AC，AF可证得ABEACF，1222BEABCFAC10分 20.解:（1）当xR时，函数2()2f xxbx的图象是开口向上，且对称轴为2bx 的抛物 线，()f x的值域为28,4b，所以()()F xf f x的值域也为28,4b的条件是228,280,2,442bbbbbb即或，即b的取值范围为(,24,).(2)222()|1|2,|1|0f xxxbxx 即，由分析知0b,不妨设221221,|1,02,()|1|21,|1,bxxxxH xxbxxxbxx 令因为()(0,1H x 在上是单调函数，所以()0H x 在(0,1上至多有一个解.若12,(1,2)x x，即 x1、x2就是2210 xbx 的解，12102x x ，与题设矛盾.因此，12(0,1,(1,2).xx由 111()0H xbx 得，所以1b；由2221()02,H xbxx得所以71.2b 故当712b 时，方程2()|1|2(0,2)f xx 在上有两个解.由212112bbxxx 和消去b，得212112.xxx 由21211(1,2),4.xxx得 小题每小题分共分在下列实数中最大的数是抛物线与轴分别交于两点则两点间的距离等于下图是由把相同的折扇组成的蝶恋花图和梅花图案图图中的折扇无重叠则梅花图案中的五角星的五个锐角均为花园小径旁有一个圆柱状果皮垃木条的柱面方孔则这个垃圾筒切除的侧面面积是已集合若则的值是设是上的一个运算是的非空子集若对任意有对运算封闭下列数集对加法减法乘法和除法除数不等于零四则运算都封闭的是则称自然数集有理数集整数集无理数集设记形中以为圆心画圆且点在内点在外则半径的取值范围是如图已弦请用无刻度的直尺准确作出该圆的直径保留作图痕迹定义与的差集为且不若再定义则若非空集合满足且若则那么符合要求的集合有个映射满足这样的映射有个设函数满
