数列通项数列前n项和的求法例题练习测试中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

精心整理 通项公式和前 n 项和 一、新课讲授：求数列前 N项和的方法 1.公式法（1）等差数列前 n 项和：特别的，当前 n 项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。（2）等比数列前 n 项和：q=1 时，1nSna 1111nnaqqSq，特别要注意对公比的讨论。（3）其他公式较常见公式：1、)1(211nnkSnkn2、)12)(1(6112nnnkSnkn 3、213)1(21nnkSnkn 例 1已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和.例 2设 Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.2.错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例 3求和：132)12(7531nnxnxxxS 例 4求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和.练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 答案：当x=1时，Sn=1+5+9+（4n-3）=2n2-n 精心整理 当x1 时，Sn=11-x4x(1-xn)1-x+1-（4n-3）xn 3.倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa.例 5求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值 4.分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 6求数列的前 n 项和：231,71,41,1112naaan，练习：求数列),21(,813,412,211nn的前 n 项和。5.裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 例 9求数列,11,321,211nn的前 n 项和.例 10在数列an中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前 n 项的和.例 11求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立 练习：求63135115131之和。6.合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.例 14在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa 求的值.7.利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 15求11111111111个n之和.练习：求 5，55，555，的前 n 项和。以上一个 7 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。求数列通项公式的八种方法 一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法 1、累加法适用于：1()nnaaf n 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 若1()nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得111()nnkaaf n 例 1已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则 所以数列na的通项公式为2nan。例 2已知数列na满足112 313nnnaaa ，求数列na的通项公式。解法一：由12 31nnnaa 得12 31nnnaa 则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 解法二：132 31nnnaa 两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 因此11(13)2(1)21131331 3322 3nnnnnann ，则21133.322nnnan 2、累乘法适用于：1()nnaf n a 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 若1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 例 3已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(21)5 2(11)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 三、待定系数法适用于1()nnaqaf n 分析：通过凑配可转化为1121()()nnaf naf n;解题基本步骤：1、确定()f n 2、设等比数列1()naf n，公比为2 3、列出关系式1121()()nnaf naf n 4、比较系数求1，2 5、解得数列1()naf n的通项公式 6、解得数列na的通项公式 例 4已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 解法一：121(2),nnaan 又112,1naa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 12nna，即21nna 解法二：121(2),nnaan 两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的 例 5已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna 是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna ，即114 35 2nnna 解法二：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa ，下面解法略 注意：例 6已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann 由213 110 1 18131320a ，得2310180nann 则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 1813132a 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。注意：形如21 nnnapaqa时将na作为()f n求解 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例 7已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa 比较系数得3 或2，不妨取2，则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为 4，公比为 3 的等比数列 1124 3nnnaa，所以114 35 2nnna 四、迭代法 例 8已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以 又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法 1、对数变换法适用于指数关系的递推公式 例 9已知数列na满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa ，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny （同类型四）比较系数得，lg3lg3lg 2,4164xy 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg 71041644164a，得lg3lg3lg 2lg04164nan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此11111111116164444111115161644445415151164lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)54164464lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)lg(332)lg(732)nnnnnnnnnnan 则11541515164732nnnnna。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例 10已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa 为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan 3、换元法适用于含根式的递推关系 例 11已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 代入11(14124)16nnnaaa得 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 2 111()()3 423nnna。六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例 12已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得 由此可猜测22(21)1(21)nnan，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk 时，由此可知，当1nk 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。七、阶差法 1、递推公式中既有nS，又有na 分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。例 13已知数列na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,aaa成等比数列，求数列na的通项公式。解：对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa 当 n=1 时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a 或12a 当 n2 时，1111(1)(2)6nnnSaa 即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理-整理得：11()(3)0nnnnaaaa na各项均为正数，13nnaa 当11a 时，32nan，此时2429aa a成立 当12a 时，31nan，此时2429aa a不成立，故12a 舍去 所以32nan 2、对无穷递推数列 例 14已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan ，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnanan 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan ，21222naaa 取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan 。所以，na的通项公式为!.2nna 八、不动点法 不动点的定义：函数()f x的定义域为D，若存在0()f x xD，使00()f xx成立，则称0 x为()f x的不动点或称00(,()xf x为函数()f x的不动点。即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求精心整理 分析：由()f xx求出不动点0 x，在递推公式两边同时减去0 x，在变形求解。类型一：形如1 nnaqad 例 15已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为()21f xx，由()f xx得，不动点为-1 112(1)nnaa，类型二：形如1nnna abac ad 分析：递归函数为()a xbf xc xd（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得11nnnnapapkaqaq，其中apckaqc，111111()()()()nnna qpq ka ppqaap kaq（2）若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1 除，得111nnkapap，其中2ckad。例 16已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124()41xf xx的两个不动点。因为 112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所 以 数 列23nnaa是 以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。即前项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算等比数列前项和时其他公式较常见公式特别要注意对公比的讨论例已知求的前项和例设求的最大值错位相减法这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法这种当时倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到个例求的值分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解裂项如则例求数列的前项和例在数列中又求数列的前项的和例求证解设精心整理裂项裂项求