2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版含解析）.docx

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础过关练题组一空间两条直线的位置关系的判定1.(河南高一期末)三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对B.4对C.5对D.6对2.(四川成都经开区实验高中高二月考)若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面3.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,则下列说法正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN是平行直线D.直线AM与DD1是异面直线题组二公理4及等角定理的应用4.(上海高二月考)下列命题中,正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知BAC=B1A1C1,ABA1B1,则AC与A1C1的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.以上均有可能6.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是()A.M,N,P,Q四点共面B.QME=CBDC.BCDMEQD.四边形MNPQ为梯形7.(上海青浦第一中学高二期中)下列四个结论中假命题的序号是. 垂直于同一直线的两条直线互相平行;平行于同一直线的两直线平行;若直线a,b,c满足ab,bc,则ac;若直线a,b是异面直线,则与a,b都相交的两条直线是异面直线.8.如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)DNM=D1A1C1.题组三异面直线所成的角9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(福建莆田第二十五中学高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是. 能力提升练一、选择题1.()a、b为异面直线是指ab=,且a不平行于b;a平面,b平面,且ab=;a平面,b平面,且=;不存在平面能使a且b成立.()A.B.C.D.2.(安徽高二期末,)空间中有三条线段AB,BC,CD,且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能3.(上海高三期末,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线的条数为()A.3B.4C.5D.64.(2018安徽阜阳一中开学测试,)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面5.(湖南邵阳高一期末,)如图是某个正方体的平面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在该正方体中,l1与l2()A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为60°D.相交且夹角为60°二、填空题6.()如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是(填序号). 7.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是. 三、解答题8.()如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)BMC=B1M1C1.9.()正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a,E,F分别是SC,AB的中点,求直线EF和SA所成的角.答案全解全析基础过关练1.A如图,三棱锥A-BCD中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对,故选A.2.D因为两直线相交只有一个公共点,两直线平行或异面没有公共点,所以选D.3.BDA,M,C,C1四点不共面,直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.4.B由公理4及等角定理知,只有正确.5.D如图所示,BAC=B1A1C1,ABA1B1,则AC与A1C1可能平行、相交或异面.故选D.6.D由中位线定理,易知MQBD,MEBC,QECD,NPBD.对于A,由公理4易得MQNP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得QME=CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知QME=CBD,MEQ=BCD,所以BCDMEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理及公理4,知MQBD,MQ=12BD,NPBD,NP=12BD,所以MQ􀱀NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.故选D.7.答案解析对于,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BCAB,AA1AB,但BC与AA1为异面直线,所以命题是假命题;对于,由平行公理可知命题是真命题;对于,将直线a平移到b的位置,由于bc,所以ac,故命题是真命题;对于,在直线a上取点P,在直线b上取点A,B,则PA,PB都与a,b相交,显然PA,PB相交,故命题是假命题.故答案为.8.证明(1)如图,连接AC,在ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,MN是ACD的中位线.MNAC,MN=12AC.由正方体的性质得ACA1C1,AC=A1C1.MNA1C1,且MN=12A1C1,MNA1C1,易知NA1与MC1不平行,四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1,DNM与D1A1C1相等或互补.而DNM与D1A1C1均为锐角,DNM=D1A1C1.9.C如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则ACA1C1DE,则BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=2,所以BDE=60°,故选C.10.C如图,可补成一个正方体,所以AC1BD1,所以A1BD1(或其补角)即为BA1与AC1所成的角.又易知A1BD1为正三角形,所以A1BD1=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角为60°.11.答案60°解析连接AD1,则AD1BC1,CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.能力提升练一、选择题1.D中的a,b有可能平行,符合异面直线的定义.2.D由图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况,故选D.3.B在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线有AD1,AC,D1B1,B1C,共4条.故选B.4.D如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EFA1C1,则EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;由几何关系可得A1C1BB1,A1C1BD,则EFBB1,EFBD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.5.D将平面展开图还原成正方体,如图所示,则B,C两点重合,所以l1与l2相交,连接AD,则ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为60°.故选D.二、填空题6.答案解析中PQRS,中直线PQ和RS相交.7.答案90°解析如图,过点M作MEDN交CC1于点E,连接A1E,则A1ME(或其补角)即为异面直线A1M与DN所成的角.设正方体的棱长为a,则A1M=32a,ME=54a,A1E=414a,所以A1M2+ME2=A1E2.所以A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.三、解答题8.证明(1)因为在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,所以MM1􀱀AA1.又因为AA1􀱀BB1,所以MM1􀱀BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1BM.易知四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1CM.由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐角,所以BMC=B1M1C1.9.解析如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.在SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,FGSA,且FG=12SA.于是异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角.在SAB中,SA=SB=a,AF=FB=12a,SFAB,且SF=32a.同理可得CFAB,且CF=32a.在SFC中,SF=CF=32a,SE=EC,FESC且FE=SF2-SE2=22a.在SAB中,FG是中位线,FG=12SA=a2.在SBC中,GE是中位线,GE=12BC=a2.在EGF中,FG2+GE2=a22=FE2,EGF是以FGE为直角的等腰直角三角形,EFG=45°.异面直线SA与EF所成的角为45°.